一道高等代数试题的六种解法

摘 要  本文主要给出了2022年同济大学研究生入学考试高等代数第十题的六种解法.

关键词 高等代数、一题多解、对称矩阵、奇异值分解、大学数学

原题如下,我们重点讨论第二问:

(10)已知实矩阵,证明: 当且仅当,并且若,则.

先给出根据题目中第一问的提示得到了解法I.

解法I(迹的正定性) 设,则,故意味着实矩阵的所有元素均为,即,即.令,则

而,即,故,即,即.

类似于解法I,我们也可以利用对称阵以及反对称阵的性质直接给出解法II.

解法II(对称阵的性质) 由于,故,记,类似解法I有

注意到上式左边是对称阵,右边是反对称阵,故,故,即

我们也可以利用齐次线性方程组同解的判定定理来说明是正规阵,进而进行解法I中的计算,利用反对称阵的平方是零矩阵,则反对称阵也是零矩阵.

解法III(线性方程组理论) 由题意可知和与同解.由于,即的列向量都是的解,故也是的解,即,计算可知.注意到是反对称阵,且

类似解法I可知,即

若不利用题目中的第一问的铺垫,我们也可以直接进行计算.

解法IV(直接计算) 设,则

由题意可知.故

由于均为实数, 因此对所有, 都有故

注意到解法III中是反对称阵,利用其正交相似标准型给出了解法V.

解法V(正交相似标准型) 注意到是反对称阵,故存在正交阵,使得

其中为形如

的二阶实矩阵,记,设

其中是阶方阵,利用,可知

计算可知.故

即,故,即

又注意到的奇异值是的特征值,我们利用奇异值分解证明如下:

解法VI(奇异值分解) 由题意可知存在正交阵,使得

其中,利用可知

设

计算可知,由于仍是正交阵,故,且也是正交阵,进而,故这是一个对称阵,即有

参 考 文 献

[1]姚慕生、吴泉水、谢启鸿,《高等代数学 (第三版)》,复旦大学出版社, 2014年

[2]姚慕生、谢启鸿,《高等代数学习指导书(第三版)》,复旦大学出版社, 2015年

[3]樊启斌, 《高等代数典型问题与方法》,高等教育出版社, 2021年