每日一题：2020.10.12 函数方程

函数方程及其变形

1.设函数满足：

证明：

1.对一切有理数,有

2. 设在上连续，证明：对任意的,有

3. 设在一点连续，证明：对任意的,有

4. 设在上单调，求证对任意的,有

5. 设在某区间上有界，求证对任意的,有

下边给出一套规范的做法来求解这类函数方程

1.从整数出发：

取,再令

取,即得：,这里让为变元，即任意有理数，故命题1得证

2.我们只用说明无理数也满足条件即可：(令为无理数，自己验证函数为奇函数)

即得：

命题二得证

3. 由命题二可见，我们只用到了在0处连续，就得出了答案，所以命题三自己稍作改动即可(证明略)

4. 
   

如果能够证明命题三，那么结果不证自明，现在证明命题四推命题三

限定在,那么当显然当充分大时，函数趋于0，再由单调性可知当,自然趋近0，得出在0点连续，故命题得证(这个的证明极限的语言并不是很严谨)

5.再由命题五推命题三，先证在0的一个邻域内有界：

,所以由不难得出当满足前面的条件时，有界(),再由类似命题四的构造方法推出在0点连续，故命题三成立，所以命题五成立