上海交通大学2021年研究生入学考试高等代数试题解答

SJTU202101 解答如下问题:

(1)证明:实数域上奇次多项式必有实根.

(2)有理数域上存在任意次不可约多项式.

证明 (1)实系数方程的虚根总是成对出现的,因此奇次多项式必有实根.

(2)如,其中,其中是素数.

SJTU202102 设,证明:

(1) 当且仅当存在,使得.

(2) 当且仅当存在, ,使得.

证明 (1)由第四版复旦高代白皮书例3.91可得.

(2)由第四版复旦高代白皮书例3.92可得.

SJTU202103 设,证明:线性方程组有解当且仅当

无解.

证明 由第四版复旦高代白皮书例3.100可得.

SJTU202104 设,设

(1)设线性无关,求线性方程组的通解.

(2)设,且,求矩阵满足下列条件:

解 (1)注意到的两个线性无关的解为

即即,进一步对如下矩阵进行初等变换

有解于是原线性方程组可以是

有

于是等价于

解可以是

(2)由题意知与正交,故线性无关,又注意到,由幂等阵的性质知有特征值(重), (重),属于的特征值可以是,设是属于特征值的特征向量,取的一个解,将其扩充为一组标准正交基

于是令,则

SJTU202105 定义在上的线性变换如下:

(1)求的特征值.

(2)求的特征子空间.

(3)求的一组基使得在该组基下的矩阵为Jordan标准型.

(4)求对任意正整数,求.

解 (1)取一组基使得该线性变换在这组基下的表示矩阵为

计算 可知, 于是有.

(2)注意到,取属于的特征向量为,属于的特征向量为,其特征子空间为

(3)由(2)可知故不可对角化,容易得到对应的Jordan标准型为

设,于是

取

故所求的基对应的表示矩阵为

(4)注意到,得到

STJU202106 设, , ,记

(1)证明: 非异当且仅当非异.

(2)证明: 为正定阵当且仅当都为正定阵.

证明 (1)由第四版复旦高代白皮书例2.69可得.

(2)由第四版复旦高代白皮书P474性质4可得.

SJTU202107 设,对任意的,定义.

(1)证明: 是上的一个内积;

(2)求的一组标准正交基.

证明 (1)由第四版复旦高代白皮书例9.1可得.

(2)取维空间的一组基满足题意.

SJTU202108 设是维线性空间上的线性变换,证明:

证明 由第四版复旦高代白皮书例4.35可得.