在20世纪现代数学的众多分支学科中，代数几何是一门十分重要而又比较特别的分支，它与代数、分析、数论、几何、拓扑以及数学物理等各主要学科都有紧密的联系，实际上，抽象代数、代数拓扑、微分拓扑、整体微分几何以及分析学中的许多重要理论都是因代数几何研究的需要而提出的。因此代数几何在数学中起着一种中心纽带的作用，是现代数学统一化趋势的主要体现者。然而从19世纪到20世纪的中叶，代数几何其实一直是在一个缺乏严格逻辑基础的环境中艰难地向前发展的。最终，数学家格罗滕迪克（Grothendieck）在1960年代用概形(scheme)理论为代数几何奠定了牢固的逻辑基础，从而促进了现代数学的大发展。本文简要回顾了从代数簇到现代的概形理论的代数几何发展史。
经典代数几何的主要研究对象是“代数簇”(algebraic variety)，最简单的代数簇(也称为代数集)是一组多元多项式的零点集合。
当其中的各个多元多项式都是一次多项式时，那么它就是线性代数中所研究的线性方程组，此时的代数簇就是我们都熟悉的线性方程组的解空间。然而当多项式不是一次时，代数簇的研究就非常的复杂，需要用到代数、几何与分析等学科中的大量数学方法和工具。
对代数簇的研究实际上从古代希腊就开始了，古希腊数学家们所熟悉的直线、圆、圆锥曲线、三次曲线都是最简单的代数曲线，而平面、球面、柱面和二次曲面都是最简单的代数曲面，这些代数曲线和代数曲面都属于只用一个多元多项式来确定的代数簇。在没有直角坐标系的条件下，阿波罗尼乌斯(Apollonius)运用了在今天看来是很笨拙的欧氏几何方法，对圆锥曲线作了十分详尽的研究，发现了它的许多基本性质。
图1：从圆锥曲线到二次曲面
到了近代，法国数学家笛卡尔(Descartes)和费马(Fermat)在运用解析几何的方法来研究任意代数曲线方程的时候，事情就发生了质的飞跃。古代希腊数学家由于没有代数工具，他们只能局限于研究低次代数方程所表示的曲线或曲面，而有了解析几何之后，在理论上就可以讨论任意次数的代数曲线或代数曲面，从而就可以把所有的几何问题都转化为代数问题来解决。人们开始研究平面代数曲线 和空间代数曲面 ，并且发现了在坐标变换下曲线与曲面方程次数的不变性。费马证明了所有非退化的二次代数曲线都是圆锥曲线。微积分的发明者之一、数学家牛顿还对三次平面代数曲线进行了初步的分类(共有72种)，而18世纪的大数学家欧拉(Euler)则对所有的二次代数曲面进行了分类。
在17世纪时，德沙格(Desargues)通过研究画家的透视方法而形成了射影对应的概念，他还引进了无穷远点的概念。在普通的欧氏平面和空间中加入了无穷远点后，就得到了紧致的射影平面和3维射影空间，它们是许多经典代数簇所在的空间。另一方面，欧拉的虚数概念的引入也进一步完成了代数方面的“封闭化”（例如一元代数方程虽然不一定有实根，但总是有复根），由此可以简化许多数学命题的表述。例如在普通的欧氏平面中，非退化的二次代数曲线要分为椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线，而在复射影平面中，非退化的二次代数曲线只有一种，并且三次代数曲线不是牛顿所分的72种类型，而是只有三种曲线。
牛顿和莱布尼茨(Leibniz)还用所谓的“消去法”得到了确定两条代数曲线相交点的方程组（这些方程组在大学高等代数课本中被称为“结式”方程组）。在此基础上，数学家贝祖(Bézout)证明了著名的贝祖定理：设C和C’是次数分别为m和n的平面射影复代数曲线，则C和C’相交于mn个点(计入重数)。例如从表面上看，复射影平面内的一条直线与一条抛物线的相交情形一共有四种：交于两点、交于一点、相切与无交点。但其实直线与抛物线交于一点时，它们还相交于抛物线上的无穷远点，而相切可以理解成它们相交于两个重合在一起的点，至于不相交的情形，则可以看成是它们相交于复平面上的两个被称为“圆点”的虚的无穷远点。这样，一次的直线与二次的抛物线在复射影平面上总有1×2＝2个交点。又如一个椭圆与一条三次曲线总是相交于2×3＝6个交点等等。贝祖定理实际上是代数几何中相交理论的起点。
代数几何的第二个主要来源是分析学中的椭圆积分理论。所谓椭圆积分，是指如下形式的积分：
其中的 是有理函数， 是3次或4次多项式。研究椭圆积分的最初目的是为了计算椭圆的周长，我们在微积分里已经知道，类似于求椭圆周长的这种定积分是没有原函数的，也就是“积不出来”的积分，它们只能通过近似计算的方法来求出定积分的值。欧拉对一个比较简单椭圆积分，曾经证明了一个与反三角函数积分性质相似的“加法公式”：
这个加法公式其实是一类十分重要的代数曲线——椭圆曲线上群结构的萌芽。
19世纪是射影几何的黄金时代，以庞斯莱(Poncelet)为代表的一批数学家建立了射影几何的系统理论，总结和整理了大量的射影几何命题和方法，特别是射影变换的理论。例如可以将圆锥曲线看成是两个相互射影对应线束的对应直线的交点轨迹等。人们发现了交比这一射影变换下的不变量，研究的对象也从“点几何”扩大到了“线几何”，并且开始研究射影空间里由两个代数曲面相交而产生的空间曲线。
图2：庞斯莱与射影几何的黄金时代
人们可以证明在每个三次代数曲面上都有27条直线，以及每条非退化四次平面代数曲线都有28条与该代数曲线同时相切两次的双切线，而很有名的普吕克(Plüker)公式则刻画了平面代数曲线上的奇点性质。
图3：在每个三次代数曲面上都有27条直线
这个阶段的研究成果还包括了：直纹曲面、2次直线簇、格拉斯曼簇(Grassmann variety)、塞格雷(Segre)的代数簇乘积的定义等。此时所研究的代数簇的维数也开始突破3维，进入到了任意的n维。特别是数学家们开始有了“模空间”的想法，即考虑一组满足同一条件（例如方程的次数相同）的代数曲线集合，它们的全体又可以看成是另一个更高维数的射影空间里的一个代数簇。
在这时的射影几何理论里，有一些涉及到计数几何(enumerative geometry)的定理，其中有一个很著名的定理是说：与5条已知圆锥曲线都相切的圆锥曲线一共有3264条。
在19世纪初，阿贝尔(Abel)又将椭圆积分大幅度地推广成了阿贝尔积分(即有理函数积分)
其中的 是有理函数, 与 必须满足代数方程(即代数曲线)
其中的函数 是多项式。并且阿贝尔也得到了关于阿贝尔积分的类似的“加法公式”。这个公式实际上显示了用积分形式表示的代数曲线上除子(divisor)的等价性关系，它在后来黎曼等人的手中进一步发展成为代数曲线上的阿贝尔簇(Abelian variety)的理论。阿贝尔簇是一种在现代数论中十分重要的代数簇。
图4：伟大的数学家黎曼
黎曼是19世纪最伟大的数学家。他在研究阿贝尔积分理论的过程中提出了内蕴的“黎曼曲面”的概念和黎曼曲面上代数函数的理论。阿贝尔积分是复变函数论中与复代数曲线紧密相关的一种复积分，现在在复平面内，如果是一个二元复多项式，那么就定义了一条复代数曲线，注意在这里可以取复数值的x和y都是实2维的复变量，因此复平面就可以看成是实4维空间，而相当于两个实数等式的复数等式实际上又确定了两个4维空间中的曲面，由于每增加一个实数等式就相当于减少一个几何维数，于是复代数曲线实际上就是一个4－2＝2维的实曲面。这样，每一条复代数曲线都对应了一个抽象的被称为黎曼曲面的几何对象。
图5：黎曼曲面
黎曼的初始目标是对黎曼曲面上所有的阿贝尔积分进行分类，由此出发他得到了一系列刻画黎曼曲面性质的重要定理。由黎曼曲面与代数曲线的一一对应关系可知，他实际上是得到了不少关于代数曲线理论的重要成果，因此我们可以讲，是黎曼首创了用分析来研究代数曲线的方法。
黎曼首次发现了“亏格”这一现代几何的基本概念(直观地讲它对应了几何对象上“洞”的个数)，并提出了代数几何中最基本的双有理变换的思想。如果代数曲线 上的点 与 上的点 之间有以下的有理变换(对应)关系
那么就称这两条代数曲线是双有理等价的。双有理变换是一种比射影变换更加宽泛的变换，它能够保持代数曲线的亏格 不变，并且此时两条代数曲线上的有理函数域一定是同构的。数学家们在后来逐渐认识到：可以通过有理函数域这一代数对象，来实际刻画和掌控代数曲线这一几何对象。因此这实际上就是建立了几何与代数之间的基本联系。从黎曼的时代到现在，从某种程度上可以说，代数几何的主要方法就是通过研究代数簇上的有理函数域来得到代数簇本身的性质。黎曼和他的学生罗赫一起，还发现了著名的代数曲线上的黎曼-罗赫定理：
其中 是代数曲线上的任意除子( 是整数， 是代数曲线上的点)， 是 的次数， 是由代数曲线上满足一定条件的全体有理函数组成的线性空间 的维数，l（K－D）的意思是类似的， 是由代数曲线上的微分形式所确定的典则除子，上述等式右边的 就是代数曲线的亏格。这个定理反映了代数曲线上的某些由满足一定条件的有理函数组成的线性空间的性质是如何受到亏格 这一几何不变量控制的。这个深刻定理后来在20世纪被推广到了高维代数簇的情形，并直接导致了著名的阿蒂亚-辛格指标定理的发现。
也许我们可以这么认为，黎曼在1854年的著名演讲中所给出n维黎曼流形的初步概念，不仅仅是为了研究物理学意义上几何空间的需要，其实也是在为探索一般的代数簇性质所做的准备工作。黎曼在历史上第一次发现，在一般的高维微分流形上也可以设置任意的度量。他经过仔细的推算，发现了刻画黎曼流形局部几何性质的主要不变量——黎曼曲率张量 。这些张量实际上成为了整体微分几何发展的出发点，并且最终都会通过某种变化了的形式而进入到了代数几何的理论中。更加令人难以置信的是，黎曼在研究数论时所提出的大名鼎鼎的“黎曼猜想”，后来竟也变成了推动代数几何发展的强大动力。所谓的黎曼猜想是说：
“复变函数黎曼 函数
的全部非平凡复零点的实部都等于。黎曼猜想是一个内涵极其>丰富的猜想，它是现代数学中还没有被证明的最重要的猜想。
”
代数数论其实也是代数几何的第三个主要来源。为了研究代数数域的需要，19世纪的数学家克罗内克(Kronecker)和戴德金(Dedekind)等人引入理想、赋值和除子等基本概念。以这些数学家为代表的“代数学派”的工作目标是设法对黎曼用分析方法给出的结果作出纯代数的证明，毋庸置疑，这对代数几何这门学科的性质来讲是至关重要的。
图6：克罗内克(左)和戴德金
如前所述，每个代数曲线(或黎曼曲面)的双有理(或共形)等价类都对应和确定了一个同构的有理函数域L，它是复数域C的有限扩张。如果已知代数曲线(或黎曼曲面)S, 每个点都可以确定一个离散赋值 ： (Z是整数集)。戴德金和韦伯(Weber)的想法是将这个过程倒过来：从给定的的域的有限扩张L / C出发, 具体地构造出一个代数曲线(或黎曼曲面)来, 使得它的有理函数域正好就是这个域L。从这个大胆的想法里我们可以看到现代概形概念的雏形：从代数的对象出发来构造几何对象。戴德金和韦伯在用域L构造代数曲线时，将L上的每个非平凡的离散赋值都定义为“L所对应的代数曲线(或黎曼曲面)S的一个点”，从而就得到了一个抽象的“代数曲线(或黎曼曲面)”。当然，构造这种抽象的“代数曲线”并不是在做无聊的数学游戏。在研究代数簇的双有理分类问题中，经常需要在同一个等价类中寻找一个性质比较好的代表元素，而这个元素往往就是通过这种奇怪的方式人为地构造出来。例如1939年扎里斯基在证明代数曲面的奇点解消定理时，也是运用了这个方法。
与此同时，以马克斯·诺特(Max Noether)和克莱布施(Clebsch)为代表的“几何学派”继续从经典射影几何的角度研究复代数曲线和复代数簇，他们他们进一步澄清和发展了黎曼的关于双有理变换和黎曼-罗赫定理的理论，并且发现了平面代数曲线奇点解消的基本方法，即所谓的二次变换“胀开”(blowing up)的方法。
图7：马克斯·诺特和平面代数曲线的奇点解消方法
从19世纪末期开始，代数几何的发展进入了一个新的历史阶段。以皮卡(Picard)和庞加莱(Poincaré)为代表“分析学派”试图将黎曼的复代数曲线理论推广到复代数曲面上。虽然这里的(复的)维数仅仅增加了一维，但是与代数曲线的情形完全不同，研究代数曲面需要克服许多困难，难度极大。例如在复三维的空间中，如果g(x,y.z)是一个三元复多项式，那么g(x,y.z)＝0就是一个复代数曲面。与复代数曲线类似，g(x,y.z)＝0实际上确定了实6维空间中的一个6－2＝4维的实微分流形。
类似于黎曼研究上的有理函数的积分
皮卡研究代数曲面 上有理函数的积分
他用形如 ( 为常数)的一组平面去截割上述代数曲面, 在所得的代数曲线上再运用黎曼的结果, 然后分析当 变化时的情形，得到了一些重要的结果。
与代数曲线一样，代数曲面上有理函数的积分也受曲面的拓扑性质的控制。例如对于曲面 上与微分形式有关的典则除子 ，由它所确定的函数空间的维数满足 ，其中的 被称为代数曲面的几何亏格。与代数曲线只有单一的亏格 不同，刻画代数曲面除了几何亏格 以外，还需要算术亏格 等其他的不变量。
图8：庞加莱创立了代数拓扑中的同调理论
在研究代数曲面的过程中，非常需要了解高维流形的拓扑性质。庞加莱为此首创了代数拓扑的同调(homology)理论。为了弄清楚黎曼所说的高维“贝蒂(Betti)数”到底是什么，庞加莱开始建立单纯复形的同调理论，以便能够严格地证明黎曼的直观猜想。他从1895开始，写出了著名的关于同调理论的一系列文章。当时，庞加莱还没有用群论的语言，后来在1930年代经E. 诺特(Emmy Noether)建议，人们才改用了群论的术语。在今天，我们可以用简练的语言来描述庞加莱所引入的基本概念：先将代数簇 进行三角剖分后得到单纯形 ，然后定义边界运算同态 ，从而可以得到单纯复形
由于有基本的等式 , 所以能够构造单纯同调群(其实也是线性空间)
这样，第 个贝蒂数就是该线性空间的维数
它们都是拓扑不变量，可以用来刻画代数簇的几何性质。
接着莱夫谢茨(Lefchetz)在20世纪初期进一步用这个同调理论开始研究复代数曲面的拓扑性质，得到了许多深刻的定理。对于代数曲面理论研究的最主要的贡献还是来自于著名的“意大利学派”。这个学派的三个主要代表人物是卡斯泰尔诺沃(Castelnuovo)、恩里奎斯(Enriques)和塞维里(Severi)，他们在20世纪初期用天才的几何直觉和高超的几何技巧，综合运用包括分析与拓扑方法在内的各种方法创造了复代数曲面的一个非常深刻的理论，包括代数曲面的奇点解消、代数曲面的除子与线性系的经典理论、代数曲面的黎曼-罗赫定理的初步形式以及代数曲面的模空间等等。
但同时意大利学派的工作也有一个很大的缺陷，那就是缺少一个统一的逻辑基础，一些“证明”要依赖于数学家心目中某种神秘的几何直观，因而缺乏严密性。和数学史上常见的情形一样，这种逻辑基础不稳的状况对于视严格为生命的数学家们来说是一件特别纠结的事，它严重阻碍了代数几何的向前发展。
要真正严格地建立起代数几何的推理逻辑基础，离不开抽象代数，这是因为抽象代数能够在最一般的情形中准确地描述代数簇的性质。在1900到1930年之间，已经开始出现了一些抽象代数的理论，包括群、环、域和模等理论。群论主要来源于19世纪的伽罗瓦(Galois)理论，而环与理想的概念则来自于戴德金的代数数论，它们的最早雏形是数域的代数整数环及其理想的概念。克罗内克不仅从代数数论中抽象出了一般的环与理想的概念，并且拉斯克(Lasker)在20世纪初期就发现了理想与代数簇之间一些最基本的天然联系，例如不可约仿射簇所对应的“坐标环(coordinate ring)”一定是整环，而不可约仿射簇的几何维数实际上就等于这个整环的商域在复数域上的超越次数等。
现在我们来解释环(ring)为什么对代数几何来说是很重要的。在由全体 元多项式组成的多项式环 中，任何由 个多元多项式所确定的代数集 也确定了一个理想：
所谓代数集 的坐标环，就是由这个理想所确定的商环
它也可以看成是 上全体 元多项式函数的集合。当 不能表示成两个更小的代数集的并集(即不可约)时，就称 是一个仿射簇(affine variety)。此时的理想一定是一个素理想，而相应的坐标环是一个整环。因此我们看到，在仿射簇与坐标环之间有一一对应的关系：
如果我们将若干个仿射簇适当地“拼贴”在一起, 那么就得到了一个传统意义上的代数簇。因此仿射簇是代数簇的基本组成部分。例如 维射影空间 就是一个比较简单的代数簇，它是由 个普通 维欧氏空间经过拼贴而成的。
另一方面，著名的希尔伯特零点定理是说： 中的极大理想和 的点是一一对应的，因此坐标环的极大理想就与仿射簇 的点一一对应，这其实也意味着可以根据代数的信息(即理想)来构造几何的对象。这是后来概形概念能够产生的最原始的想法。
克鲁尔(Krull)进一步建立了关于环的理想方面比较系统的理论，包括环的局部化(localization)的概念、整闭环的性质、赋值理论和克鲁尔维数等内容。对代数几何来说，环的局部化概念是非常基本的。对于仿射簇 来说，整环 的商域是它的有理函数域 。对 上的任何点 ，都有一个局部环：
后来人们发现，这些局部环的全体组成了可以给出仿射簇 几何特征的结构层(structure sheaf)。
图9：E. 诺特建立了抽象代数的基本理论框架
E. 诺特是20世纪最伟大的女数学家，她也是代数几何学家马克斯·诺特的女儿。在E. 诺特之前，代数学基本上只局限在实数域和复数域中进行研究，是E. 诺特首先认识到代数结构是代数学中的首要概念，她对建立起抽象代数学的基本理论框架起着主要的作用。范德瓦尔登(van der Waerden)所写的两卷名著《代数学》就是为系统总结E. 诺特和E. 阿丁(E. Artin)的环论以及其他抽象代数理论而写的。E. 诺特将戴德金的代数数域的理想分解理论推广到一般的环上，得到了许多像“任何理想均可表示为准素理想的交”这样的基本定理，特别是关于“诺特环”这样的在代数几何中最常用到的概念和相关理论。
范德瓦尔登也对代数几何的逻辑基础建设，有过重要的贡献，他在1930年代写了一系列的文章，用抽象代数的方法解释了以往代数几何学家们直观笼统的“一般点(generic point)”和“特殊化(specialization)”的真正含义，给出了在相交理论中最基本的代数簇相交重数(intersection multiplicity)的严格定义。尤其值得一提的是：范德瓦尔登的学生和主要合作者周炜良也参与到了代数几何基础的重建工作中。周炜良是一位出生于上海的中国数学家，他的一生对代数几何有着许多基本的贡献，其中最有名的是关于解析簇与射影簇等价的周定理，他还证明了代数簇上闭链(cycle)的有理等价性定理，从而就可以定义一种重要的环——周环(Chow Ring)，它现在是相交理论中的一个基础术语。
图10：范德瓦尔登与周炜良
另一位在代数几何中大规模引入抽象代数方法的数学家是扎里斯基(Zariski)。扎里斯基原来是意大利学派三位主要代表大师的学生，他对经他整理的意大利学派成果的证明严密性不足而感到不安和失落，所以他决定用抽象代数的方法来重新给出所有的证明。开始的时候，扎里斯基仅仅是将几何的语言“翻译”成代数的语言，但是他很快意识到将经典代数几何里的定理平行地翻译成当时的抽象代数语言是远远不够的，很多时候扎里斯基必须自己重新发明新的抽象代数概念，并建立相关的抽象代数理论，才能满足描述代数簇复杂性质的需要。例如在给出重要的代数曲面奇点解消定理证明的时候，扎里斯基就第一次成功地将环论中的整闭包的理论与克鲁尔的赋值环的理论运用到了代数几何中，并且还创造了一个被称为“正规(normal)”的新的抽象代数概念。到后来，在代数几何里所需要用到的交换环知识是如此之多，以至于扎里斯基和他的合作者专门写了两卷《交换代数》，来作为人们学习代数几何的预备知识。
图11：扎里斯基在代数几何中引入抽象代数方法
扎里斯基还定义了在代数几何中特有的“扎里斯基拓扑”的概念，其中一律将代数集的补集都定义为“开集”。我们可以设想，任何两个这样的开集的交集都不是空集，因此在这种比较粗放的拓扑里就不会有通常点集拓扑中的豪斯多夫(Hausdorff)分离性公理。尽管如此，扎里斯基拓扑却非常适合研究代数簇性质的需要。
黎曼用分析的方法研究代数簇的传统深深地影响了20世纪对于代数几何的研究。首先，整体微分几何的先驱外尔(Weyl)在研究克莱因(F. Klein)关于黎曼曲面的著作基础上，在1913年写了《黎曼曲面的概念》这本极重要的著作，其中首次给出了黎曼曲面的现代定义，系统整理了黎曼曲面的解析理论。从外尔给出的黎曼曲面内蕴定义出发，人们就不难得到高维微分流形的一般定义，即微分流形是局部同胚于欧氏空间的拓扑空间，并且所有的坐标邻域之间的转换函数都是可微函数。当然，代数簇不一定是微分流形，因为它可以包含奇点。然而从研究微分流形的过程中所产生的几何方法和理论大多都可以被用到代数几何的研究当中。实际上，微分流形的定义就是后来的概形定义的源头，这两个定义都强调不依赖外部的空间而独立存在，而且局部都是与比较简单的几何对象同胚(或同构)。
图12：整体微分几何的先驱外尔
同样是在20世纪早期，列维-齐维塔(Levi-Civita)为了弄清楚黎曼所发现的复杂的曲率张量的真正含义，而提出了黎曼流形中“平行移动”的简单概念。外尔则进一步将它发展成为“仿射联络(affine connection)”这一现代微分几何的基本概念。所谓“联络”，简单地说就是切空间的求导法则，它在本质上已经与空间的度量无关。就像黎曼将度量从空间中分离出来一样，外尔也将联络从度量当中分离了出来。
整体微分几何另一位先驱是法国数学家E. 嘉当(E. Cartan)，E. 嘉当接下来是将联络的概念发展成为“广义空间”的基本概念。他的著名的“活动标架”方法其实就是“向量丛(vector bundle)”概念的雏形，一般用以下记号来表示向量丛：
其中的表示从向量丛 到微分流形 的投影映射，对 上的每个点 来说，它们的“纤维” 都是向量空间(例如每个点 的切空间就是这样的向量空间，它们组成了 的切丛)。而刻画流形弯曲程度的联络概念就可以推广成向量丛上的联络。后来人们又从向量丛的理论中抽象出了更一般的“纤维丛(fiber bundle)”理论。
图13：整体微分几何的先驱E. 嘉当
E. 嘉当(以及先前的庞加莱)还引入了很重要的微分形式(也称为“外微分形式”)：
E. 嘉当运用了微分形式来表示向量丛上的联络。在20世纪的20年代，当时几乎所有的微分几何学家都仅仅使用张量分析，而只有E. 嘉当在微分几何中使用微分形式的方法，这是非常超前的。E. 嘉当在研究李群(一种特殊的微分流形)的整体拓扑性质的时候，发现从微分形式中可以直接得到流形的几何与拓扑不变量，从而找到了分析与拓扑之间的深刻联系。E. 嘉当作出了一个十分重要的猜想：由微分流形 上的所有微分形式确定的德拉姆(de Rham)同调群与 的上同调群(cohomology group)应该是同构的，即有
“同构”这一术语的意思是说，在代数上这两个群是完全一样的。
德拉姆是E. 嘉当的学生，在1931年，德拉姆证明了上述猜想，使之真正成为了“德拉姆定理”。这个定理是现代几何发展史上的一个里程碑。另一位数学家霍奇(Hodge)则进一步弄清楚了德拉姆同调群的内部结构，为这个群中的每一个元素都找到了调和（微分）形式来作为其代表，由于调和形式在椭圆型偏微分算子的作用下等于零，从而可以运用偏微分方程的方法来更加准确地表示代数簇的几何不变量。
这里要特别介绍一下我们熟悉的陈省身先生对于代数几何所作出的重要贡献。陈省身早年也是E. 嘉当的学生，他继承了后者的纤维空间的思想，并且始终在微分几何中一心一意地运用微分形式的方法。陈省身在1944年用微分形式内蕴地证明了高维流形 的高斯-博内(Gauss-Bonnet)定理：
这个等式左边的是 的球丛上的曲率微分形式，右边是流形 的欧拉示性数，这个重要定理表明了流形局部的分析不变量与整体的拓扑不变量之间的紧密联系。
接下来，陈省身先生将证明高斯-博内定理中的思想用到了一般的复流形上, 用复流形 的纤维丛 上的微分形式确定了 的上同调群的元素——“陈(省身示性)类”：
这个极其重要的工作建立起了纤维丛的上同调群与微分流形的上同调群之间的直接联系，显示了纤维丛对于描述微分流形的整体拓扑性质的重要性。后来人们逐渐发现，陈类是表达高维代数簇几何性质（例如高维的黎曼-罗赫定理）的最基本的工具。
而要让纤维丛真正进入代数几何，靠的是另一位数学家韦伊(Weil)的努力。韦伊是陈省身先生一生的挚友，有十年的时间他们在一起工作，共同探讨了纤维丛的理论。在1950年，韦伊首先发现了纤维丛理论可以用到代数几何中，这是因为他看出：复流形上的每个除子都对应了一个线丛(line bundle，即秩为1的向量丛)，而反映流形拓扑性质的主要指标欧拉-庞加莱示性数也必须用流形切丛的陈类来表达。接着很快，高维代数簇的黎曼-罗赫定理也被其他数学家通过运用了纤维丛和层论(sheaf theory)而发现和证明。这样，纤维丛理论就和差不多同时发展起来的层论融合在一起，成为了推动代数几何向前发展的强有力武器。
韦伊可以说是20世纪现代数学中涉猎最广的数学家，他对几乎所有的基础数学主要分支学科都作出了重大的贡献，它们分别是抽象代数、数论、算术代数几何、代数几何、整体微分几何、代数拓扑、李群和李代数、分析学等领域。韦伊研究代数几何的动机主要来源于数论——他很早就想证明著名的黎曼猜想。
韦伊采用的是间接迂回的战术。简单说来就是先对一些比较简单的域(例如有限域)证明黎曼猜想，从中取得经验，将来再考虑最难对付的复数域上的黎曼猜想。早在1923年，E. 阿丁(Artin)类比于戴德金的代数数域的黎曼 函数，定义了有限域上的黎曼 函数：
其中的 是一个次数为 的多项式，而这里的 是与有限域对应的某条代数曲线的亏格(后来人们发现上述由E. 阿丁定义的黎曼 函数所满足的函数方程正好就是关于该代数曲线的黎曼-罗赫定理)。包括E. 阿丁和韦伊在内的一些数学家猜想：对有限域 上的代数曲线来说，多项式 的全部零点都在圆 上，而这正是有限域上代数曲线的黎曼猜想。
图14：20世纪的大数学家韦伊
为了证明这个猜想，韦伊需要使用经典代数几何的方法，所以他必须解决经典代数几何的基本概念模糊不清、理论基础不稳的严重问题。为此韦伊在1946年专门写了一本书《代数几何基础》，在这部重要的著作中，韦伊仿照微分流形的定义，首先提出了内蕴的“抽象代数簇”的定义，他用有理函数作为转换函数，将局部的比较简单的仿射簇粘贴在一起，成为了一个抽象代数簇，从而彻底摆脱了外在射影空间的束缚，极大地扩展了代数几何的适用范围。韦伊还在他的抽象代数簇上首次使用了扎里斯基拓扑。在此基础上，韦伊用自己的方式建立了一整套代数几何的基础理论。他用交换代数的语言，引入了代数几何中的一批重要的概念，包括闭链、一般点、特殊化、相交重数和曲面上的对应等。虽然从表面上看，韦伊所建立的这些理论后来好象都被概形理论完全取代了，但其实它们只是换了一种形式，最终都被吸收进了概形理论中。
1946年，在上面这本书出版之后不久，韦伊终于证明出了他的关于有限域上代数曲线的黎曼猜想。然后在1948年，韦伊根据他对阿贝尔簇和格拉斯曼簇等高维代数簇在有限域上的点数所做的计算结果，并且在拓扑学的启发下，提出了高维代数簇上与黎曼猜想类似的“韦伊猜想”。这个令人感觉是石破天惊的韦伊猜想，显示了在有限域上代数簇的算术(arithmetic，即数论)性质与复数域上的代数簇拓扑性质之间具有非常深刻的联系。
要想证明韦伊猜想，数学家们需要太多的数学工具，其中就包括了还没有被创造出来的概形理论。概形的概念中包含了两个方面的内容，第一个内容是抽象的“几何对象”，第二个内容是它上面的各种“函数”，也就是层。层论最早是由法国数学家勒雷(Leray)在20世纪40年代初提出的，他在二战前主要研究偏微分方程，二战中他被关进监狱，为避免让德军派去做应用性的研究，他在监狱里只研究属于基础数学的层论。
图15：勒雷创立了层论
层的概念来源于复变函数论中的全纯函数(即解析函数)，层所包含的元素既可以是函数，也可以是包括了群、环和纤维丛的截面(section)等在内的其他各种东西，因此它可以看成是纤维丛的某种推广。层 的定义大致是：设 是拓扑空间， 是开集，记 是 上“函数”的集合。在 的开集包含关系 之间，有限制（restriction）同态 ： ，使得大开集 上的“函数”一定也是位于其中的小开集 上的“函数”，并且如果 是 的开覆盖，并且对任何 与，有“函数”相等的关系，则存在唯一的“函数” ，使得对任何，都有 。
层的优点是，它就像一个灵活的百变魔术箱，可以包含各种几何与拓扑方面的信息。例如通过建立层的上同调群，可以从局部的信息来得到拓扑空间整体的信息，并且还可以处理带有奇点的复杂的几何空间。20世纪50年代，数学家H. 嘉当(E. 嘉当的儿子)在研究多复变函数论的时候，发现勒雷的层论非常有用。H. 嘉当发现复代数几何中意大利学派的许多不变量都可以通过层的上同调群语言，很容易地表示出来。例如，如果设
是 维紧致连通复凯勒(Kähler)流形 上结构层 的复形，那么和代数拓扑中的单纯复形一样，可以定义层的上同调群
这时维数 就是的几何亏格，而它的算术亏格则是
H. 嘉当还进一步给出了环层空间(ringed spaces)的定义，它的作用是将简单的空间“粘贴”在一起。H. 嘉当还与艾伦伯格(Eilenberg)一起创立了同调代数的基本理论体系，证明了同调代数中的许多定理。同调代数与交换代数一起，成为了现代代数几何最基本的语言。
图16：H. 嘉当与多复变函数论、同调代数
另一位大力推动让层论进入代数几何的数学家是塞尔(Serre)。塞尔曾经在早年研究了拓扑学中非常困难的球面同伦群的计算问题，以后他就参与到了H. 嘉当领导的多复变函数论和层论的研究中。和不少数学家一样，其实塞尔的最终研究目标之一也是想证明韦伊猜想。塞尔在一种允许有奇点的施泰因(Stein)复流形上引入了十分重要的凝聚层(coherence sheaf)的概念(它可以看成是纤维丛的某种模拟)，凝聚层的上同调群具有十分良好的性质。接着塞尔又看出层论也可以用在比施泰因流形更特殊的复代数簇上，于是他就立即系统地将层论大规模地运用到了代数几何中。
图17：塞尔在代数几何中大规模引入了层论
塞尔为代数几何构思了一个最基本的研究对象，称为“塞尔簇(Serre Variety)”，其中充分吸收了H. 嘉当的环层空间的概念。塞尔认为这是一个比韦伊的不用层论的抽象代数簇更简单的概念。我们可以这样理解：塞尔所做的这一切，其实相当于是将整体微分几何中的纤维丛理论的思想移植到了代数几何中。塞尔还对他的塞尔簇证明了著名的“塞尔对偶性定理”
它现在是计算概形的层的上同调群的基本公式。不过和韦伊的抽象代数簇一样，塞尔簇也有自己的缺陷，例如有一个涉及“完全性(complete)”的附加条件就限制了塞尔簇的使用范围。
实际上早在20世纪50年代的时候，就已经有人想到了概形这个比塞尔簇更基础的概念，但是没有人真正敢去实际建立这个概形理论。这是因为如果要将概形作为代数几何的最基本的研究对象，那么就等于是将迄今为止建立起来的整个代数几何的理论大厦推倒重来，并且构建这个空前庞大的概形理论，需要综合一百多年来所产生的代数、分析、几何、数论与拓扑等学科的大量主要成果，以其工作量之浩大，就十分需要一个像格罗滕迪克那样的超级天才式的人物。
图18：伟大的数学家格罗滕迪克
1928年3月28日，格罗滕迪克出生于德国柏林的一个犹太家庭，他在开始其数学研究的生涯时，所研究的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。在这之后，格罗滕迪克投入到了同调代数的研究中。也是在那个时期，他开始了与塞尔的长期著名通信。从塞尔以及其他的数学家那里，格罗滕迪克学到了许多现代数学和代数几何的基本知识，转而对代数几何和数论产生了浓厚的兴趣。他研究建立代数几何基础理论的强烈动机之一其实也是为了想证明那个与黎曼猜想类似的有限域上高维代数簇的韦伊猜想。
前面曾经谈到在仿射簇 和它的坐标环之间有一一对应的关系，因此对仿射簇的几何研究也就可以转化为对相应的坐标环的代数研究。然而坐标环是一种性质很好的环，它在环论中还有一个专门的名称叫“ -代数( -algebra)”。由于不是每个交换环都可以成为仿射簇的坐标环(例如整数环Z就是如此)，所以格罗腾迪克就想用任意的交换环来构造一种类似于仿射簇那样的抽象的几何对象，使得每一个交换环都可以成为这种抽象几何对象的“坐标环”。
塞尔曾经在他的塞尔簇理论中证明过一个重要的结果：交换环 的局部化的概念可以导致产生由 的所有极大理想组成的极大理想谱 上的一个层。我们曾经说过，仿射簇坐标环的极大理想与仿射簇上的点也是一一对应的，由此人们容易想到：用极大理想谱 来作为与交换环 对应的“几何对象”，并且希望交换环之间的同态映射 ： 对应于这种新“几何对象”之间的正则映射。然而遗憾的是， 的极大理想 的逆像 并不总是 中的极大理想。但是一旦当人们把极大理想换成了素理想，这个问题便不存在了（在大学抽象代数课程里有一个基本的习题：证明素理想的同态逆像一定是素理想）。
在1957年左右，卡吉耶(Pierre Cartier) 建议用交换环 的全体素理想的集合 （称为素谱）来作为与 对应的“几何对象”，它应该是经典仿射簇的某种抽象的推广。这个简单的想法立即成为了格罗腾迪克重建代数几何基础的出发点。这是因为每个交换环 的素谱 连同它上面的结构层 一起，都能够组成一个环层空间 ，这个环层空间就是最简单的“概形”——仿射概形(affine scheme)。这个仿射概形就是格罗滕迪克心目中最基本的“抽象的几何对象”。一旦有了仿射概形，那么对这种新的几何对象的研究就能够转化为对任意交换环的代数研究，这样就将极大地拓展这种新几何的适用范围，实现人们长久以来梦寐以求的将代数几何与代数数论统一起来的梦想。
图19：仿射概形的基本想法
这个构想仿射概形的过程有点类似于戴德金和韦伯从复数域的有限扩张出发来构造抽象的“代数曲线”一样。格罗滕迪克通过构造一种类似于仿射簇那样的抽象的几何对象“仿射概形”，使得每一个交换环都成为了这种仿射概形的坐标环。我们可以这样来表示这些对应关系：
1958年8月，格罗滕迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了一个报告。他的这个报告预告了其未来十年的工作，相当于是给出了庞大的概形理论的提纲。后来被誉为“代数几何的圣经”的八卷《代数几何学原理》(简称EGA)，就是格罗滕迪克在1960-1967年间按照这个提纲来写的。
仿射概形具体的构造过程是这样的：首先设 是一个任意的交换环，记 为 中所有素理想的集合，则 就是我们所需要的“几何空间”，它上面的每一个“点”都是一个素理想。
接下来可以定义在这个“几何空间”上的函数。对于每个“点”(即素理想) ，记 为整环 的商域，那么交换环 的每一个元素 都可以按如下的方式被认为是一个 上的函数：我们定义 是 在嵌入映射 下的像。例如当 属于素理想 时，它在该嵌入映射下的像是域 中的零。为了说明这里定义的函数确实是以前经典仿射簇 上多项式函数的推广，我们可以令 是 的坐标环，并且令 是一个极大理想(由希尔伯特零点定理知道 代表一个点)，那么此时就有 ，而从以上的定义可知 的元素 在 点处的值其实就是传统意义上的多项式函数值。
有了函数，我们就可以定义 中的“代数集(即零点集)”了。设 (即 是一些函数的集合)，则 的“代数集”的是
然后就和以前一样，将在 中的补集都定义为“开集”，于是就有了“几何空间” 上的“扎里斯基拓扑”。
构造仿射概形的最后一步是定义 上的“结构层” ，其基本原理与在经典仿射簇中用克鲁尔的局部环来形成结构层的做法是类似的，只是推导的过程比较繁复。这样，“几何空间” 与“结构层” 一起就组成了一个环层空间 ——它就是“仿射概形”。可以证明，当是坐标环时，这里定义的“结构层”一定就是仿射簇 的传统意义上的结构层，从而我们可以说仿射概形是仿射簇的推广。
在有了以上关于仿射概形的预备概念后，格罗滕迪克就能够定义概形了。在著名的EGA的第一卷第一章中，我们看到下面的两个定义：
“” （2.1.1）设有一个环层空间 ，所谓 的一个开子集 是一个仿射开集，是指环层空间 是一个仿射概形（1.7.1）。
定义（2.1.2）——概形是指这样的环层空间，它的每一个点都有一个仿射开邻域。
格罗滕迪克在前一个定义里所说的“仿射开集”与后一定义中的“仿射开领域”的含义是一样的。换句话说，概形就是局部同构于仿射概形的环层空间，或者也可以将概形粗略地理解为是将一些仿射概形经过适当的“粘贴”后而得到的。由于仿射概形是仿射簇的推广，因此很明显：概形确实是经典代数簇的抽象推广。
图20：格罗滕迪克写的《代数几何学原理》(EGA) 第一卷的中译本
格罗滕迪克的概形理论将代数几何打造成了一个在很大程度上将几何、代数、数论与分析完美统一起来的逻辑推理体系，它具有许多经典代数几何理论所没有的优点。例如在概形上，可以有严格的“一般点(generic point)”、“基变换(change of bases)”、以及“幂零元(nilpotent element)”等非常有用的概念，并且可以用精细的抽象代数的方法来研究几何对象的各种抽象的“几何性质”，这样就为解决一大批重要的经典数学问题开辟了道路。同样在概形上，我们可以做所有的在经典代数簇上曾经做过的事情，例如可以定义广义的“纤维丛”(即模层)、“除子”和“微分”，可以有层的上同调理论(包括Serre的对偶定理等)，可以建立严格的代数簇分类理论和和一般的黎曼-罗赫定理，以及建立严格的相交理论(包括周环和陈类)等等。在概形上也能够做以前根本无法做到的事情，例如可以构造模空间的严格理论，尤其是可以建立能够应用于数论的“算术代数几何”理论等。
在写完了EGA之后，格罗滕迪克和他的合作者们又一起马不停蹄，继续撰写书名简称为SGA的另外八卷系列的代数几何专著。就这样，通过总篇幅达7500页的EGA和SGA这两套书的写作，格罗滕迪克在20世纪60年代末，终于将经典的代数簇理论推广成了适用面更广的概形理论，真正为整个代数几何建立起了一个牢固的逻辑基础，并且彻底重写了代数几何。
不过，先进的概形理论并不意味着它是容易掌握的。恰恰相反，人们需要付出巨大的努力，还需要掌握大量的交换代数与同调代数，才能够真正理解和掌握概形理论。往往在经典代数几何中是寥寥数语的事情，到了概形理论中叙述就比较长。例如前面曾经说过，在概形理论所采用的扎里斯基拓扑中，没有豪斯多夫的分离性公理，因此在实际需要研究代数簇的分离性质的时候，就需要用比较复杂的映射性质来间接地刻画分离性。
在今天，如果要让我们直接通过阅读格罗滕迪克的EGA来学习概形理论的话，是有许多困难的。主要的问题还在于它的极端一般的抽象性，以及它的篇幅巨大。好在代数几何学家哈茨霍恩(Hartshorne)在1977年写了一本极好的研究生教材《代数几何》（有科学出版社的中译本），它可以看成是EGA的一个浓缩简写本。
图21：哈茨霍恩写的《代数几何》中译本
代数几何学家西里贝托（C. Ciliberto）曾说：“虽然概形来源于代数簇及它们之间的映射，但可以说在代数几何中其实到处都有概形，例如概形可以作为映射的像、映射的纤维，以及用来作为对射影空间中的代数簇进行参数化的模空间等等。人们逐渐发现概形和凝聚层的上同调正是进一步发展代数几何所需要的最合适的语言，这种语言曾经是德国学派和意大利学派所热切盼望的。格罗滕迪克的概形理论完全实现了范德瓦尔登、韦伊和扎里斯基要为代数几何打造一个坚实严格的逻辑基础的梦想，他们曾经非常急切地希望创造一种能够同时描述代数簇的拓扑性质和的算术性质的新的普遍性语言。”（见《Development of Mathematics(1950-2000)》一书）。
图22：中年和晚年的格罗滕迪克
后来的历史发展证明，当经典代数几何的逻辑基础问题被彻底解决后，代数几何便立即在20世纪的后半叶取得了巨大进展。下面列举了一些通过运用概形理论而获得的重大成果：
不仅如此，伴随着这些重大问题的解决过程，同时又出现了一大批全新的数学研究领域，其中尤其令人想不到的是概形理论对于数学物理的研究所产生的巨大推动作用，而在量子场论中出现的许多新思想（例如弦理论、镜像对称和量子上同调等），反过来又促进了对代数簇的拓扑和计数几何的研究。
最近，胥鸣伟老师在他刚出版的《代数几何讲义》（高等教育出版社2021年）一书中这样写道：“从黎曼，到主要以结式为工具，处理可构造性问题的经典学派，到具很强直观性的意大利学派，再到建立严格基础的扎里斯基，范德瓦尔登，韦伊，最后到了格罗滕迪克的概形理论：这是一个美妙的极具威力的理论，是20世纪数学的最伟大成就之一，至今仍继续向前发展，深入到许多领域。在本书中，我们试图沿这条路线游览一遍，为进一步研究更深的代数几何相关内容打好基础，诸如代数几何的根本问题：分类（包括现在热点的双有理几何），与理论物理（例如超弦理论）紧密相关的模簇理论，与数论相关的算术代数几何（即在Q，Z或有限域上的代数几何），与K理论相关的周环理论，等等。总之，代数几何是现代数学，特别是理论数学的最重要的基础之一，它将为你提供思考数学问题的另一种强大平台。”
人们常说格罗滕迪克“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点”。数学家巴斯(Bass)就曾评价：格罗滕迪克用一种“宇宙般普适”的观点改变了整个数学的全貌。我们不妨可以简单地将代数几何看成是“用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式”的学科。特别是从代数几何中体现出来的代数与几何相互作用的方式，具有普遍的意义，目前这种思想方法已经渗透到了几乎所有的现代数学各主要分支学科中。
文稿|陈跃
编辑|朱善军
联系客服
