正好也已经很久不写东西了，最近数学界又有两件大事，所以打算写点东西。
对于黎曼Zeta函数，最早接触是在调和函数中：
这个级数当然是发散的，不过它很有趣，因为有一个常数就和这个调和级数相关：
调和级数当然可以进一步拓展，比如p-级数：
显然，这个无穷级数求和的收敛半径是
比如如果p=1，那么就是调和级数，它是发散的；如果p=0，那么就是无穷个1相加，也是发散的；如果p=2，那么结果是有限的，为
但，数学上有个东西叫做“解析延拓”，它的作用就是，如果某个函数的定义域是 A，那么我们可以通过解析延拓，将其推广到包含A的更大的范围B中，如果能延拓的话。
比如说，大家都熟悉下面这个几何级数：
最左侧的几何级数，其收敛半径是1。而且当
可最右侧的函数，只要
显然并不是所有函数都可以被延拓，但上面的p-级数求和，恰恰就是可以延拓的那种。
p-级数可以写成积分的形式：
这里用到了
利用
这里围道积分沿着从实轴负无穷到0再回到负无穷的高度趋向0的逆时针闭合回路。这样，就可以将函数解析延拓到
由此可得一个很有用的等式：
这使得我们在求一些
至此，我们就完成了从最开始的p-调和级数的求和到黎曼
在原级数求和的定义域中，我们有
所以，虽然我们有
因为左边的求和并不直接等于p-级数求和的解析延拓，而后者是p-级数求和的解析延拓的结果。
这就是很多看似奇葩的求和结果的来源，一个看着明显发散或者振荡总之不收敛的级数，都和一些意想不到的常数通过等号联系了起来，使得很多人觉得莫名其妙，但本质上这里的等号都不是真的表示其左右的级数和常数是相等的，而是表示级数的解析延拓在给定参数下等于另一侧的常数。
事实上，对于无穷级数的求和，除了通常的“加法”和“收敛极限”，还有很多不同的方法，比如对于振荡级数的平均收敛极限，对应的就是Abel和；或者拉马努金由欧拉-麦克劳林公式得到的拉马努金和。这些“求和”都与我们平常所理解的求和不同，如果不明确其定义，直接看着等式望文生义的话，往往会认为等式结果非常可笑。
从另一个角度来说，这些解析延拓与求和往往都是通过在原函数定义域之外丢掉一些无穷大来实现的，比如最简单的就是之前的几何级数求和的例子，其有限部分和为：
当
这点在物理上其实很常见，我们在做量子场论时经常会遇到各种无穷，然后在这些无穷中扣除一部分与物理无关的无穷，保留下和物理相关的有限部分，这个过程就是“正规化”（找到物理相关部分的过程是“重整化”，扣除的部分是“正规化”）（所以弦论中上述所有自然数之“和”等于-1/12的情况是有的，但那是在重整化意义上的“相等”）。在解析延拓的过程中，我们也可以认为是做了一次正规化，当然具体情况要具体分析。
回过头来继续说黎曼
前面已经提到，
黎曼猜想：黎曼
函数的所有非凡零点的实部分都为。
这个猜想写起来非常简单，但实际上要证明却是非常困难的。
人们已经对大量（数十亿个）非凡零点做了研究，发现都满足黎曼猜想，但这样只能增加人们的信心，却并不是证明了黎曼猜想，毕竟发现再多非凡零点也不过是有限个，对无限个非凡零点，证明力依然很小。
比如说，素数定理告诉我们
可见，有限个数的验证对无穷来说，真的没什么说服力。
那么，黎曼
一个最直接的作用，就是它能提供精确的素数计数函数（也就是上面提到的
我们还是从p-级数开始看起（下面对于求和如果不另外写明，则对n的求和表示对所有自然数，对p的求和表示对所有素数）：
这个等式被称为欧拉乘积公式，其证明过程很容易，将所有自然数项根据素数从小到大进行筛选，在利用
从而，考虑解析延拓则有：
我们可以引入一个辅助函数，称为黎曼素数计数函数J(x)，它是一个很奇特的阶跃函数：
也就是说，每经过一个素数的n次方，该函数增加
然后，我们可以使用黎曼-斯蒂尔杰斯积分（一种分区取样求和然后取极限的积分法，是初学积分时的矩形分割法的升级版）：
其中
由于黎曼素数计数函数 J 是一个阶跃函数，所以如果取它为上述积分公式中的g，那么积分就变成了求和。而又由于阶跃点在素数的n次方，所以我们就有：
于是，我们就可以把欧拉乘积公式改写为积分形式：
这样，黎曼
我们进一步用Mellin变换，就可以将黎曼素数计数函数用黎曼
其中a是大于1的实数。
而黎曼素数计数函数与素数计数函数之间可以用逆莫比乌斯变换来联系：
其中
如果x能写成偶数个不同素数的乘积，则值为1；
如果x能写成奇数个不同素数的乘积，则值为-1；
否则为0；
规定
因此，很显然，只要我们能得到黎曼
而，要计算黎曼
黎曼
这个函数有两个很独特的性质：
以及更重要的：
这里无穷乘积是对所有黎曼
这么一来，
代入黎曼素数计数函数，用一定技巧化简后就得到了这么一个东西：
其中，
至此，
当然，这里不得不说的是，计算非凡零点，尤其是其精确值的难度，比判断一个数是不是素数要难得多得多得多得多得多。在没有计算机之前，手算也只能得到几百个零点，但找素数那可以找几万个，只要有耐心——算非凡零点可不是光有耐心就足够的。
那么，黎曼猜想如果被证实了，对我们寻找素数能带来多大的影响呢？
事实上，影响并不是非常大。
我们可以看到，在黎曼素数计数函数中出现了素数定理中所提到的对数积分，以及由非凡零点调制的高阶项（第三项是常数，第四项随着x的增大而缩小，可以认为是高阶误差项），而从联系
如果黎曼猜想成立，那么这两个函数之间的偏离基本就是
另一方面，如果黎曼猜想成立，我们只需要集中精力在临界线
当然，也还有一些很让人出乎意料的领域可能会有影响，比如物理。
有一个“Hilbert-Pólya猜想”，是这么说的：
黎曼
函数的非凡零点与某个厄米算符的本征值对应。
或者简单一点说，就是存在一个量子系统，其本征能态
事实上，我们有Montgomery-Odlyzko 定律：
黎曼
函数的非凡零点分布可以用任何一个典型随机厄米矩阵的本征值分布来描述。
这次数学家Atiyah用来证明黎曼猜想的尚未公开的方法（本文写于22号，Atiyah将于24号公布其成果，所以写本文的时候方法尚未公开），就有人相信是采用了这种“量子证明法”，构造了可能如下形式的哈密顿量：
然后使用算子理论对其进行谱分析所得到的结论。
总之，就个人来看，由于现在其实很多人都在默认黎曼猜想成立的情况下进行数学工作，得到了很多有意思的结论，那么进一步证明这个猜想真的成立，也不会突然带来巨大的进展或改变——假如说证明它不成立，那带来的冲击才叫大呢。
那么，它和RSA加密又有什么关系呢？
RSA加密的本质，其实是大素数分解，即我们要在知道两个很大的素数p和q，然后使用它们的一些数论结果来进行数据的加密（基本都是模运算）。
要破解RSA加密，那本质就是在知道p和q的乘积N的情况下，逆向找出p和q。
由于这里涉及的都是素数，所以自然会有人认为如果黎曼猜想被证明成立，那么RSA就岌岌可危了。
这纯粹是危言耸听胡说八道。
首先，就算黎曼猜想被证明成立，我们计算非凡零点的进程也依然不会有什么加速——因为，人们早就在默认黎曼猜想成立的情况下来寻找非凡零点了（当然，数值验证猜想的人并不局限在这点上，然后数十亿、百亿的结果都支持黎曼猜想）。
其次，就算黎曼猜想的证明让我们突然能很快地找到所有非凡零点，从而找出素数分布的精确模式，也就是俗话所说的找到了素数地图，那么也不表示破解RSA所要的从N=pq找出p和q就会变得很快，毕竟，知道有哪些素数，和找出符合条件的素数，是两码事，后者的所要求的计算量依然是
这就好比说，我告诉你房间里五个开关，控制五盏灯，让你找出哪一个开关控制哪一盏灯，然后告诉你这五个开关具体的位置，能降低你开关灯的次数么？并不能。
充其量，是我们生成素数的算法可以有改进——这还是在能从黎曼猜想带来非凡零点计算的加速这个假设上来的，而这个假设本身并不成立。
要攻破RSA，还是期待量子计算机吧——量子Shor算法理论上可以将大数素数分解的计算复杂度降低到
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