立杆测地球直径--读《资治通鉴》笔记之一百六十三

唐玄宗命令太史监南宫说等人在黄河南、北两岸的平地上观测太阳的影子和北极星的位置。他们在夏至这一天的中午，在不同地方树起一支八尺长的标杆，并测量标杆影子的长度。

阳城县日影的长度为一尺四寸八分弱，晚上看到的北极星高出地面三十四度又十分度之四；在汴州浚仪岳台日影的长度为一尺五寸微强，晚上北极星高出地面三十四度八分；南部的郎州日影长度为七寸七分，晚上北极星高出地面二十九度半；北部的蔚州日影长度为二尺二寸九分，晚上北极星高出地面四十度。

位于南部的郎州（今贵州遵义市）和位于北部的蔚州（今河北省张家口市）两地之间相距三千六百八十八里九十步，两地日影长度相差一尺五寸二分，晚上北极星高出地面的角度相差十度半。再往南到交州，日影伸至标杆南面三寸三分处。

通过以上的数据，应该可以计算出地球的直径，具体方法如下：

1，单位换算

唐代每尺约为现在的30厘米。

相关的依据有：日本正仓院所藏唐尺26支，长度从29.4到31.7厘米，平均29.75厘米。1976年西安郭家滩78号唐墓出土的唐尺长30.09厘米。

唐太宗李世民把自己的双步，也就是左右脚各走一步，定为长度单位“步”；还规定步的五分之一为1尺，300步为1里。据研究，唐代的一步为1.514米，1唐里折合454.2米。

综合以上信息，可知郎州与蔚州两地的距离为1675.226千米，杆长为2.4米，郎州日影长0.231米，蔚州日影长为0.687米。

2，测量原理

从两地立杆测影，来测算地球直径的原理如下图所示。

根据两地影子长度和杆长，求反正弦可得到∠4和∠5的角度。又因为杆与地面垂直，即可分别计算得出杆与太阳光的夹角∠2和∠3。

由于地日距离非常遥远，这里近似将阳光看作是平行射入两地，即∠2等于∠6.

那么，两地杆与地心的夹角∠1等于∠3减去∠2。

以两地的距离除以∠1占圆周360°的比例，即为周长，再除以圆周率，就是地球的直径。

3，角度计算

以下为计算的结果：

周长（千米）	57567.97
直径（千米）	18333.75

4，评估结果

地球是一个赤道直径大，南北极直径小的不规则球体。

地球赤道半径6378.137千米，极半径6356.752千米，平均半径约6371千米。所以地球的平均直径是2×6371=12742千米。

通过以上计算得到18333千米，虽然误差比较大，但在数量级上与现代数据一致，且方法与古希腊人的测量方式类似。

如果唐朝的科学家能通过这些数据计算出地球直径，也堪称是一次有益的尝试，并留下宝贵的历史记录。

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