2.4:陪集
本来想把生成的概念正式给出的,但是因为欠的推文实在太久了,所以就省掉了,把它放在循环群或者商集里介绍.
再给出陪集的定义之前我们先给出一些记号(Notations):设是一个群,是上的一个二元运算,,定义:
对于以上的记号,有如下性质:
Proof: 因为,且,所以对任意,所以;另一方面,对任意的,所以任意的. 6. 对 .
Proof:一方面,再(5)中取得到:,另一方面,如果:,即对任意的:,所以.
下边正式给出陪集的定义:
定义1:[陪集(伴集,傍集)] 设是的子群,则称集合:是的一个左伴集,类似的我们可以定义右伴集.
一般来说,给出了一个新的事务,我们自然想到研究他有什么性质,下边我们从如何判断两个陪集是否相等开始探究陪集的性质:
定理1:[陪集相等的判定定理] 如果H是G的子群,那么.
Proof:一方面:如果,那么任意的,存在使:
另一方面:如果,说明:
反之对任意的,所以.
不仅如此两个陪集之间还可以建立一一对应的关系:设是的两个陪集,那么映射:
是双射,首先这是个满射,这由映射的定义可以直接看出,其次这还是一个单射:对任意的(两边取逆即得证.) 既然是个双射那么自然集合的基数相等,即:.
最后我们看一看两个不同的陪集之间的交集是什么?有如下断言:若:,那么:.
Proof: 如果:,那么存在,使:
这与陪集相等的判定定理矛盾,所以断言得证.
因此我们得到了如下命题:
命题1:
的充要条件是:; 若,那么.
由上述定义我们可以看到上的左陪集全体构成了的一个分划,且每个分划所含元素相等.因此我们可以在上定义等价关系:
这就是上述划分对应的等价类.
在给出定理之前我们先给出一个完全代表系的定义,以便于我们如下的叙述:
定义2:[完全代表系] 设是的一个子群,给定一个集合:,如果它满足以下两点,则称它是G的一个完全代表系.
;
由上述1.4.3给出的命题可知,每个陪集中的元素的基数是相同的,而,所以每个陪集中元素的基数都为:,所以
由此我们给出我们在抽代中遇到的第一个比较重要的定理-拉格朗日定理(我总不注意就说成了拉格朗日中值定理,haha!)
定理2:[拉格朗日定理]设 是有限群 的子群,则 是 的因子.的右傍定义了中的一个等价关系: 当且仅当 ,当且仅当 在这 个等价关系下的商集 为 的右傍集全体. 即右傍集的个数称为为子群 在中的指数,记为.也可以改写为下列这种形式:
下边给出拉格朗日定理的一个推论:指数公式:
定理3:[指数公式]设:,则有:
先给出证明的一个错误方法,即直接用拉格朗日公式:
,然后:
必须指出这样的证明方法是不正确的,因为当群的基数是无穷时,他们的除法是没有意义的,即使是两个群的基数都是相同(无穷情况下,读者请自行思考为什么?)其中:是完全代表系,所以有:,现在我们证明:是关于的完全代表系,
即对任意的:.如果:,那么:由于,所以必有:因此可以消去,同理可得故上述命题得证.
例子:考虑关于关于的所有左陪集.
首先根据拉格朗日定理可知,有三个左陪集,然后拿的元素一个一个试就知道了,因此最终结果是:
最后我们要说明一般而言:,即对于同一个元素左乘陪集和右乘陪集所得到的结果一般是不同的,具体例子可以拿上边例题试一试.但是我们可以得到如下结果:
命题1:如果是左陪集的一个完全代表系,那么:是右陪集的一个完全代表系.
证明:证明两部分:
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