同济大学2022年研究生入学考试高等代数与数学分析试题

同济大学2022年研究生入学考试高等代数试题

说明: 除第1题10分,第9题20分,其余题目均为15分每题.

(1) 证明:多项式在上不可约.

(2) 已知线性方程组

有个线性无关的解,求的值,并求此时方程组的通解.

(3) 已知中的向量组

其中是线性空间中的向量, 是线性空间中的向量,分别求和的维数和一组基.

(4) 已知实矩阵的特征值不为,证明:

(a) 与可逆;

(b) 证明: 是正交矩阵当且仅当.

(5) 已知二次型, 记,

(a) 若是正定二次型,求的取值范围;

(b) 求正交变换,使得在变换下化为标准型.

(6) 已知阶复矩阵的极小多项式是,其中是常数,

(a) 若,求所有可能的Jordan标准型并说明理由;

(b) 证明:存在对角阵, 使得.

(7) 设是全体次数不超过的多项式构成的线性空间,定义上的线性变换

(a) 证明: 是可逆线性变换,并求;

(b) 问是否可对角化,并说明理由.

(8) 已知是复线性空间上的线性变换,且,证明:

(a) 证明: 特征子空间是不变子空间;

(b) 证明:若不变子空间只有零空间和其自身,则是数乘变换.

(9) (a) 已知是的个真子空间,则;

(b) 已知是中的个向量,证明:存在,使得;

(c) 已知是上的两两不同的线性函数,证明:存在,使得两两不同.

(10) 已知实矩阵,证明: 当且仅当,并且若,则.

同济大学2022年研究生入学考试数学分析试题

说明: 第1题5分每问,第2,3题10分每题,第4,5,6,7题15分每题,第8,9,10题20分每题.

(1) 求下列极限:

(a) ;

(b) ,其中是常数, 是正整数.

(2) 证明: 在上不一致连续,在上一致连续.

(3) 证明反常积分收敛,并求值,其中是常数.

(4) 求曲面积分,其中是被所截的部分.

(5) 已知在上二阶连续可导, , ,证明:存在,使得.

(6) (a) 证明函数项级数在上收敛但不一致收敛;

(b) 求(1)中函数项级数的和函数;

(c) 求的值.

(7) 已知是定义在上的三阶可导函数,其中,定义

证明: 在处三阶可导,并求.

(8) 求积分的值.

(9) 已知是一实数列, ,证明: 的充分必要条件是

(10) 证明级数收敛并求其值.