黎曼面也叫黎曼曲面，顾名思义，它是由大数学家黎曼构想出来的一种抽象曲面。黎曼面这个看上去比较简单的几何基本概念对于近现代数学发展的影响来讲，可以说是无与伦比的，由它而产生的一些深刻数学原理推动了现代基础数学的几个主要分支学科的发展，其中包括了代数几何、代数拓扑、多元复分析、微分几何、偏微分方程等学科。从某种程度上说，黎曼面理论已经成为了当今人们叩开现代数学之门的一把钥匙。下面简要介绍了这个重要理论的来源以及它的深远意义。
说起19世纪的大数学家黎曼，人们一般认为他最大的贡献是提出了黎曼几何。而在黎曼一系列重大的数学创造中，有关黎曼面和阿贝尔积分理论方面的工作可能是最不为人们所了解的一个。
黎曼在1851年的一篇关于复变函数的奠基性论文中首次给出了黎曼面的概念。他认为复变函数不应只定义在通常的复平面上，而是定义在一张“拓展到许多叶”的曲面上。为此黎曼构造了一个新的曲面用以代替通常的复平面，使得在这个新曲面上，原来多值的代数函数变成了容易处理的单值函数，这个曲面就是著名的黎曼面。
例如就是一个关于复自变量的二值函数，即对的每一个值，有的两个值与之对应。为了产生一个单值函数，黎曼给每一个分支(和 )都引进一个包含了无穷远点的平面，这两张被称为“叶”的平面在和处连接起来，并且这两点的连线是正实轴。由上叶表示，由下叶表示。当沿着上叶围绕原点的圆逆时针方向变动一圈时，它的像只覆盖住映入值的复平面上的一个半圆，现在让穿过正实轴进入下叶(此时取值)，再沿着围绕原点的圆变动一圈，就得到了映入 值复平面上的另一个半圆。而当又一次穿过正实轴时，我们认为它回到了上叶。这样的一张曲面虽然由两叶组成，但是却在正实轴处互相穿过(其实曲面在正实轴上除0与两点外是不相交的)，我们只能想象这样一张奇怪曲面的形状：
（注意此图中上叶应该是，下叶是）虽然这张被称为黎曼面的曲面有悖于我们的空间直觉，但引入它有极大的好处：当在这个由两叶组成的曲面上变动时，就变成了 的一个单值函数。这样，所有由多值函数引起的麻烦立即就烟消云散了。
在黎曼所处的时代，拓扑的思想才刚开始萌芽，还没有我们现在成熟的拓扑语言，所以黎曼只能借助于不少日常的语言来描述他的方法。由于人们难以理解黎曼的想法，后来的数学家们就提出了一个与上述黎曼面等价的更容易想象的几何模型。首先，利用球极投影可以将任何一个复平面都变换成一个球面，
这样，的两叶平面就可以变换成两个半径接近的同心球面。此时，复平面上的正实轴被映射成球面上的一段弧，弧的两个端点分别是0和的像。接着将这两个球面都沿着这条弧“剪开”，再作一个拓扑变换，就可以将这两个同心球面按照如下方式“粘帖”成一个球面。
因此，的黎曼面拓扑同胚于一个球面！
用同样的方法，我们可以建立的黎曼面与环面之间的拓扑同胚关系，这里的与是不相等的非零常数。此时的两个同心球面要沿着0到、到的两条弧如上图那样剪开，再按下图进行适当粘贴，就可以得到一个具有一个“孔”的环面。
而对于任何一个紧黎曼面来说，都可以像这样找到一个具有若干个“孔”的闭曲面拓扑模型。
这些孔的个数被称为黎曼面的亏格，它是刻画黎曼面拓扑性质的主要不变量。
1857年，黎曼在其一篇较长的论文“阿贝尔函数的理论”中系统阐述了他的阿贝尔积分和黎曼面的理论，我们可以从中看到，黎曼提出他的黎曼面理论的一个主要目的是为了澄清和发展关于阿贝尔积分的理论。
所谓阿贝尔积分，是比椭圆积分（来源于微积分中一些积不出来的积分）更广的一类积分
其中的是有理函数，并且是代数函数，即满足以下不可约代数方程
的函数，这里的是的多项式，并且、 和 都是复变量。
应当指出，黎曼原来的表述还是比较繁琐和艰深晦涩的，许多数学家为了解读黎曼的思想，曾经作出了巨大的努力，特别是在20世纪初有了点集拓扑与代数拓扑的语言后，就可以明确地表述黎曼的思想了。在这方面，外尔(C. H. H. Weyl)的作用是非常大的，他充分吸收了克莱因(F. Klein)等人的思想，于1913年在他的《黎曼面的概念》一书中正式引进了黎曼面的现代概念，并且用新的拓扑与分析语言重新整理和阐述了黎曼面的基本理论。在下面我们尝试用现代数学的语言来介绍黎曼在这方面最主要的成就。虽然这样做与历史发展的若干事实有所不符，但却可能使黎曼的想法更为清晰一些。
黎曼首先是改变了黎曼面的从属地位。前面我们是从一个代数方程(即平面代数曲线) （例如）出发，确定了相应的黎曼面。而黎曼则做得更加彻底，更接近现在的做法。他认为是先有一个黎曼面，然后再证明有一个属于它的代数方程。黎曼还推导出黎曼面上的全纯函数的实部与虚部都应满足拉普拉斯(Laplace)偏微分方程，然后他运用一个他称之为“狄利克雷(Dirichlet)原理”的变分方法构造了这样的全纯函数和半纯函数(这个著名原理的提出和运用，在后来实际上促进了椭圆型偏微分方程理论的发展)。黎曼面的现代定义是一维的复流形，即是局部全纯同胚于复平面开集的连通的豪斯多夫(Hausorff)拓扑空间，并且当此拓扑空间紧致时，称黎曼面是紧的。可以证明，由代数曲线确定的黎曼面一定是紧的。反过来，每个黎曼面都可以被嵌入射影空间，因此由著名的周炜良(Chow Wei-Liang)定理，它一定是代数曲线。
黎曼不仅建立了代数曲线与黎曼面之间的等价关系，他还首次确立了每个黎曼面与它的有理函数域之间的紧密联系。两个黎曼面与之间如果存在一个双射的双全纯对应，那么两个有理函数域与之间一定是同构的，后者是一个纯粹的代数表述。不仅如此，此时在几何上等价表述是：两条相关的代数曲线 与 之间一定有一个双有理对应。黎曼在这里首次明确给出了双有理几何的最基本的研究对象。双有理变换是一种比射影变换更加宽泛的变换，它能够保持代数曲线的亏格（即相应的黎曼面亏格）不变。从黎曼的时代到现在，整个代数几何主要研究的其实就是一般代数簇的双有理分类。
黎曼证明了黎曼面的亏格等于上线性无关的全纯微分形式的个数，即如果记上全纯微分形式组成的线性空间是,那么它的维数
这个等式也可以看成是最早的“指标定理”，因为它建立了黎曼面上分析不变量与代数曲线拓扑不变量之间的紧密联系。
在有了黎曼面这样一个强有力的几何武器后，黎曼就可以着手澄清完善阿贝尔和雅可比关于阿贝尔积分的理论和方法了。阿贝尔积分其实就是积分(1)中的全纯或亚纯微分形式在与代数曲线（2）对应的黎曼面上的积分。由于柯西积分定理在黎曼面上也成立，所以每个全纯微分形式都有个积分“周期”，这是因为黎曼面的同调群有一组典范闭曲线 (即上面最后一个图中的 条闭曲线)，因此如果 是上的闭曲线，那么就有
这里的就是周期。进一步设线性空间的一组基为，黎曼通过将这些微分形式在闭曲线上分别进行积分，得到了 阶的周期矩阵
可以特别选取微分形式，使得上述矩阵进一步写成下面的分块矩阵
这里的是阶单位方阵， 为 矩阵。黎曼经过计算，得到了他的“双线性关系”：
运用这个双线性关系，黎曼就可以将经典的阿贝尔定理推广到黎曼面上了。先记矩阵(3)的个列向量依次为 ，它们的整系数组合全体记为，并且设 是黎曼面上的除子（上一些点的整系数线性组合称为“除子”，这个概念被用于刻画上一些有理函数的集合，并且由有理函数的零点与极点所确定的除子（）被称为“主除子”），那么著名的阿贝尔定理就能表达成这样的结论：
“是主除子的充分必要条件是
”
我们看到，黎曼面上的阿贝尔定理其实是刻画了黎曼面上每个主除子的一个主要特征。
接下来还是运用这个双线性关系，黎曼得到了他的一个重要不等式。对于黎曼面上的每个除子 ( 是整数，是上的点)来说，可以考虑线性空间
记它的维数为 ，另外再记的次数 为 ，那么黎曼证明了
其中的 是的亏格。后来黎曼的学生罗赫(G. Roch)在这个不等式的右边加上了一项 ，使之成为了一个等式：
这里的 是黎曼面上与微分形式有关的典则除子，而的含义与相仿。公式(4)就是大名鼎鼎的“黎曼-罗赫定理”，这个定理也表示了左边的分析不变量与右边的拓扑不变量之间的紧密联系，它是代数几何这门学科的基石。黎曼面上的黎曼-罗赫定理不仅在20世纪50年代被推广到了高维的情形，甚至还在60年代被推广成了著名的阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理。
黎曼在1857年的论文中还有两项令世人惊叹的重要贡献。一是黎曼一举解决了所有维数的“雅可比反演问题”。具体来说，如果我们称商空间 为黎曼面S的雅可比簇(记为 )，
为对称积(是置换群)，那么所谓的阿贝尔-雅可比映射
就建立了 与 之间的双全纯对应，黎曼称逆映射 为具有 个线性独立周期的“阿贝尔函数”，它们是椭圆函数的高维推广。黎曼还给出了一般的 函数的定义和性质。这些都直接导致了后来在算术代数几何中十分重要的“阿贝尔簇”理论的诞生。黎曼所作出的另外一项重要贡献是在历史上首次提出了模空间(也称为参模空间)的概念，并且计算了由全体亏格为 的紧黎曼面的同构类组成的模空间 的参模(moduli)——也就是 的维数（即 所依赖的连续复参数）。黎曼得出的著名计算结果是
可以证明，对于模空间 ，可以赋予其拟射影代数簇的结构。最近几十年来，模空间已经成为了当今几何学最主要的研究对象之一。
从上面可以看到，黎曼面的重要意义在于它开辟了一大批全新的数学研究领域，它在整个20世纪现代数学的发展历史中扮演了一个举足轻重的关键角色。人们发现，黎曼面是全纯解析函数和半纯函数最自然的定义区域。在此之前的传统复平面上复变函数理论只是最简单的特例情形。而从黎曼面这个基本概念出发，可以提出和解决更加深入和基本的数学问题。
例如从代数几何的角度看，黎曼面的理论其实也就是复代数曲线的理论。在黎曼之前，代数几何学家所用的研究代数曲线的方法基本上都是代数的综合方法，也就是运用外在的嵌入欧氏空间(或射影空间)的方法。自从黎曼引入了黎曼面的方法，情况就发生了根本的变化。黎曼面的方法是不依赖于外在欧氏空间的内蕴方法。事实上，只有将外在方法与内蕴方法这两种理论结合起来，人们才能透彻地理解代数曲线。
沙法列维奇(I.R.Shafarevich)曾经这样解释：
““事实上这两个理论是'同构的’。它们可看成是描述同一逻辑关系体系的两种语言。语言的选择决非不重要，因为它隐含了它本身的直观和形成问题的方式。”
”
例如黎曼面的亏格对应了代数曲线的用纯几何方式定义的亏格，
“ “黎曼面之间的共形等价对应于代数曲线之间用纯几何方式定义的一种关系，即双有理等价。也许最让人惊奇的事情是，甚至与黎曼面上的积分('阿贝尔积分’)有关的结果都有其代数几何的等价物”（《代数几何I：代数曲线、代数流形与概形》（科学出版社））。
黎曼面方法的重要意义还表现在：
“因为它是在代数簇的研究中首次引入了解析与拓扑方法，所以这种研究方法后来也促进了整体微分几何、代数拓扑学和多元复分析理论的诞生与发展。例如从提出黎曼面的概念开始，实际上就逐渐引出了现代几何中最基本的微分流形的精确定义，从而为20世纪几何与拓扑的研究建立起了一个最大的平台(陈省身先生曾经说过“将来数学研究的对象，必然是流形”这样的话)。又例如来源于黎曼面理论的微分形式语言，成为了现代微分几何的基本语言。
”
在20世纪前期，在微分几何中主要采用的是张量场语言，各种张量指标的运用不胜其繁，严重遮蔽了流形内在的几何意义。为此E. 嘉当创造了活动标架方法，用微分形式的语言来代替张量场语言。这继而被陈省身先生一心一意地加以使用和推广，最终促使在20世纪中期改变了整体微分几何的语言。人们发现，从微分形式中可以直接得到流形的几何与拓扑不变量，从而建立起分析与拓扑之间的深刻联系，这在黎曼面理论和一般代数几何的理论中表现得最为自然和明显。我们完全可以说，黎曼所开创的以黎曼面理论为代表的分析方法成为了现代数学发展的开路先锋。在黎曼之后，分析的方法被延续下来了。主要的推动者为克莱因和以阿佩尔(P.Appell)、安贝尔(G.Humbert)、皮卡(É.Picard)、庞加莱为代表的法国学派，他们开启了对阿贝尔簇(Abelian Varieties)、代数簇的拓扑以及高维代数簇上的代数微分形式的积分的一般研究。在这个方向上的实质性进展由莱夫谢茨(S.Lefschetz)、霍奇(W.D.Hodge)和凯勒(E.Kähler)在1920-1950年代中所获得，并且最终由小平邦彦(K.Kodaira)和希策布鲁赫(F.Hirzebruch)在1950-1970年代通过引入层与上同调的方法而加以完善。
黎曼所开启的内蕴方法也让人们真正理解了代数簇的几何结构，并且由此打开了建立现代抽象代数几何的大门。因为人们发现，代数曲线的“所有几何结构都能被描述为关于点的坐标和曲线方程的系数的代数运算，因此我们可以假定这些量是在任意一个域中，而不必局限在复数域内”（《代数几何I：代数曲线、代数流形与概形》（科学出版社））。这种不是复数域的域可以是代数簇上的有理函数域，也可以是有限域，或者是有理数域，这样就能够将代数几何的理论运用到其他的数学问题和分支学科中去。事实上，以克罗内克、戴德金和韦伯(Weber)为代表的代数学派受代数数论的启发相继引入了抽象的理想、赋值和除子等基本的概念，他们试图将黎曼关于阿贝尔积分的工作建立在坚实的代数基础上，特别是戴德金和韦伯这两位数学家已经有了用纯代数的方法来研究代数函数的超前想法。与此同时，以克莱布什(Clebsch)和M . 诺特(M. Noether)为代表的几何学派继续从经典代数几何的角度深入研究、解释和完善黎曼的工作，并且将其关于复代数曲线的工作努力推广到(复)二维的复代数曲面上，从而导致后来产生著名的意大利学派以及扎里斯基、韦依等人将代数几何抽象化的重要工作。
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