日本的数学家们一直比较重视现代数学知识的整理和传播，他们编写了大量的介绍现代数学基础知识的专业书籍。2019年笔者在日本旅游期间，着重考察了在东京的几家大型书店里正在销售的数学专业类新书的情况。
在日本的大型综合书店里，对于数学专业类的新书，如果不是属于成套系列的书，基本上都是按照像“集合与拓扑”、“数论”、“代数学”、“几何学”和“微分方程”这样的领域划分来分类放置的。走到日本大型书店里的数学专业类新书书架前，笔者的感觉像是来到了一个收集十分完备的数学专业图书馆，其中的书目主题涵盖了现代数学所有主要的分支学科，这对于广大的高等院校师生和数学爱好者们自发地学习和掌握现代数学，是极其有利的。
本文记录下了笔者在东京的几家大型书店里，所看到的数论方面的大部分专业新书，并且对其中少量图书的内容作了一些简单的说明。
经典数论大致可以分成初等数论、代数数论和解析数论这三大部分。初等数论主要运用初等数学的方法来研究整数的整除问题，其内容包括了不定方程、同余式、二次剩余等。代数数论主要运用抽象代数的方法，来研究代数数域中的代数整数环，以及代数数域的扩张问题。解析数论主要运用分析学的方法来研究数论问题，例如由黎曼所提出的ζ函数就是一个用无穷级数来定义的复变函数，这个重要函数可以深刻揭示数论的内在规律（例如素数的分布规律等）。
在20世纪初，希尔伯特的《数论报告》深入研究了代数数域的伽罗瓦扩张与素理想分解之间的关系，并由此开启了现代数论进一步发展的大门，导致出现了1920年代的类域论、1930年代的局部域与局部整体原则、1940年代的有限域上函数域的算术和函数域上的黎曼猜想（即韦依（Weil）定理）的证明等一系列重要成果。
20世纪的下半叶数论领域所取得的最主要成就是：产生了代数簇的算术理论、分圆域理论、朗兰兹（Langlands）猜想，证明了韦依（Weil）猜想、莫德尔（Mordell）猜想和费马大定理，并且由此涌现了数论领域中不少新的分支学科。数论领域成为了大量数学理论的应用场所，用以检验这些数学理论的有效性，例如算术几何就是将代数几何的方法运用到数论里而产生的一个新分支学科，算术几何中的韦依猜想就是通过运用了格罗滕迪克的平展（étale）上同调理论而得到证明的。
目前在数论领域中比较成熟的分支学科（或方向）有：初等数论、堆垒数论、素数的分布、数的几何与数论中的逼近、超越数、丢番图方程、二次域的数论、代数数域的数论、局部域、类域论、岩泽（Iwasawa）理论、代数K理论、算术几何、费马大定理、数域上的代数群、自守形式、志村（Shimura）簇、ζ函数理论、准齐性向量空间。
下面分别对每张书店里的书架照片，从左至右地列出各本新书及其作者：
图1：这里从左至右的数学新书是：《数论概论》、《数论中的经典分析》、《整数的分拆》、《美丽的无穷级数·关于ζ函数与 函数的数学》、《数论的三棵明珠》、《从历史角度来讲的数论》、《通向类域论的道路·从初等数论出发的代数入门》、《数论基础讲义》、《数论（上）》、《数论（下）》、《这就是虚数·理工系数学入门》、《虚数·复数》
1． 《数论概论》
该书译自著名的椭圆曲线专家J. H. Silverman写的《A Friendly Introduction to Number Theory（容易入门的数论）》（第三版），有机械工业出版社的英文影印版。该书是一本写得极为出色的初等数论入门教材，它按照历史发展的顺序，在给出一般的定理前，总是先让读者充分地观察和体会定理的具体含义是什么，然后再来推导和证明定理，而不是像一些数论书那样只有定理的证明。书中的最后一部分还举例介绍了在现代数论发展中的一些重要问题。
2． 《数论中的经典分析》
该书译自德文著作《Klassische Elementare Analysis》）。
3． 《整数的分拆》
该书也是日译本。
4． 《美丽的无穷级数·关于ζ函数与L函数的数学》
ζ函数与它的推广L函数，很多时候都是数论研究的核心内容。
5． 《数论的三棵明珠》
该书译自辛钦的原著，有上海科学技术出版社的中译本。
6． 《从历史角度来讲的数论》
该书译自20世纪著名数学大师韦依（A. Weil）写的名著《Number Theory：An Approach Through History from Hammurapi to Legendre》，有高等教育出版社的中译本，书名是《数论：从汉穆拉比到勒让德的历史导引》。
7． 《通向类域论的道路·从初等数论出发的代数入门》
作者是足立恒雄。类域论主要研究代数数域的阿贝尔扩张问题。设K是一个代数数域，L是它的任何一个阿贝尔扩张，类域论的基本思想是用K的算术性质来刻画L的算术性质。
8． 《数论基础讲义》
作者是本桥洋一。
9． 《数论（上）》
该书和下面一本都是翻译书。
10． 《数论（下）》
11． 《这就是虚数·理工系数学入门》
作者是村上雅人。
12． 《虚数·复数》
图2：这里从左至右的数学新书是：《这就是数论》、《素数定理的进展（上）》、《素数定理的进展（下）》、《无理数与超越数》、《自然数》、《数的认识》、《数论算法》、《无穷级数》、《探险数的密林和数论之迷》、《什么是数》、《数系及其历史》
13． 《这就是数论》
作者是村上雅人。
14． 《素数定理的进展（上）》
该书和下面一本都是日译本。
15． 《素数定理的进展（下）》
16． 《无理数与超越数》
作者是盐川宇贤。
17． 《自然数》
18． 《数的认识》
19． 《数论算法》
作者是中村宪。
20． 《无穷级数》
作者是柴田正和。
21． 《探险数的密林和数论之迷》
作者是桥本喜一朗。
22． 《什么是数》
作者是足立恒雄。
23． 《数系及其历史》
作者是足立恒雄。
图3：这里从左至右的数学新书是：《将发现和猜想累积起来后——那就是数论》、《酉表示入门》、《数理逻辑》、《含意命题的探究》、《这就是数论》、《适用于初学者的数论入门》、《探险数的密林和数论之迷》、《初等数论》、《逻辑练习册》、《数论1：从初等数论到p进数》、《数论2：代数数论基础》、《数论3：解析数论的魅力》
24．《将发现和猜想累积起来后——那就是数论》
作者是安福悠。
25． 《酉表示入门》
作者是衫浦光夫、小林俊行等人。
26． 《数理逻辑》
作者是户次大介。
27． 《含意命题的探究》
作者是米谷达也等人。
28． 《这就是数论》
作者是村上雅人。
29． 《适用于初学者的数论入门》
作者是西来路文朗等人。
30． 《探险数的密林和数论之迷》
作者是桥本喜一朗。
31． 《初等数论》
作者是山崎隆雄。
32． 《逻辑练习册》
作者是中内伸光。
33． 《数论1：从初等数论到p进数》
作者是雪江明彦。这卷书和下面的两卷书一起组成了一套经典数论的三部曲。这套书系统地讲授了初等数论、代数数论、解析数论中最基本的内容，其目的是为初学者进一步学习20世纪的现代数论打好了扎实的基础。
34． 《数论2：代数数论基础》
作者是雪江明彦。
35． 《数论3：解析数论的魅力》
作者是雪江明彦。
图4：这里从左至右的数学新书是：《黎曼面与代数曲线》、《素数与ζ函数》、《零点问题集·ζ函数入门》、《绝对ζ函数理论》、《欧拉ζ函数论文集》、《拉马努金ζ函数论文集》、《ζ函数的邀请》、《欧拉与黎曼的ζ函数》、《p进ζ函数》、《ζ函数》、《ζ函数的冒险与进化》、《黎曼的梦想——ζ函数的探求》、《绝对数学》、《绝对数学的世界》、《21世纪的新数学》、《解决黎曼猜想问题》
36． 《黎曼面与代数曲线》
作者是今野一宏。
37． 《素数与ζ函数》
在数论中，关于ζ函数的研究占据着一个十分重要的位置。
38． 《零点问题集·ζ函数入门》
作者是日本的数论专家黑川信重。该书主要介绍黎曼猜想，黎曼猜想可以说是整个数学中最著名的一个猜想，它对黎曼ζ函数的无穷多个零点的位置作出了十分准确的预测，而证明这个著名猜想的许多努力和过程，则触发了现代数学的大量重要进展，其中就有著名的韦依（Weil）猜想的证明。
39． 《绝对ζ函数理论》
作者是黑川信重。
40． 《欧拉ζ函数论文集》
黎曼的ζ函数实际上直接来源于欧拉的ζ函数（也就是著名的欧拉乘积公式），因此欧拉的数论思想实际上是非常深刻的。
41． 《拉马努金ζ函数论文集》
该书译自拉马努金（S. Ramanujan）的《Collected Papers（论文集）》，后者有哈尔滨工业大学出版社的英文影印版。
42． 《ζ函数的邀请》
作者是黑川信重等人。
43． 《欧拉与黎曼的ζ函数》
作者是黑川信重。
44． 《p进ζ函数》
45． 《ζ函数》
46． 《ζ函数的冒险与进化》
作者是黑川信重。
47． 《黎曼的梦想——ζ函数的探求》
作者是黑川信重。
48． 《绝对数学》
作者是黑川信重。
49． 《绝对数学的世界》
作者是黑川信重。
50． 《21世纪的新数学》
作者是黑川信重等人。
51． 《解决黎曼猜想问题》
作者是黑川信重。
除了以上照片中的新书外，书店里还有下面的数论新书：
52． 《现代数论的风景》
该书在2019年出版，作者是日本的数论专家落合理。该书用流畅的文笔通俗地介绍了初等数论、代数数论、解析数论、现代数论的主要想法，特别是着重介绍了20世纪现代数论的几项重要成就，其中就包括ζ函数与黎曼猜想的进展、岩泽（Iwasawa）理论、韦依（Weil）猜想、模形式、类数公式、BSD猜想、朗兰兹（Langlands）对应等，展现了一幅现代数论的壮丽图景。
图5：落合理写的《现代数论的风景》
53． 《数论》
作者是斋藤秀司。
54． 《数论》
作者是森田康夫。
55． 《数论入门I》、《数论入门II》
该两卷书译自G. H. Hardy、E. M. Wright的名著《An Introduction to the Theory of Numbers（数论引论）》，有人民邮电出版社的中译本，书名改为《哈代数论》）
56． 《数学女王：从历史角度讲解数论入门》
该书译自J. R. Goldman写的《The Queen of Mathematics:A Historically Motivated Guide to Number Theory）》，是一本非常出色的按照数学历史来讲数学专业知识的著作，这种讲法容易让读者很好地理解抽象深奥的数学理论。该书的前六章主要讲述了费马、欧拉、拉格朗日和勒让德对数论的基本贡献，然后用了八章很仔细地讲解了高斯的名著《数论研究》中所包含的同余、二次型和分圆域等基本理论。随后的三章从高斯整数出发，开始讲代数数论，接下来的三章介绍了算术几何最基本的内容（特别是椭圆曲线），最后的三章讲丢番图（Diophantus）逼近、数的几何和p进数理论。
图6：J. R. Goldman写的《数学女王：从历史角度讲解数论入门》
57． 《代数数论基础》
作者是中岛匠一。
58． 《代数数论入门（上）》、《代数数论入门（下）》
该两卷书的作者都是藤崎源二郎。
59． 《代数数论》
该书译自J. Neukirch写的名著《Algebraic Number Theory》，有科学出版社的英文影印版。
60． 《数的代数理论》
该书译自P. Samuel写的名著《Algebraic Theory of Numbers》。
61． 《二次型》
作者是田坂隆士。
62． 《解析数论I》、《解析数论II》
该两卷书的作者是本桥洋一。
63． 《解析数论I》、《解析数论II》
该两卷书是著名数学家西格尔（C. L. Siegel）写的《解析数论I》与《解析数论II》的日译本。西格尔对解析数论、代数群和自守形式等分支均有重大的贡献。
64． 《黎曼ζ函数与自守波动》
作者是本桥洋一。
65． 《数论I——Fermat的梦想和类域论》
该书的作者是加藤和也、黑川信重、斋藤毅。该书被美国数学会译成了英语出版，有高等教育出版社的中译本。
66． 《数论II——岩泽理论和自守形式》
该书的作者是黑川信重、栗原将人、斋藤毅。该书被美国数学会译成了英语出版，有高等教育出版社的中译本。
67． 《重点解说岩泽理论》
作者是福田隆。
68． 《岩泽理论及其展望（上）》、《岩泽理论及其展望（下）》
该两卷书的作者是落合理。
69． 《费马大定理》
作者是数论专家斋藤毅。这是一部巨著。
70． 《自守形式论——现代数论讲义》
作者是吉田敬之。
71． 《正20面体与5次方程》
该书译自克莱因（F. Klein）的名著《Lectures on Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree（正20面体与5次方程的解讲义）》。
72． 《莫德尔-法尔廷斯（Mordell-Faltings）定理》
作者是森胁淳、川口周、生驹英晃。这本在2017年出版的书所讲的内容属于算术几何。数学家法尔廷斯在1983年证明了著名的莫德尔（Mordell）猜想后，这个猜想就变成了莫德尔-法尔廷斯（Mordell-Faltings）定理，该定理是说：在有理数域上定义的亏格至少为2的不可约代数曲线都只有有限个有理点。这个定理是证明费马大定理过程中的一个关键步骤，因此莫德尔-法尔廷斯（Mordell-Faltings）定理能够得到证明，是算术几何的一个重大进展。这本书其实是日本京都大学硕士研究生课程的讲义，它完整地给出了莫德尔-法尔廷斯（Mordell-Faltings）定理的全部证明过程，其中用到了代数数论与代数几何的大量基础知识，显示了算术几何最基本的思想方法。
图7：森胁淳等人写的《莫德尔-法尔廷斯（Mordell-Faltings）定理》
73． 《椭圆曲线理论入门》
该书译自J. H. Silverman与J. Tate一起写的本科教材《Rational Points on Elliptic Curves（椭圆曲线上的有理点）》，有世界图书出版公司的英文影印版。该书的日译本的书名改为《椭圆曲线理论入门》。椭圆曲线并不是椭圆，而是一种非常特殊的来源于椭圆的三次代数曲线。椭圆曲线在现代数论中的地位极其重要，例如著名的费马大定理就是通过运用椭圆曲线的基本理论而得到证明的。《椭圆曲线理论入门》一书所包含的主要内容有：椭圆曲线上的有限阶点、有理点群、有限域上的三次曲线、三次曲线上的整点、复乘。
74． 《椭圆曲线与自守形式》
该书译自N. Koblitz的名著《Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms（椭圆曲线与模形式引论）》（GTM97），有世界图书出版公司的英文影印版。
文稿|陈跃
编辑|朱善军
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