（本文发表于2017年第6期《小学教学设计-数学》，发表时有删节）
背景简介：什么是“数学画”？
“数学画”教学是肥西县陈昱小学数学名师工作室近年来倡导和践行的课程改革内容，主要是通过学生创作“数学画”辅助学习数学知识、解决数学问题。
“数学画”教学缘起于低年级数学教学：受认知发展水平影响，低年级儿童对数学文本的认读和数学概念的理解比较困难，借助画图可以帮助儿童学习数学，并能使其爱上数学、探究数学，很好地发展数学思维。
“数学画”不是整合课程，而是数学教学内部的事情。简而言之，“数学画”即儿童运用直观之“形”表征抽象之“数”，从而帮助理解数学概念、解决数学问题，其立足点是儿童认知特点和数学学科本质。它回归儿童视角，尊重个性差异，培育数学眼光，鼓励想象和创新，从而被学生广泛接受和喜爱。所以说，“数学画”教学既有儿童趣味，又深蕴数学真味，是引导儿童认知逐渐“数学化”的过程。
“数学画”的表现形式是图画，一开始孩子通过具体的物象表现数学概念，因为是课后作业时间充足，很多作品画得色彩明丽、线条细腻、形象生动，非常美观，不亚于一般的美术画——这也从另一个侧面反映出低年级学生乐于绘画，“画数学”比“写作业”对他们更具吸引力。随着学习的推进和展评课的引导，“数学画”中“非数学”成分逐渐减少，我们有意识地引导孩子在创作中运用箭头、省略号、问号、括线、虚线、圈线、几何图形以及算式等数学符号，尽量用几何图形等代替具体物象，绘制物象时力求简洁，逐渐数学化。一年级下学期解决问题的“数学画”已经是简洁的示意图了。学生在成长，数学学习在深入，“数学画”也在不断发展变化，中高年级的“数学画”将渐变成“示意图”、“线段图”、“知识结构图”等形态。
本课就是高年级“数学画”教学的一次很好的尝试（注：1.本文片段取自本人借班试教课例，试教学生来自新建校转学班，之前从未接触过“数学画”，但有一定的画图经验；2.低段“数学画”作品和课例与此有较大差异，笔者另文别论）。
片段一：探究
1.师：同学们，老师这儿有一个数学问题，我们一起来看一看——
出示例1：把一张纸的4/5平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？
师：对于这个问题，你打算用什么方法来解决？
生1：用4/5÷2除法来做。
师：为什么呢？
生2：因为这是平均分问题。
师：嗯，平均分可以用除法做。（板书：4/5÷2）这样的算式以前见过吗？以前的除法算式跟现在的哪里不一样？
生3：以前都是整数除法，现在是分数除以整数。
师：看来这是一个新问题，我们今天就一起来探究。4/5÷2怎么计算呢？
生4：可以画图看一看。
师：好办法！数学上往往可以通过画图帮助分析和解决问题，我们把这样的图画叫做“数学画”(板书)。下面就请大家拿出1号白纸，画一画、算一算，看4/5÷2到底等于多少。
2.学生独立画“数学画”解决问题，师巡辅，选取典型作品。
3.全班交流。
师：这儿有几幅作品，一起来看看！
（1）展示生1作品：
图1
生1（上台边指边说）：这个长方形代表一张纸，把它平均分成5份，取其中的4份，就是这张纸的4/5，把它画上斜线。要把一张纸的4/5平均分成2份，它有4份，平均分成2份就是一半，是2份，我把它涂上蓝色，就是（这张纸的）2/5。
师：你的思考过程我能不能这样记录呢？
师板书：
生1：可以。下次我也在画上写出来。
师：你们有没有问题？
生2：我的思路跟她的一样。（还有几位学生举手示意）
生2展示自己作品：
图2
（2）展示生3作品：
图3
师：谁能看懂这幅作品？请你说说看！
生4：她是这样想的，1张纸就是单位“1”，含有5个1/5，所以她画了5个1/5；然后4/5里有4个1/5，平均分成2份，就是2个1/5，是2/5。
生3：跟我想的差不多！我的思路也可以用这个算式表示（指板书
生5：我的想法跟生3的有点像，但是我画得不一样。（展示自己的作品）我用一个圆形代表1张纸，把它平均分成5份，每份是其中的1/5，4个是4/5，把4个平均分成2份，每份是2个1/5，就是2/5，所以
图4
师：我们可以画出不同形态的“数学画”来表示思路，很有个性！
生6：我的思路也是这样的！不过我画的是线段图——
图5
（3）展示生7的作品：
图6
师：这幅作品好像有些特别，你能看懂吗？
生8：为什么分成了10份？
生7：因为先是（平均）分成了5份，涂出4/5，这张纸的4/5平均分成2份，（每份）占它的1/2，我用斜线画出来，也就是这张纸的4/10，化简后等于2/5。
师：噢！原来这样想的，把一张纸平均分成2份就是求它的1/2。这个过程我们可以怎么用算式记录呢？
生7：我知道！
师：那就请你写出来。
生7板书：
4.同位讨论，归纳算法。
师：通过画一画我们成功计算出4/5÷2=2/5，解决了问题。那么大家想一想：分数除以整数可以怎么算？想好了，同位之间说一说。（学生思考，同位互说）
师：谁来说给全班同学听一听？
生1：分数除以整数，可以用分子除以整数（作分子），分母不动。
生2：分数除以整数，要看除以几，除以几就等于乘几分之一，比如除以2就等于乘上1/2。
生3：也就是乘整数的倒数就行了！
生4：我认为分数除以整数有两种方法，一种是用分子除以整数，一种是乘上整数的倒数。
教学思考：尊重差异，呈现多样思维。
“数学画”教学的重要特点之一便是充分尊重学生数学学习的差异性。分数除以整数的计算教学，人教版教材中也有画图辅助理解算理，但那是先入为主的“植入”和“统一”：
图7
课堂上我没有任何暗示和提醒，尊重学生的学习起点和思维个性，请学生动手画一画，自主探究4/5÷2的算法。结果学生创作出多样化的“数学画”，呈现丰富的个性风采和思维层次。
当然，学生的精彩不光体现在“数学画”形态以及背后数学思维的多样性方面，更体现在学生展示“数学画”环节的语言表达和互动评议方面。我惊喜的发现，只要学生能画出思路，都能清楚地介绍思路，（注：本课是借班上课）原本被老师们诟病“语言表达能力薄弱”“数学课上一言不发”的学生在本节课上像换了一个人，能够拿着自己的作品上台有条理地跟同学分享自己的思考。为什么会这样？我想应该是因为“数学画”为学生提供了数学学习的拐杖，为他们搭建了自主探索和展示的平台。有了“数学画”，原本抽象的算理变得直观，原本难以把握的思路变得有迹可循。
片段二：探究4/5÷3的算法及归纳一般算法
1.出示例1变式：如果把这张纸的4/5平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？
师：现在你还会解决它吗？拿出2号白纸画一画、算一算吧！
2.学生画“数学画”探究，师巡辅。
师：遇到问题可以跟身边同学讨论！
3.全班交流。
师：哪些同学已经解决了这个问题？谁愿意上台跟大家分享你的探究过程？
生1：我先画出一张纸的4/5，再平均分成3份问每份是几分之几，就是求这一部分（指画斜线部分）的1/3是多少，它的1/3就是这一块，我画成格子，数一数，是这张纸的4/15。
图8
师：你们听懂了吗？（同学们点头）和她一样的请举手！（大部分同学举起手）那你能把算式完整地写出来吗？
学生写算式，指生2板书：
师：刚才有几位同学没举手，是什么情况？
生3：我用的不是这个方法，我是用第一种方法，然后不行，然后又……
师：请暂停，我来采访一下，好多同学用的都是第二种方法，为什么没用第一种方法？
生（异口同声）：第一种方法不行！
师：哦？真的？
生4：我一开始也是用第一种方法，但是发现4不能分成3份，4除以3除不了！
生5：其实第一种方法也可以的！
生（异口同声）：不行！除不了！
……
师：到底行不行，大家不必争吵。让我们听一听生3把话说完，带上你的作品上来说。
生3：我发现第一种方法分不了，4不能整除3，到这里就堵住了。我想了想，怎样才能整除3呢？于是我想起以前学过分数的基本性质，就把分子分母同时扩大3倍，4/5就变成12/15，也就是每个1/5里都再平均分成3份。这时候就能够除以3了，12除以3等于4，每份是这张纸的4/15。
图9
师：此处应该有掌声！有时候看似行不通的方法，其实用心想一想还是能够行得通的。生5你说呢？
生5（激动地举起作品）：我就是这样子想的，我画的跟他不一样。
师：也请你上台展示！大家掌声有请！
生5：因为4无法被3（整）除，所以把5扩大成15,4也扩大成12。因为怕画不下，我第二次画就画得很长。现在，12能够被3（整）除，每份是这张纸的4/15。
图10
师：让我们一起来记录他们的计算过程！
师生共同完成，师问（启发）生说师板书：
4.小组讨论
师：大家仔细观察4/5÷3的这两道算式，想一想：分数除以整数到底可以怎么算？想好了在小组内说一说。
学生思考，小组讨论，师巡辅。师点拨：两种算法有没有联系？能不能统一成一种算法？
5.全班交流
师：怎么样？有想法了吗？谁来说一说？
生1：本来我认为第一种算法不太好，有时候不行，第二种算法比较好，不管什么情况都行。但是，现在我发现第一种算法其实也是行的，只不过比较麻烦，有时候要先乘再除。
生2：我们小组认为两种算法是有联系的，最后都可以转化成乘这个数的倒数。
师：你们赞同吗？（有的点头，有的在思考）再请一位赞同的同学上台结合算式说一说，谁愿意？
生3（边指算式边说）：我们看第一种算法，分子分母同时乘3，再拿分子除以整数3，这样就得到
师：你们觉得呢？（全班响起掌声！）那我将你们的发现记下来啰！
师板书：分数除以整数→乘这个整数的倒数
教学思考：放手创作，突破教学难点。
本课的教学难点是算法探究和算理理解，教学关键是引导学生通过自主创作“数学画”，利用数形结合、几何直观理解算理。这在前面4/5÷2的探究中已经体现得比较明显。
在4/5÷3探究环节，我在教学设计中是这样预设（课件也是这样制作）的：变式问题探究后，小组讨论，优化算法，明确两种算法的适用范围、第一种算法的局限性；然后通过课件动态演示第一种算法的数学本质后，小组讨论，沟通两种算法的内在联系，统一归纳出分数除以整数的一般算法。这样的设计层层深入，抽丝剥茧，在理解算理基础上逐渐归纳一般算法。
然而，出乎我的意料，有的学生在自主创作“数学画”探究4/5÷3的过程中，当采用第一种算法遇阻后，没有放弃此法转而采用第二种算法；而是沿着第一种算法的思路，继续深思：难道真的不可以吗？怎样就可以了呢？从而迎来柳暗花明——“于是我想起以前学过分数的基本性质，就把分子分母同时扩大3倍，就变成12/15，也就是每个1/5里都再平均分成3份。这时候就能够除以3了，12除以3等于4，每份是这张纸的4/15。”多么好的孩子！多么好的生成！
在如此精彩自然的课堂生成面前，我之前精心制作的动画课件显得“黯然失色”，也就没有展示的必要了！所以，这个环节的课堂完全是“缘学而教”，感觉棒极了！
在学生自主探究出的算法基础上，记录计算过程得到算式
总而言之，本课引入“数学画”教学“分数除以整数”，重视从儿童视角出发，关注数学素养的培育，为学生搭建了数学学习和课堂展示的平台，达到了预期目标，并超越预设收获了更多的精彩！
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