ZJU202201 设阶矩阵的元的代数余子式为,且对任意的,有,求.
解 计算可知
即,若是非异阵,对两边同时取行列式有
此外当时, ;进一步分是奇数和偶数讨论,有
ZJU202202 问为何值时,下列方程组有解,并求其解.
解 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换有
方程组有解则,即,求出.于是方程组化为
故原方程的通解为
其中为任意常数.
ZJU202203 设是元多项式,再设
且是对称有理函数,证明:存在对称多项式, ,使得证明 由于,于是对任意的全排列,都有,从而
注意到上述分式的分母是对称多项式,分子也是对称多项式,故对称有理函数可以表示成对称多项式的有理函数.ZJU202204 已知欧氏空间在自然基下的度量矩阵为
设,且它们的夹角为,求的值.
解 计算可知
故整理可得,其中,故.ZJU202205 设, 是上的线性变换,且
定义对偶空间上的映射如下:
(1)证明: 是的一组基;
(2)求的对偶基;
(3)求变换在该对偶基下的表示矩阵.
解 (1)注意到,故是的一组基.
(2)设的对偶基是,则,设标准正交基为
则故,进一步计算可知其对偶基为(3)记在下的表示矩阵为,则变换在对偶基下的表示矩阵为,则
ZJU202206 证明: (1)不存在矩阵,使得;
(2)存在实矩阵,使得,其中
证明 (1)由题意可知,又的特征值全部为,故的Jordan标准型为,而,故不存在矩阵,使得.
(2)注意到,其中,不妨考虑
即在基下的线性组合,而故满足题意,此时ZJU202207 设阶矩阵,且
求的特征多项式和极小多项式.解 注意到,其中
由于故而即特征多项式进一步注意到有一个阶行列式因子为,故的全体不变因子为,即极小多项式等于其特征多项式.ZJU202208 设是阶实对称阵, ,已知,且的两个特征向量为
且不是的特征向量.求和.解 由于的特征值只能是,而则的特征值全为,这与不是的特征向量矛盾,故的全体特征值为,且是属于特征值的特征向量,由于属于不同特征值的特征向量互相正交,故属于特征值的特征向量可以是,故
由于,故
进一步有
ZJU202209 设的秩为, 的秩为, 是数域上全体阶方阵组成的线性空间, 是数域上全体阶矩阵组成的线性空间.定义映射为
求和.解法1 我们用Kronecker积求解,由题意可知存在非异阵,使得
进一步有故解法2 由相抵标准型代入对应的分块矩阵求解,细节请读者自己完成.
ZJU202210 对任意的,证明:存在以特征值为的循环矩阵
证明 设基础循环矩阵以及多项式
计算可知,而,故的特征值为
即的特征值为联系客服
