数学分析-数列极限与级数初步(一)

数列极限与级数初步(一 )   

主要参考教材：

微积分教程》- 菲赫金哥尔茨

《 数学分析》-  卓里奇

《 数学分析教程》 - 崔尚斌

因为属于复习内容所以大多数都没有证明，大家如果想好好复习的话一定要自己动手证明一下，难的基本我都会证明！

暑假快乐！

明天预告：数列极限与级数初步(二）

高代等我复习到了矩阵再开始，行列式实在不想写！

数列极限的定义与基本性质1.1

定义1.1：(数列收敛)若对任意给定的,都存在,使得当时，都有,则称是数列的极限.

定义1.2：[无穷小量] 如果对任意的都有，存在,当时，，则称时无穷小量.(\ls{即极限为0的数列})

推论1.3:数列收敛到的充要条件时为无穷小量.(常常记为.我们常常用这一事实来处理有关证明题.)

定义1.4：[无穷大量] 如果对任意的,都存在使得，任意的，都有,则称为无穷大量.即“极限”为无穷大的数列}

我们首先建立一下关于无穷小的几个引理以及无穷大和无穷小的关系：

1. 若数列是无穷大量，那么是无穷小量(至少从某一项开始起.)

   注意到：反之无穷小量的倒数是无穷大量是不成立的，必须加上条件：无穷小量只有有限项不为0.

2. 有限个无穷小之和仍为无穷小量.

3. 一个有界数列乘无穷小量仍是无穷小量.

下边是极限的性质，有关这一部分的内容比较简单，所以我几乎没有证明：

1. ,那么对,存在使得时，.(特别的，如果是正数,取.)
2. 如果，那么是有限的.
3. 极限的唯一性，如果,那么.
4. 设数列均有极限，且那么.(注意到即使是也得不到,考虑)
5. (夹逼准则)设数列满足下列不等式

   且,那么.

定理1.5：[极限的四则运算]设是两个数列，且,那么

3. ,如果.

练习：设已给二数 及 假定 , 而数列 以后的数值则由等式

求的极限.

因为：

由此得到：

连加即得：(以后这么简单的题目会更简洁.)

一些基本的不定式的极限的计算1.2

1. (多项式型)

2.(有理分式型)

4. 设,记 提示：夹逼原理

5. 证明：

   证明：

   所以

   所以极限为0，对于原式我们可以改写为：

   由于也是大于1的，所以命题得证.

6. 类似我们可以证明：

Stolz定理及其证明1.3

该定理主要用来处理型的不定式.

定理1[Stolz定理1] 设数列 , 并且 至少是从某一项开始 一在 增大时 亦增大: 则

只需等式右边的极限已知为存在 (有限或 .注意到定理的陈述，右边极限存在时前提.

证 只对有限的 作证明. 根据条件对 存在 , 使得当 时成立

由于对每个 都有 , 这样就有

所以

所以：

可得

右边的第二项, 我们已看到, 在 时 由于 , 所以第一项, 在 时, 也将 若在这时所取的 , 则在 时, 显然有

定理2[Stolz定理2] 设数列都是无穷小量, 其中严格单调递减，若极限：

那么：

可以取广义实数.

可以将上边的证明修改两下即得证明，对于无穷大时只需要证一边即可.

下边看一个练习题：

练习 1

试证

a) ,

如果记 , 那么

它是 的 次多项式. 

b)

第一问利用数学归纳法即得证，我们用stolz定理证明第二问：

便有

但

如此, 便有

便有

我们看一个更加复杂的例子：

练习2

求的极限.

我们不加证明(因为和上述过程一模一样)给出结果.