用柯西不等式破一道有趣的定积分题

笔者在高等数学答疑群中发现了下面这样一道积分不等式问题:

设，并且该函数在区间上连续，且，证明:

这道题刚开始看到的时候，会觉得很有意思，首先待证明的积分不等式被积函数中出现了，这个并不是题中已有的信息。如果要证明该不等式，我们观察到是两个积分乘积，由此可以想到所谓的柯西不等式的积分版本。

当然这个不等式是非常常见的，特别是在数学分析或者高等数学课程中经常看到。此外，如果有读者学习过了偏微分方程的基本知识，想必也会对柯西不等式的妙用感到惊讶的。

即便我们使用了柯西不等式来解决问题，但是好像问题依旧没有完全解决。我们需要处理下面的积分

注意到题目中还有一个为正的条件还没用，在结合题中的其他条件，因此我们可以考虑基本不等式

至此，我们可以给上面的问题一个简洁的解答过程(依旧手写):

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ps: 昨天晚上去了复旦皇冠假日酒店，参加了字节跳动上海站的宣讲会。一进门，就发现座无虚席，只能站在一旁与同学一起听了。字节跳动的岗位类型还是挺多的，比如：研发、产品、运营、设计等。本来今天一路奔波挺累了，晚上继续解题发题，纯属用爱发电哈哈^_^

字节跳动宣讲会很盛大，很豪华，很有排面！