热传导方程的正则性研究及其推广情况

热传导方程作为一类典型的抛物型偏微分方程,其物理用途在于描述一个区域内温度随着时间变化时所具有的性态.针对一般的二阶抛物型偏微分方程,我们已经相应有对其弱解的正则性结果.考虑下面的二阶抛物型方程初边值问题[1]:

注意到在,情况下我们已然可以定义上述问题的弱解.而如果函数可以属于更好的空间的话,那么弱解在原有的基础上可以变得更加"光滑",这也是所谓的regularity问题的由来.所谓正则性,其实就是指解的光滑性.

Theorem1(Improved Regularity):假定.
同时也假定并且 ,若是

的弱解.则

并且我们有估计

这里常数的 ,的系数).

针对该定理,我们很自然地考虑热方程情形.如若我们从简单的热传导方程(热方程)的初值问题出发,即考虑下述方程[2]:

将该方程与[1]进行对比,不难得知只需要将[1]中的就可以得到[2].因此,从这个视角出发,热传导方程确实是二阶抛物型偏微分方程的一个特例,注意前者是数学物理方程中的重要内容.值得说明的是,被称为拉普拉斯算子(Laplace operator),在绝大多数情况下我们更喜欢考虑.

为得到方程[2]解的正则性,我们总是假定方程的解是一个光滑解,同时假定当时 快速趋于0.值得注意的是,快速趋于0的好处是  的各阶偏导数可以在靠近边界附近均为0,由此实现分部积分的技巧.经过一系列的计算后,我们将得到

.

心细的读者想必很容易就可以发现该估计与Theorem 1中估计的关联,如果没有发现的话,那么查找带有时间的索波列夫空间是你解决该问题的绝佳选择.针对Theorem1的正则性结论,其实还有更加一般的结果:

Theorem 2 (Higher regularity):假定. 同时也假设 阶相容性条件成立:

则

对比该定理与定理1,不难推知当时定理2情形即为定理1.关于该定理的证明,需要使用数学归纳法.此外,由该定理可以导出正则性理论里的无穷可微性定理:

Theorem3(Infinite differentiability):假定

并且for 阶相容性条件 成立.

则抛物型方程[1]有唯一解

Proof:Apply Theorem 2 for .

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[注]:本文来源于笔者今天偏微分方程学术讨论班汇报的部分内容,欢迎大家与笔者交流!