高中数学难题解题思路分析(17)

(1) 服从二项分布的随机变量

若,则.

解 由题意可知

解得.于是

(2) 设平面向量满足, , , ,则的最大值为.

解 由题意可知

即

又,即.再由三角不等式可知,此时,故,代入

得到

(3) 在正棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是.

解 当正棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时,则底面正多边形为极限状态,此时棱锥相邻两侧面所成二面角且小于.当棱锥无限大时,正棱柱又是另一极限状态,此时且大于,故正棱锥中,相邻两侧面所成的两面角的取值范围是.

(4) 在正三棱柱中, ,底面的边长为,用一个平面截此三棱柱,截面与侧棱分别交于点,且为直角三角形,则的面积的取值范围是.

解 设,则

由题意可知

化简可得,由均值不等式可知,当且仅当时取得等号.于是

又,于是的面积的取值范围是.

(5) 已知异面直线所成角为,过空间定点与成角的直线共有条.

解 将直线平移,使它们都经过.设所成角的平分线为,过作垂直于所在平面的直线为,由于所成角为,当直线经过且与所在平面内且垂直于直线,此时与直线所成角均为

当在所在平面内时,若绕着旋转,则此时与直线所成的角相等,且所成角从变化到,再变化到,此时满足条件的有条,综上,满足题意的直线共条.

注记 异面直线所成角为,过空间任意一点作直线,使得与成等角,则

(1)当时,此时不存在;

(2)当时,此时有条.

(3)当时,此时有条.

(4)当时,此时有条.

(5)当时,此时有条.