一.判断下列命题是否正确,若正确给出证明,若错误举出反例.
ECNU201801 对任意的,总存在,当时,有成立,则.
解 错误,例如,取,总有,但不存在.
ECNU201802 若函数在区间上单调且存在原函数,则在上连续.
解 正确,存在原函数表明不存在第一类间断点,而单调表明不存在第二类间断点,即在内的每一点都是连续的,故在上连续.
ECNU201803 若函数在处沿任意方向的方向导数均存在,则在该点连续.
解 错误,反例如下
取,有
而取,得到故在原点不连续.ECNU201804 若函数和在内均一致连续,则在内也一致连续.
解 正确,由题意得都存在,于是, 都存在的,由于在上是连续的,由Cantor定理,命题得证.
ECNU201805 若且级数与均收敛，则级数也收敛.
解 正确,注意到
于是收敛,于是也收敛.ECNU201806 若与均绝对收敛,则收敛.
解 错误,取如下反例
有
这是收敛的,而,这是发散的.
二.计算题.
ECNU201807 计算极限
解 计算可知
ECNU201808 设函数,其中具有二阶连续偏导数, 二阶连续可导,求.
解 计算可知
ECNU201809 设函数
求的所有间断点并判断其类型.
解 计算可知
故时, , ,这是可去间断点;
当时, ,这是无穷间断点,其中.
ECNU201810 求级数
的和.
解 注意到
考虑计算如下幂级数的和函数
由于该幂级数在收敛域内一致收敛,故交换求导与求和次序不改变结果,有
由于,于是将代入,得到
ECNU201811 计算曲面积分
其中为下半球面的上侧,是常数.
解 令曲面,方向朝下,计算有
由Gauss公式得
三.证明题.
ECNU201812 已知函数列在上收敛于连续函数,证明: 在上一致收敛于的充要条件是,且,都有.
证明 先证明必要性,,有,于是,故
再证明充分性,由题意得到, ,当时,有,同样得到,而由于在上连续,故一致连续,于是取,有
于是得到
故上一致收敛于.ECNU201813 设函数在上可导,且,证明不等式
证明 构造变上限积分函数,并求导,有
由题意得,令
于是,故在上递增,又,于是,于是ECNU201814 已知函数在上连续,且,证明:
(i) 在上有界且一致连续;
(ii) .
证明 (i)由于,故,当时,有, 不妨取,于是,而在上连续,故一致连续,于是,于是,于是在上有界;容易得到在上一致连续,于是,使得对任意的, ,都有由Cauchy收敛准则知,对任意,有
故在上一致连续,故对任意的, 时,,取对任意上的,有
于是在上一致连续.
(ii)直接通过L'Hospital法则证明,而题目结论本身可放宽到在任何有限区间上可积并不影响结论.
ECNU201815 设函数,证明: 在上连续,在内可导.
证明 注意到,令
易知在上关于是连续的,而,有,而单调递减趋于0,由Dirichlet判别法知收敛,而,故由Abel判别法知一致收敛,由的任意性,于是该含参积分在上一致收敛,于是在上是连续的,且在上可导,且,由Dirichlet判别法知其一致收敛,于是
ECNU201816 设函数在上连续可微,已知在上收敛,且存在常数,使对任意的正整数以及,都有,证明: 在上一致收敛.
证明 由题设,对任意给定的,取区间的等距划分,其中充分大,使分划的细度,由于函数项级数在处处收敛,因此从Cauchy收敛准则知,存在,使得时,对任意正整数和分划的每个分点,同时成立现对于任意的,不妨设,作出估计:
其中在上对使用微分中值定理, ,这表明在上满足Cauchy一致收敛准则,从而在上一致收敛.
ECNU201817 设函数在上可导,且,又为个正数,证明:在内存在一组互异的数,使得.
证明 不妨设,等式两边同时除以,令,即得到要证明的等式为,其中,由于,于是存在,使得
由Lagrange中值定理得,存在,其中,并且有,即联系客服
