让我看看是谁没有认真浏览到第三篇!
(有错 请及时交流!)证明区间 与 同胚, 上的距离均由 下式定义
证明:令.即:
即:
这是一个连续的双射,且反函数是连续的,因此区间与同胚.
设 是实数域,在 上定义距离
则 按照 是一个距离空间但不完备.
先证明是一个度量空间.即验证函数是一个度量函数:
所以是一个度量空间.但是不完备,这是因为存在柯西列不收敛.取,这是一个柯西列,因为:
但是不收敛,不妨设,那么应该有:
但是显然:.因此矛盾,故柯西列不收敛.
设 是以 为距离的紧空间, 是 到它自身的映射. 若对任何 , , 当 时, 有
则 有唯一的不动点.先证是连续的,这是因为固定某个,对任意的都有,对于任意的满足,,都有:
所以是连续的,又因为是是一个二元连续函数,因此是连续函数.又因为其定义在紧集上,所以最小值可达.设处其达到最小值,不妨假设,那么:
因此在处更小,这与的定义矛盾,因此假设不成立,所以,因此存在性得证.
唯一性:假设都是不动点,那么:
矛盾,所以不动点唯一.
设 为一切有界数列构成的集, 线性运算与 的相同, 在 中定义 范数如下:
其中 . 证明 按照 是不可分的巴拿赫 空间.
赋范空间略
需要证明两个部分:空间的完备性和不可分性.
完备性:任取柯西列,其中表示空间中的某个元素,上标表示这个柯西列的个元素。对于任意给定的.
由于的完备性,所以收敛到,因此收敛到.下边只需要证明
在中即可.因为:所以空间的完备性得证.因此这是一个Banach空间.
下证不可分性.
反证:假设是可分的,那么存在可数稠密子集.其中每个都是中的元素即某个无穷序列.
记:.显然的基数为.
因为是的可数稠密子集.那么:
由抽屉原理可知,必至少有两个不同的序列.在同一个球中,不妨记这两个序列为,所以:,但是他们在同一个球中,所以:
所以矛盾.因此假设不成立。所以是不可分的.
设 是内积空间, 则 的充分必要条件是对任何数 , 有 .
证明::,那么:
:那么:
两者相等即意味着:
这意味着:
即:,若数域为实数,取则,取数域为复数域,则分别取那么得到:和.即.
设 是希尔伯特空间中的两个规范正交系, 满足 . 证明当 中之一完备时, 另一个也是 完备的.
由于希尔伯特空间中规范正交系的完备和完全是等价的,因此我们假设完备时,但完备的结论不成立,那么意味着存在,但是有:
考虑范数:
由内积的不等式可知:
所以矛盾假设不成立!
设 . 在 上定义线性算子:
其中 , 则 是有界线性算子, 且
证明:线性算子是显然的,接下来我们只证明算子范数为题设所述.
首先:
所以:
因此:.
特别的,我们取:(对应第个位置为1),因此,且,因此:
两边对取上确界,故得证.
设有 上的算子序列 , 其中 , 则 按强算子拓扑收敛于某一有界线性算子,但不按一致算子拓扑收敛于该 算子.
我们证明该算子强算子收敛于单位算子,但是不依范数收敛于单位算子.
任取 一致收敛, 对任给的 , 存在 , 使得 , 时, 有
取 , 则 时
从而当 时, 对所有自然数 , 有
当 时, 存在 , 使得 时,有
于是 时, 对一切 , 有故 强收敛于单位算子 .
下而我们证明 不收敛于零. 取定 , 对每个 , 我们作 中函数 如下
则
故 按算子范数不收敛于 .
证明 上的有界线性泛函序列
弱收敛于零, 但不依范数收敛于零.
对序列而言,其弱收敛于即对任意的,都有(这是因为是自反空间):
即证明:
由Riemann-Lebesgue引理可知显然成立.
但是不依范数收敛到0,这是因为取,那么:,不可能依范数收敛到0.
设 为巴拿赫空间, , 则 (第一预解式方程).
首先我们有恒等式:
两边同时左乘和右乘.就得到了我们所需要的.
在 中定义算子 如下: , 其中 , . 证明 由满足 的一切点 组成, 的特征值由 满足 的一切点 组成, 对于 是单映射.
注意到:.对于任意的,都有:
但是,我们取,可以得到:
因此.
即是有界线性算子且算子范数为1.
所以,下边我们分三种情况说明:
.(定理6.3书本196)
对于任意的,考虑:
如果,只要取,其他都为0,那么,所以有非零的特征向量.
如果,那么讲上边的式子具体表达出来就是:
那么就是:
所以只要取:.那么就有非零的特征向量.
又因为是闭集,整个单位圆盘都在中,又因为包含了单位圆盘外的所有区域且是开集因此:
3.对.由上可知:.由于.所以:
收敛只可能是,所以为单射.
设 是有界数列, 在 中定义算子 , 其中 . 证明 是紧算子的充分必要条件是 .
事实上,书本上有关于中紧集的判定的习题,但是由于我们之前没讲过,所以这里不直接用.
紧算子:将有界集映为预紧集/将单位球映为预紧集(等价定义).
:设是一个有界集,根据假设是一个预紧集.其中的元素,都是的形式.对任意的大于0,都有有限的网,我们记这个网为(这是根据预紧集的性质得到的).其中是某一个中的元素.那么存在,当时:
由于只有有限个元素,所以可以找到公共的.其中的定义为:(就是余项)
其中是中的基.
事实上.又因为:(前面习题已证.)又因为:.
对于任何一个,由于是网,所以必然有某个使得:
因此:
其中第一项由网的定义小于,第二项由于的性质小于,第三项由于.所以自然小于.因此整个小于.
取为单位圆.则在中,故.从某个开始.
当取遍所有的大于的的正整数,根据数列收敛的定义,我们知道.
:因为:
又是有限秩算子,且收敛到.紧算子的集合是闭集,因此是紧算子.
设 为定义在希尔伯特空间 上的有界线性算子, 令 为 的零 空间, 为 的值域, 证明 .
证明:首先对任意的,都有:.
那么对于任意的:
设自伴算子 满足 且 可换, 则 对任何 自然数 成立.
由于的可交换性,因此有下列分解:
首先是正算子(或者叫非负算子),
下边我们证明任何两个可交换正算子的乘积还是正算子.
因为是正算子,所以有平方根,即:,且也是正算子,我们不妨以代表,即有:
所以也是正算子.
而分解式1中后一项中是正算子的和还是正算子,总的是两个可交换的正算子的乘积所以是正算子.故结论得证.
设 为可换的投影算子, 则 也是投影算子, 且 . 当任一投影算子 满足 时, 则必满足 .
欲证投影,只需证自伴和幂等;即:
至于幂等就自己验证了.
后边的几个都只需要用到247的定理3.4:只需证:
即可,而这又是十分简单的.
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