最近，虞言林老师写了一本表面上看起来像是初等几何的小册子：《从三角形内角和谈起》（高等教育出版社，2021年）。实际上，该书是一本关于极其深奥的现代数学的普及读物，其内容包括了闭曲面的高斯-博内定理、黎曼面初步、同调论的思想、层论介绍、霍奇定理和指标定理的含义等，它实际上只适合相当于大学数学系数学专业的研究生层次的读者来阅读，以便使他们能够更好地了解现代数学的一些发展成果，开阔自己学习和研究的眼界。
图1：虞言林老师写的《从三角形内角和谈起》（高等教育出版社）
20世纪是现代数学的大发展时期，包括微分几何、抽象代数、偏微分方程、泛函分析、代数拓扑、多复变函数、代数数论和代数几何等在内的各主要分支学科的发展尤为迅速。如今基础数学的抽象与艰深的程度登峰造极，呈现了前所未有的极其丰富多彩的现代数学知识成果，这对于学习现代数学的人们来说也造成了很大的困难。因此关于现代数学的历史研究与普及对于研究生水平的数学专业基础课的教学来说，显得尤为紧迫和重要，但是国内数学界在这方面的工作还做得非常少，许多数学专业课的教材往往只注重逻辑的演绎和推理，而缺乏对背后的思想和历史发展过程进行必要的解释。
整个数学发展的历史告诉我们，如果不对大量具体的材料进行提炼和抽象，数学就无法进一步发展，而在进行提炼和抽象时，必定会同时擦去数学曾经“走过的足迹”。所以我们要在教学中尽量地保留这种痕迹，给出重要数学问题解决和重大数学理论创立的详细的历史发展过程和思想源流，并且与课程的逻辑推理体系有机地结合起来，这样才能使我们的学生能够真正理解高度抽象的现代数学。
虞言林老师的这本《从三角形内角和谈起》，就是在做这样的关于现代数学历史的普及与解说工作。这本书首先用最简单的三角形内角和定理，来引出高斯的曲面上由测地线围成的三角形内角和定理，由此就能够进一步推广成著名的关于闭曲面的高斯-博内定理。
闭曲面的高斯-博内定理最早可以追溯到平面几何中三角形三内角之和等于180°的定理，后来人们将这个基本定理推广到了半径为 的球面上，即对于球面上以三条大圆弧围成的球面三角形，如果它的面积是 ，三个内角分别是 、 、 ，那么成立等式
这里的表示180°。到了19世纪，高斯进一步将上式推广到任意的光滑曲面上：对于曲面上由三条测地线围成的测地三角形 来说，如果它的三个内角分别是 、 、，那么一定能成立等式
其中的 就是该曲面的内蕴不变量——高斯曲率函数，而 是面积元，并且等式中的面积分是在测地三角形 上的积分。后来由一位叫Van Dyck的数学家将上式继续推广到位于3维欧氏空间中的闭曲面 的情形：
这里的积分区域已经扩大到了整个的闭曲面 ，而在等式右边出现的整数 就是欧拉示性数，它是用来刻画闭曲面 的整体几何形状和拓扑性质的一个基本不变量。上面的这个等式（1）就是闭曲面的高斯-博内定理（或高斯-博内公式）。
接下来，在《从三角形内角和谈起》的第二章里，作者重点介绍和讲解了黎曼面的基本思想和一些初步理论。
黎曼面是由大数学家黎曼构想出来的一种抽象曲面，他在1851年的一篇关于阿贝尔积分理论的奠基性论文中首次给出了黎曼面的基本概念。黎曼认为一元复变函数不应只定义在通常的复平面上，而是应该定义在一张“拓展到许多叶”的曲面上。这样便形成了一个新的抽象曲面，它可以用来代替通常的复平面，使得在这个新曲面上，原来多值的代数函数变成了容易处理的单值函数，这个新的曲面就是著名的黎曼面。
从现代数学的观点来看，黎曼面实际上是一个1维的复微分流形，它具有十分丰富的分析与几何性质。黎曼面的思想对于近现代数学发展的影响来讲，可以说是非常大的，由它而产生的一些深刻数学原理推动了现代基础数学的一大批主要分支学科(包括代数几何、代数拓扑、多复分析、微分几何、偏微分方程等学科)的迅速发展。
虞言林老师在《从三角形内角和谈起》的第二章和第三章中，仔细解释了为什么在黎曼面上寻找全纯与半纯函数时，所进行的复积分计算会导致同调论的基本问题和椭圆型偏微分方程 的求解问题（其中包括了狄利克雷原理的产生过程），然后他大致按照黎曼在当年的珍贵思路，推导出了黎曼面上的“黎曼不等式”，而这个不等式其实就是大名鼎鼎的黎曼面上的“黎曼-罗赫定理”的前身。黎曼面上的黎曼-罗赫定理后来成为了代数几何这门学科的基石和发展的源头。
这里简单解释一下黎曼面上的黎曼-罗赫定理的基本含义。对于一个黎曼面来说，我们称上一些点的整系数线性组合为“除子”（可以将除子这个概念的作用大致理解为是用来刻画上某些有理函数的集合），并且称由有理函数 的零点与极点所确定的除子为“主除子”。对于黎曼面上的每个除子 ( 是整数，是上的点)来说，可以考虑线性空间
其中的 是黎曼面上的全体有理函数的集合。现在记 的维数为 ，另外再记 的次数 为 ，那么黎曼所得出的“黎曼不等式”就是
其中的 是的亏格。后来黎曼的学生罗赫(G. Roch)在这个不等式的左边减去了一项 ，使之成为了一个等式：
这里的 是黎曼面上与微分形式有关的典则除子，而的含义与相仿。公式(2)就是黎曼面上的“黎曼-罗赫定理”，这个定理明确表示了等式（2）左边的分析不变量与这个等式右边的拓扑不变量之间的紧密联系。
黎曼面上的黎曼-罗赫定理在20世纪的50年代被推广到了高维的情形，这个推广的基础是对同调论的进一步拓展与深化。在《从三角形内角和谈起》的第四章和第五章中，作者在给出了同调论基本思想的基础上，着重介绍和描绘了由韦依（或韦伊）和H.嘉当（E.嘉当的儿子）所创造的层的上同调理论的基本想法，这个十分抽象的层的上同调理论可以用来统一与整合高维的高斯-博内定理与高维的黎曼-罗赫定理。
层论最早是由法国数学家勒雷(Leray)在20世纪40年代初提出的，层的概念来源于复变函数中的全纯(解析)函数，它的元素既可以是函数，也可以是包括了群、环和纤维丛的截面(section)等在内的其他各种推广意义上的“函数”，因此层也可以看成是纤维丛的某种抽象的推广。层 的定义大致是：
“设 是拓扑空间， 是开集，记是 上某种“函数”的集合。如果是 的一个开覆盖，并且对任何 与 ，都对相关的限制“函数”成立
则存在唯一的 ，使得对任何 ，都有 。
”
层的优点是，它就像一个灵活的百变魔术箱，可以用来刻画流形的各种几何与拓扑信息。例如通过建立层的上同调群，就可以从流形局部的信息来得到流形整体的信息，并且还可以处理带有奇点的复杂几何空间或流形。在20世纪的50年代，数学家H. 嘉当在研究多复变函数论的时候，发现勒雷的层论非常有用。他发现复代数几何中意大利学派的许多不变量都可以通过层的上同调群语言，很容易地表示出来。例如，如果设
是维紧致连通复凯勒(Kähler)流形 上结构层 的复形，和代数拓扑中的单纯复形一样，可以定义结构层 的“上同调群”：
那么这时的 就是 的几何亏格，而它的算术亏格则是
H. 嘉当还进一步给出了“环层空间(ringed spaces)”的定义，它的作用是将简单的空间“粘贴”在一起（环层空间的概念是现代代数几何中“概形”定义的基础）。H. 嘉当还与艾伦伯格(Eilenberg)一起创立了同调代数的基本理论体系，并且证明了同调代数中的大量定理。
在《从三角形内角和谈起》这本书的最后两章（第六章和第七章）中，虞言林老师非常精彩地从很基本的霍奇定理中，引申出了阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理的基本思想。这个非常著名的指标定理被认为是20世纪最伟大的数学定理之一，因为它揭示了微分几何学与拓扑学、代数几何学、偏微分方程等学科之间的深刻联系。
闭流形 上的一类椭圆型偏微分算子的指标是表示该微分算子分析性质的一个整数，阿蒂亚-辛格指标定理告诉我们，这个整数其实也是流形的拓扑不变量，并且它可以用几何量的积分来表示。阿蒂亚-辛格指标定理的基本内容可以非常粗略地写成下面这个等式：
其中左边积分号内的这个“表示陈类的微分形式”，与几何大师陈省身先生所创造的“陈（省身）示性类”（简称“陈类”）有着十分密切的关系。这个微分形式显示的是在流形 上每一点处的局部几何信息，而在上述等式（3）右边的“算子的指标”则表示流形整体的分析信息，两者十分完美地联系在一起。这个等式（3）的形状看上去和闭曲面的高斯-博内定理（1）有点像，在它们的等式左边都有一个在流形 上的积分。事实上，阿蒂亚-辛格指标定理是一个综合了许多重要定理内容的超级大定理，它不仅包含了高维的高斯-博内定理的结论，同时也包含了高维的黎曼-罗赫定理（也称为“希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理”）的结论。
从黎曼面到指标定理的历史发展过程，实际上有很多的内容可以展开来详细地讲，但是另一方面，有过数学科普写作经历的人们都可以体会到，写这类有关现代数学的高级科普读物实在是太难了，这是因为本来数学科普读物就十分难写，更何况现在科普的对象是高度抽象的现代数学。事实上，有不少专家就认为现代数学是无法进行科普的。例如著名的已故代数学家曹锡华先生在写作《抽象代数概貌》（科学技术文献出版社，1990年）这本综述科普性的书时，曾经说过“内容广泛、抽象，这是抽象代数学的一个特点，不大可能通俗地讲清楚。”虞言林老师在《从三角形内角和谈起》这本比较薄的小册子中，也只是挑选了关于流形的几何学与拓扑学中几个最基本和最简单的成果来进行讲解和科普，他在该书的结束语中这样说道：
““写作伊始只有一种意向而胸无定局，只能写到哪里算到哪里”，
“如果能使部分读者对当今数学的一个主流产生一点兴趣，一点好感，那就达到写作的目的了。”
”
笔者相信以中国之大，虞言林老师的这本小书必定能够启发许多人来学习和研究现代主流数学，从而可以得到在传播现代数学方面相当可观的回报。
在《从三角形内角和谈起》这本书中，可以看出有这样一条鲜明的叙述主线：
三角形内角和 → 闭曲面的高斯-博内定理 → 黎曼面 → 黎曼面上的黎曼-罗赫定理 →同调与上同调 → 层论 → 高维的黎曼-罗赫定理 → 阿蒂亚-辛格指标定理的基本思想 → 陈（省身）-韦依（韦伊）理论的基本思想。
该书对高维的高斯-博内定理，基本上没有仔细地展开来讲，在这方面，可以参阅笔者最近在微信公众号“小朱的读书笔记”中写的文章“读'几何学在美国的复兴：1938-1988’（下）”，其中比较详细地介绍了陈省身先生对高维的高斯-博内定理的证明过程。此外，笔者在这个公众号中写的另一篇文章“什么是黎曼面”，对于紧黎曼面如何变成多“孔”闭曲面的连续拓扑变形的过程，也有一些比较直观的介绍。
如果想要比较系统地了解和学习关于黎曼面的现代基本理论，可以阅读由德国几何学家J. Jost写的优秀英文教材《Compact Riemann Surfaces（紧黎曼曲面）》（世界图书出版公司北京公司2009年影印版），在该书书名“Compact Riemann Surfaces”的后面还有一个副标题：“An Introduction to Contemporary Mathematics (当代数学引论)”，它表明黎曼面理论是学习整个现代数学的一个极好的入门途径。该书作者J. Jost认为，黎曼面是分析、几何与代数互相融合作用的一个理想场所，因此最适宜用来讲解现代数学和显示现代数学的统一性。该书与其他持单一观点讲黎曼面的书籍不同，它分别从微分几何、代数拓扑、代数几何、变分法和偏微分方程等不同学科的角度来讲解黎曼面的基本理论，从而使初学者通过黎曼面这一媒介，可以来更好地理解这些现代数学的主要分支学科。
图2：由J. Jost写的《Compact Riemann Surfaces（紧黎曼曲面）》（世界图书出版公司北京公司2009年影印版）
而关于阿蒂亚-辛格指标定理，虞言林老师给出的基本参考读物是他以前写的一本专著《指标定理与热方程方法》（上海科学技术出版社，1996年）。
图3：虞言林老师写的《指标定理与热方程方法》（上海科学技术出版社）
在这里，笔者再推荐一本近年来出版的由David Bleecker和Bernhelm Booss-Bavnbek一起写的英文教材《Index Theory with Applications to Mathematics and Physics (指标理论及其对数学与物理的应用)》（美国International Press出版社，2013年），该书厚达766页，是一本内容非常丰富的关于指标定理的大作。
图4：由David Bleecker和Bernhelm Booss-Bavnbek写的《Index Theory with Applications to Mathematics and Physics (指标理论及其对数学与物理的应用)》的封面复印照片
在这本书的封底，有这样几段介绍性的文字：
“《Index Theory with Applications to Mathematics and Physics (指标理论及其对数学与物理的应用)》这本书叙述、解释和探讨了阿蒂亚-辛格指标定理，这个定理是20世纪数学最伟大的成就之一，虽然从它的发现至今已经有50年了，但它的影响仍在持续增强。指标定理催生了大量的数学研究，并且充分揭示了在分析学、几何学、拓扑学、代数学和数学物理之间的深刻内在联系。
在这部雄心勃勃的新著作中，作者David Bleecker和Bernhelm Booss-Bavnbek极其详细地给出了阿蒂亚-辛格指标定理的两个证明，一个是运用 理论的证明，另一个证明则运用了热核方法。作为进行证明的准备，作者充分地为读者着想，仔细讲解了所有将要用到的范围十分广泛的预备知识，其中就包括了Fredholm算子、伪微分算子、流形上的分析、主丛与曲率、以及 理论等内容。本书也给出了指标定理的许多应用，以及一些近年来出现的最重要的发展成果，特别是将重点放在了规范场的理论物理模型和低维拓扑上。
这本一共包含了18章和2个附录的书，对各种很不相同的题材都作了详尽的讲解，常常是在不假定读者已经具备了前面章节知识的情况下，而从头讲起。这本书适用于数学系和物理系的学生，并且对读者学习的顺序和路径，也作了仔细的建议。有些章节是针对本科高年级学生的，而另一些章节是针对研究生的，此外还有一些章节是针对当前正在进行研究的人们而写的。”
这是一本教材，也是一本参考书，或者还是一本类似于综述性质的书，它具有生动和新颖的风格，同时也包含了大量的基本例题和习题。作者还写了许多阐释性的讲解与讨论文字，用来充分地解释隐藏在一般的理论背后的启发性思想。
文稿|陈跃
编辑|朱善军
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