一.判断下列命题是否正确,若正确给出证明,若错误举出反例.
ECNU202001 的充分必要条件是对任意的正整数,存在,当时,有
解 正确. , ,当时,有.
ECNU202002 若在的某邻域内有定义,且存在,则存在.
解 错误.反例如下: ,有
但不存在.ECNU202003 若在上可积,则在上有原函数.
解 错误.反例如下:
在上可积,但是没有原函数.
ECNU202004 若在上连续,且,则.
解 正确.反证如下,若不恒为0,则存在,使得,由局部保号性知,使得对,都有,于是有
这与矛盾,原命题得证.
ECNU202005 若级数与都收敛,则也收敛.
解 错误.反例如下: .
ECNU202006 设是的一个极小值点,则一定存在,使得在上单调递减,在上单调递增.
解 错误.反例如下:
其中此时对任何的, 在内不单增,同时在内不单减.
二.计算题.
ECNU202007 计算积分.
解 计算可知
ECNU202008 求极限
解 计算可知
ECNU202009 求级数的部分和.
解 由于幂级数在内一致收敛,故交换积分与求和次序,有
代入,得到ECNU202010 计算
其中是抛物面在平面与之间的部分,方向取下侧.
解 令曲面,由Gauss公式知
ECNU202011 已知,求
解 由定积分的性质得到
由于,于是对任给的,存在,使得当时,有
于是三.证明题.
ECNU202012 设, , ,证明:与敛散性相同.
证明 先考虑若收敛,则, 由比较判别法得收敛; 若发散,则
而对于任意给的, ,于是,当时, ,于是, 由Cauchy准则知发散.ECNU202013 已知数列非负且有界,证明:.
证明 记,于是对任给的,存在充分大的正整数,使得,当时,有
由于的任意性,有ECNU202014 设
证明:对任意的以及任意的, 在上无界.
证明 任给, 由有理数的稠密性知存在,使得,于是有,使得,有.
ECNU202015 设在上连续,且, 设在上收敛于,证明: 在上有最小值.
证明 记,由于,故关于单调递减收敛于,不妨设,下说明存在,使得,由归结原则知存在数列,使得,不妨考虑数列收敛,若,则由于,由局部保号性知存在,使得,进一步由于得到,存在,当时,有,于是,但,矛盾,故是在上的最小值.
ECNU202016 证明:设是定义在上的非负函数且可微,满足收敛,证明:存在趋于正无穷的数列使得
证法1(感谢娄本东教授提供) 反证.假设不存在满足题意的数列,则必存在,以及,成立下式:
该式表明对任意的,只要,就有,从而有或.假设前者成立,即表明严格单调递减,随着减小,只要其仍为正值,则它越小意味着(取值为负)的绝对值越大,直至变为负值,这与假设矛盾.因此只能是,这表明只要减小到之下, 就会严格递增,进而阻止的进一步减小,结论就是当时,有,这与在上可积是矛盾的.
证法2 若存在,则,于是对任意的,都有,使得,此时有,故
若不存在,则存在,使得对任意的,都有,使得,取,则存在,使得,取,则存在,使得,以此类推得到趋向于无穷的数列,记在上的最小值为,下说明对任意的子列,都有趋于0,这是因为若不然,则
矛盾,故此时是在上的最小值,此时仍然有
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