9. 高观点下的知识观 4——超纲

——以学生发展为本,不拘泥考试大纲

点评:在《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书开篇对高观点下的思考解释一就是对超纲的思考,只有站在学科和学生的发展角度才会有正确的认识。《全国卷高考数学分析及应对》对超纲知识进行了两次深入地分析,多个维度全面、彻底地分析了超纲题目和如何教学。2018 年全国 3 卷 20 题绝大多数的学生都没有做出来,如果知道椭圆的焦半径公式,则很快可以突破,参考答案的解法正好用常规方法推导了焦半径公式

那对于超纲知识的教与学该何去何从?

一、超纲试题命制的意义

学生的发展不拘泥于考试大纲,全国卷在 12、16 题的命题常常是鼓励学生超纲,但也要求学生把核心思想方法掌握好。

点评:立体几何的学习在 “直观感知——操作确认——推理论证——度量计算”这四个层面展开,因为立体几何呈现给我们的是几何结构,视角思维可以成为主导思维,即特别突出直观感知。借助长方体这个载体,把所研究的点线面的位置关系联系到一起,降低了立体几何学习的门槛,这是新课改强调的理念,有了长方体,其长度的关系为计算带来了便利,求角困难时,还有向量法作为保障,运动变化的观点的是基本观点,作为一般的学生深刻理解这些基本思想方法,也能高效地解决此问题,

三余弦公式揭示了线面角、射影角和线线角之间的关系,在线线角计算有困难的时候,可以借助线面角和射影角来转化,作为特优生,不受制于考纲,广泛地学习和专研。

二、“一题多解”中的超纲与不超纲

学生的知识结构、能力结构、思想方法体系不一样,对于同一个题目,有不同的视角、这就对应着不同的思维方式,就会有不同的方法,有些优秀的学生掌握的知识、思想方法超过考试大纲,其解法也自然会超纲。所以我们很难精确的界定一个题的考查超纲和不超纲,早在上个世纪 90 年代,就提出了高考“依据考纲、但不拘泥于考纲”,高考的 12 题、16 题都是以能力和思想立意,所以知识的定位应该从属于思想能力定位。

同时也让学生在不同的阶段、不同的水平看经典的高考题目,往往有不同的视角和不同的思维方式,往往能更好地解读高考题目,领会命题思路。

在教学的时候,要准确把握学生的知识、能力结构,在合适的时间选择合适的方法,应该多给学生呈现这样多个角度都可以切入的题目,一题多解有助于学生思维的发散,但最重要的不是解法,而是对解法的点评和认知,方法的选择应该从属于“思想能力”的定位,鼓励热爱数学的学生多专研,多思考,不受制考纲的限制。

一题多解也有助于学生发现某种方法使用的恰当与否,比如:

三、超纲知识的理解和把握命制试题“难”的度

反函数作为一个极其重要的概念,新教材突出函数概念、淡化了映射,因为没有一一映射作为铺垫,反函数这个概念没法深入地讲解。考纲的制定要参考课程标准,但全国卷两次都对反函数提出了很高的要求,超越了考试大纲,明确提出特优生应该掌握。但与反函数的相关知识很多,“度”的把握是关键,对于优秀的学生,紧扣考纲要求,结合高考题目,理解反函数的概念、在实际问题情景中能够认知反函数、会求反函数、原函数和反函数图像关于 y = x 对称,这些都是应该掌握的,当然作为数学爱好者来说,还可以掌握反三角函数等,不受制任何限制,理解知识的本质,广泛地学习和思考。根据学生的情况,可以设置如下三个层次的题目:

四、注意超纲知识和必备知识的相互替代性及解题层面的优越性

新课标删除了夹角公式,原因是可以利用向量来处理夹角。但就解题而言,有时候却有一点差异,对于特优生来说,这些都应该掌握,还应该掌握夹角公式和向量之间的联系。

椭圆上到长轴两个顶点张角最大为的点位于椭圆短轴的端点,用同样的方式容易说明双曲线上的点到实轴顶点连线张角的变化规律。那椭圆上的点到两个焦点张角最大在什么位置呢?可以利用余弦定理,夹角公式,但用向量法是最优化的。

五、超纲知识和数学思想、能力的互补

考纲明确指出:了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数,理科要求一般不超过三次,文科明确说不超过三次).因为超过三次,会涉及三次不等式的解法,高考是不做要求的。

点评:法一的解法,很自然,这是超过考试大纲的,但如果能够理解均值不等式求最值“凑定”的思想,也可以突破。既鼓励优秀学生不拘泥于考纲,也要求学生掌握知识的核心思想方法,这是高考的不变的命题思路。这在文科复合函数的考查体现得更明显,复合函数的导数,考试说明没有提及过,文科是不要求掌握的,但高考年年坚持超纲。

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