2021高考数学试题如何增强试题的开放性

教育部明确了考试时间,从五个方面部署招生考试工作。我们一线老师特别关注第三方面“深化高校考试招生改革。”中的深化考试内容改革和深入实施强基计划。

9. 深 化 考 试 内 容 改 革 。2021 年 高 考 命 题 要 坚 持 立 德 树 人 , 加 强 对 学 生 德 智体 美 劳 全 面 发 展 的 考 查 和 引 导 。要 优 化 情 境 设 计 ,增 强 试 题 开 放 性 、灵 活 性 ,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用,引导减少死记硬背和“机械刷题”现 象 。各 地 要 加 强 国 家 教 育 考 试 工 作 队 伍 建 设 ,完 善 教 师 参 与 命 题 和 考 务 工 作 的激励机制,提升国家教育考试队伍能力和水平。

从题目设置和解题过程我们可以分为三部分:条件、思维路径、结论,可

以 从 这 三 方 面 思 考 ,得 到 如 下 一 些 开 放 性 试 题 的 设 置 方 式 :条 件 开 放 型( 寻 找 使结论成立的条件),结论开放型(隐蔽型、可选择性和多样性。),条件结论都开放型(结构不良试题),思维路径不确定性。

一、结论开放型

(一)结论判断型:学生需要先判断,再证明或否定

(二)结论的可选择性:让学生有不同的切入角度

例 3.(2012 全国新课标)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。

(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n

(单位:枝, n

N )的函数解析式。

(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

(i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列,数

学期望及方差;

(ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由。

【解析】(ii)答案一:购进 17 枝时,当天的利润为

【点评】第(2)问是考察用统计来计算概率,新课改的理念得到不厌其烦地重复,最后一问是利用统计的知识做决策,这是统计的应用,在高考中得到反复考察,常常从收入的均值和稳定性两个角度来思考,此题既可以从利润最大化来思考,选择 17 支,在收入差距不大的情况下,也可以从收入稳定性的角度来思考,选择 16 支,这既与现实生活吻合,答案又言之成理即可,是非常经典的题目。这就像决定两个运动员出去比赛一样,如果对手较弱,可以采取发挥稳定的运动员稳超胜券,如果对手水平很强,我们的目的是冠军,此时可以选稳定性不好,但有过超常发挥的运动员搏一搏。

(三)结论的多样性:举正例或反例

例 4.(2021 八省联考第 15 题)写出一个最小正周期为 2 的奇函数 f ( x ) = ________.

【点评】为开放性试题,需要学生根据条件构造函数,答案不唯一,体现思维的发散性,北京卷经常考。

【点评】北京卷反复考查,要说明一个命题为真命题,严格按照定义证明,而要否定一个命题,只需举出反例就可以了。当时阅 21 题,要说明 a

0 , f (x ) 非奇非偶函数,是几十万份试卷,仅几份试卷举了反例。在数学的研究中,当我们多次尝试证明无果,可以反过来想,它不成立,有时候构造一个反例就是一个重大突破。

二、思维不确定性

【点评】题目并没有明确给出,而需要学生首先要发现 MN 过定点 E,才会得到 D 的轨迹为圆或其部分,所以到圆心的距离为定值,从而确定 Q 为 AE 中点。

变式:(2021 佛山一模)

【点评】结合第二定义和斜率的倍数关系,容易得到 OM 和 QF 的斜率为定值 -1 ,从而得到交点在圆上。

三、条件开放型:寻找使命题成立的条件

本题以条件部分缺失的三角形的存在性探究为情境型材料,创设学习关联情境,命制开放性的结构不良情境化试题。情境化试题求解方案的多样性显而易见。预设的情境活动中,会解体现为学生从 3 个条件中任意选择 1 个,能够借助相关的数学知识或方法完成情境化试题的求解,检测的是学生数学知识或方法的基本运用水平,落实的基础性和综合性的考查要求;优解则体现为学生能够首先借助正弦定理和余弦定理,利用情境化试题已有的条件

和

得出 c = b，进而基于情境化试题的求解导语“是否存在”快速得出最具性价比的解法,选择条件

,得出不存在

的结论。这样的预设情境活动表明,本题能够基于信息获取、信息转化、知识整合、研究探索、批判性和创新思维考查学生的理性思维、数学应用、数学探索等学科素养和创新能力,检测学生数学知识或方法的善用能力发展水平,落实创新性考查要求。

结构不良试题所具有的条件或数据部分缺失或冗余,目标界定不明确,具有多种解决方法、途径,具有多种评价解决方法的标准,涉及的概念、规则或原理不缺定等特征,使其在检测学生数学知识或方法的善用能力发展水平(尤其是解法优劣评估)方面,进而在落实高考数学创新性考查要求方面的作用显见。

五、思维路径的开放性

(一)思维路径不明晰,需要找到一个重要结论

(二)视角的多样性导致了思维路径的多样性

解析几何的视角:代数化

直线是由一点及方向确定的,代数化的过程如下:首先引入倾斜角,接着再借助坡度比引入斜率(倾斜角的正切值),再坐标化。整个的思维过程恰好可以解决此题。

解三角形的视角