传说上古伏羲氏时,有龙马从黄河里跳出来,背上负着河图;有神龟从洛水里跳出来,背上负有洛书。伏羲氏根据河图、洛书演化成八卦。洛书便是最早的幻方,用现代数学语言解释,就是用1~9九个数字,填在九个格子里,使每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15。
河图洛书
用数学语言表述,幻方是指在n×n(n行n列)的方格里,既不重复又不遗漏地填上n个连续的自然数,每个数占一格,并使排在任一行、任一列和两条对角线上的几个自然数的和都相等,这个和叫幻和,n叫幻方的阶,这样的数表叫n阶幻方。
下面介绍几种构造幻方的方法。
九子排列法
我们宋代数学家杨辉总结“洛书”幻方的编排方法是:九子排列,上下对易,左右相更,四维挺出。
第一步:九子排列,把1~9按下图排列出来。
第二步:上下对易,把上下两个数9和1对换。
第三步:左右相更,把左右两个数3和7对换。
第四步:四维挺出,把4,2,8,6四个数突出来。
这样就构造出一个三阶幻方。
巴舍法
九子排列法只可用于构造三阶幻方,而巴舍法可以用于构造任何奇数阶幻方。这里我们以构造三阶幻方为例来讲解巴舍法。
假设有一个三行三列的格子。
第一步:先在两侧制造阳台,上下造天台、地下室。
第二步:爬梯填数。
第三步:把原来没有的阳台、天台、地下室的数填到它所在位置的对面。具体操作时可用数格的方法,1往右数三格就是所要填的位置,3往下数三格,7和9同理分别向上和向左数三格。
第四步:把所造两侧的阳台、天台、地下室及里边的数去掉,一个三阶幻方就制作成功了。
罗伯法
罗伯法可以构造出所有的奇数阶幻方。罗伯法还有个口诀:
1居上行正中央,依次斜填切莫忘;
上出框界往下写,右出框界左边放;
排重便在下格填,右上出格一个样。
以三阶幻方为例,具体填法如下:
(1)1居上行正中央——在第一行正中央的方格内填1。
(2)依次斜填切莫忘——在1的右上方虚拟方格内填上2。
上出框界往下写——在1的右上方填的2出了上框界,此时需要将2向下移到最下边的方格内。
(3)右出框界左边放——在2的右上方虚拟方格内填上3,由于3出了右框界,此时需要将3向左移到最左边的方格内。
(4)排重便在下格填——在3的右上方格内填上4,但此时3的右上方格内已经填了1,重复了,所以将4填在3的下方。
(5)在4的右上方格内依次斜填5和6。
(6)右上出格一个样——接下来应该将7填在6的右上方格内,但此时既出了上框界又出了下框界(右上出格),所以应将7移到6的下方。
(7)用同样的方法依次把8、9填入相应的方格内。
这样,我们就用罗伯法编制出了一个三阶幻方。
相对于巴舍法,在编制更高阶的幻方时,罗伯法将显示出它的优势,而且罗伯法更加有利于计算机编程实现。
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