Sobolev空间的基本内容（上）

Abstract

在偏微分方程（partial differential equation,简称“PDE”）理论中,空间和估计是极为重要的内容.本文所要介绍的Sobolev space正是PDE中一类基本且重要的空间,另外本文主要总结一下Sobolev空间的基本内容.

一、Sobolev空间基本概念

Definition1.1:Sobolev space(索波列夫空间):局部可积函数,满足 . 这里的为开集(open).

Remark:是Hilbert空间(证明?).
Definition1.2:,并且使得在上,.

二、Approximation(逼近)

这部分是用光滑函数来逼近空间内的函数,分为局部估计和全估计.
Theorem2.1(Local approximation by smooth functions):假设对于某些,考虑

则当时, in .
Remark:注意到此时的,这里的称为软化子(mollifiers).

Theorem2.2(Global approximation by smooth functions):假设是有界的(bounded),对于某些,,则存在函数列使得

 in.

一方面,Theorem2.2比Theorem2.1优化到全估计,不仅仅是局部估计,但需要对施加有界性这个条件.但另一方面,我们对定理2.2中的所具有的性质要求再苛刻一点,即要求.那么此时需要对再施加一个条件:.

Theorem2.3(Global approximation by functions smooth up to the boundary):...(思考题？)
补充一点, 比多了边界光滑.

三、Extensions(延拓)

我们的目的是要能够将延拓为,但是要保证:the weak derivatives across  exists.下面的范围均是.
Theorem3.1(Extension Theorem):假设是有界的,是的,则存在一个有界线性算子(bounded linear operator)

使得对于每个都几乎处处成立.
Remark:注意到我们把此时的称为到的一个延拓.除此之外,我们还可以证明:

一个值得思考的问题是,延拓定理考虑的对象是,那么针对、甚至是又当如何呢?事实上,如果Theorem3.1中的边界是的,则此时构造的算子也是到的有界线性算子,同样的我们可以得到估计

但注意到当时,Theorem3.1的构造方式将不能为空间提供延拓证明.Extension Theorem 在后面的Sobolev inequalities 方面起到了不小的作用,因此有必要关注它的成立条件和相关结论.

四、Traces(迹)

我们先考虑是的,一个很自然的问题是,我们能否对空间内的函数的边界()值进行赋值?由于,因此一般不是连续函数,故而我们只能借助迹算子(trace operator)来回答这个问题.下面我们假定.
Theorem4.1(Trace Theorem):假定有界,是的.则存在有界线性算子(bounded linear operator):

使得对于,有.
Remark:注意到我们称定理中的为在上的迹.trace这个词音译出来有"痕迹"、"迹线"之意,因此个人以为这里的名称来源于算子的值域回归到边界上(边界是一条"线").另外对于,有不等式

而对于一般的的trace theorem,对其讨论则更加复杂,可以参考R A Adams的书《Sobolev spaces》.

<参考文献>

Lawrence C. Evans.Partial Differential Equations.the American Mathematical Society,2010.