随机过程的基本概念(下)

[上期回顾]:随机过程的基本概念(上)

四、二维随机过程和复值随机过程

前面我们所述均是对某个随机过程的内部研究,去考虑其数字特征和有限维分布函数族等等.现在如若我们有两个随机过程和,我们想要去研究二者之间的相互联系和相互影响,那么此时该怎么办呢?这时我们需要引入二维随机过程.

关于二维随机过程,我们自然地可以给出维分布函数和有限维分布函数族概念.与概率论里类似,我们需要考虑两个随机过程相互独立与不相关的数学描述.

Definition1.4.1(互相关函数):随机过程和的互相关函数为

Definition1.4.2(互协方差函数):随机过程和互协方差函数为

Remark:如果,均有,则称随机过程和不相关.而随机过程和相互独立是指:   ,

与

相互独立.同样类比于概率论,我们想要去分析相互独立与不相关二者之间的关联.

Theorem1.4.3:假设二维随机过程满足:

则相互独立不相关.

Remark:(1)该定理中所满足的条件其实就是指两个随机过程均为二阶矩过程;
(2)上述定理结论是单方面的,如果我们要考虑不相关相互独立,则我们额外需要假定二维随机过程是二维正态过程(其定义是:任意有限维分布都是正态分布);
(3)概率论中随机变量和的协方差存在时,相互独立可推出不相关.

引入二维随机过程的目的不仅仅是想探究两个随机过程和之间的关联,更是为了复值随机过程的引入带来了便利.正如复变函数论中中点的对应与点对应一致,我们可以同样知道复值随机过程()与一一对应.同样地,我们可以去考虑其数字特征.基本的事实依然是:均值函数与自相关函数是最基本的数字特征.

五、几类随机过程

我们先前已经介绍了高斯过程和二阶矩过程,之后我们会介绍泊松过程、布朗运动、更新过程、马尔科夫过程、平稳随机过程.前三个过程是教材中第三章内容,马尔科夫过程是第四章内容,而平稳随机过程是第五章内容.我们指出布朗运动和泊松过程均是平稳独立增量过程,下面给出它的定义.

Definition1.5.1(平稳独立增量过程):我们称随机过程是平稳独立增量过程,如果其满足:

(独立增量性),,,随机变量

相互独立的;

 (平稳增量性)和, 

和

都服从相同的分布.

Remark:如果增量过程满足独立性,则称为独立增量过程,同理平稳增量过程满足平稳性.我们知道随机过程的协方差函数可以写出方差函数(参见参考文献).那么一个自然的问题是,在什么情况下,已知方差函数可以写出协方差函数.事实上,我们有这一结论:对于一个二阶矩过程,如果它是在初始时刻恒为某个常数的独立增量过程,则已知方差函数可以写出协方差函数.

下面介绍独立过程、伯努利过程、正交过程以及正交增量过程,这里不打算照搬定义,而采取更为通俗的说法描述.

独立过程是相互独立的随机变量序列.

(参数的)伯努利过程:(1)是独立过程;(2)服从相同分布(0-1分布).

正交过程:(1)是复值二阶矩过程;(2)满足,.

 正交增量过程:(1)是复值随机过程;(2),总有

<参考文献>

钱伟民,梁汉营,杨国庆. 应用随机过程.北京:高等教育出版社,2014.