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震惊！印第安原始部落手工艺品用数学对称性蒙骗游客，你可敢信？
本文介绍了利兹大学设计专业学生参加的一门与结构和形式相关的入门课程中所包含的主题。作为背景，利兹大学的科学研究人员对一系列相关问题的理解做出了重要贡献。确定了基本的结构元素，并简要概述了瓷砖、图案和多面体的性质。介绍了与斐波那契级数、黄金分割、标度对称性和模数性相关的各种相关概念。确定了一系列重要的文献，并包括了一系列的作业摘要。其目的是确定已被证明对利兹设计专业学生的实践活动的质量改进有价值的课程材料。这篇论文的主要目的是为设计教师提供指导，他们目前的工作包括开发理论部分，以支持主要以实践为基础的设计课程。
背景
在20世纪的大部分时间里，利兹大学在分析和解释图案方面发挥了关键作用：三维图案是晶体结构的基础，二维图案是面料设计、镶嵌和平铺的基础。可以说，这一角色始于获得诺贝尔奖的卡文迪什物理学教授W·H·布拉格和他的儿子W·L·布拉格。1913年，他们团队合作，使用x射线衍射技术，解决了第一批晶体结构问题。在20世纪30年代，纺织工业部的H.J.伍兹提出了一项关于图案对称性的综合评估[1-4]。伍兹借鉴了起源于晶体结构研究的概念，第一个完整而明确地列举了双色、一维和二维图案，这是一项富有远见的工作，在概念上领先于世界各地结晶学家的理论发展数年。今天，人们普遍认为，伍兹为我们目前对规则重复图案和瓷砖的几何学的思考奠定了基础，尤其是我们对颜色(反转)对称性的认识。在20世纪30年代至40年代，W.T.Astbury在利兹纺织工业部的J.B.Speakman开创的工作基础上，率先使用X射线衍射技术来阐明羊毛纤维的结构，这项工作(可以说)直接导致了DNA结构的发现。在这项工作的基础上，也是利兹纺织工业部的J.B.Speakman开创了利用X射线衍射技术来阐明羊毛纤维结构的先河，这项工作(可以说)直接导致了DNA结构的发现。贯穿以上所有不同作品的基本线索是结构和形式，这是美学效果和物理表现的最终决定因素。
利兹的传统延续了下来，更常见的与聚合物纳米结构相关的想法继续激发着图案和结构领域的研究思维。利兹大学在促进对不同文化背景和不同历史时期的模式的理解[5-7]，确定对模式分类的重要概念[8]，以及分析和综合反变模式[9，10]方面做出了贡献。层对称领域的概念已经被开发出来，以帮助我们理解机织纺织品的几何结构[11，12]。平铺、镶嵌和多面体是利兹大学目前的研究热点。其中一个项目涉及通过用精细的高压水射流冲击染色织物表面的几何图案(使用不同种类的柏拉图和阿基米德瓷砖)[13]。另一个是关于正多面体和探索周期模式或平铺在这类结构上的应用[14]。
本文的目的是确定一系列的概念，这些概念是利兹大学设计课程的基础。这个教学大纲参考了作者过去和现在的研究兴趣，以及Washburn和Crowe [15, 16], Grünbaum和Shephard [17], Critchlow [18, 19], Elam [20], Kappraff [21, 22], Schattschneider [23, 24], Lawlor [25], Hargittai [26, 27] 和 Pearce [28] 所提供的宝贵意见。Lidwell等人[29]提出了一个制作精良、图文并茂的介绍性文本，涉及广泛的几何和其他对设计师很重要的概念；这应该证明对教师在开发课程材料的早期阶段有价值。
内容包括：比例理论、平面平铺、规则和半规则平铺和镶嵌、图案、图案和对称性、图案构造、模块性、斐波那契级数和黄金分割、多面体、尺度相似性和分形。本文应该对设计课程特别有价值，教师目前的专业职责包括开发理论部分，以支持主要以实践为基础的设计课程。对其他人来说，本文可以作为简单的进修课程的基础，也可以作为改编补充教材的来源。这篇论文绝不是包罗万象的。它只是确定了利兹大学课程的一些更重要的组成部分，并确定了适当的文本，这些文本可能会帮助教师通过包括结构和形式的理论方面来开发他们自己的课程。需要强调的是，以实践为基础的活动应该与理论交付齐头并进。举例来说，附录中包含了一些作业摘要。值得注意的是，利兹大学的相关讲座课程受到设计系学生的好评。同时，导师们评论说，对工作室/实践项目的回应似乎至少在一定程度上是由于本文以摘要形式提供的课程材料的加入，从而提高了对这些项目的反应的质量。
点、线、形式和结构
重要的是，设计师要发展一个视觉词汇，并意识到艺术和设计中相互关联的重要结构元素。这些元素包括：点、线、形式、图案和结构。对这些元素的解释应该成为任何有关结构和形式的讲座课程的起点。点是基本的图形元素，所有的视觉表达都源于此。一组相连的点（或一个移动的点）构成了一条线。线条具有心理影响，受其方向或方位、重量和重点以及这些变化的影响。线条可能是人为的，也可能是由自然界创造的。线条可以是隐含的（例如，作为两种颜色或两种纹理之间的轮廓），可以是水平的、垂直的、对角线的或在平面内的任何其他方向。线条可以是直的，也可以是弯的。线条的组合构成了形式，并创造了区域或体块，从而定义了空间中的物体。在本文中，形式一词被用来表示长度和宽度（在二维空间）或长度、宽度和深度（在三维空间）。同时，结构这一术语被用来表示二维或三维形式的基本几何骨架或框架。关于点、线和形式的性质以及 "视觉语法 "的其他元素的定义和讨论，值得参考Leborg[30]。一系列基于实践的作业也可以从这个资料中发展出来。
多边形、圆和其他结构
多边形是有边的封闭图形（例如，用纸上的线表示）。正多边形具有相等的边和相等的角。正规多边形的名称起源于希腊语：五边形，六边形，七边形，八边形，九边形和十边形。学生应该熟悉正五边形和正六边形的构造。圆可以被认为是一个无限边的多边形，没有起点和终点。它是最容易准确构建的几何图形，多年来，它在视觉艺术方面有许多用途。除此以外，它还与彩虹、光环、祈祷轮、结婚戒指、欧洲中世纪大教堂的玫瑰窗和史前石圈有关。它是几何结构中的一个重要组成部分，没有它，几何学科的范围就会很有限。Lawlor对各种几何结构进行了有益的回顾[25]。
规则和半规则密铺
术语 "密铺 "是指覆盖（或镶嵌）平面的多边形，边对边，没有间隙或重叠。一个规则的瓷砖（或镶嵌）是由相同大小和形状的单个多边形的副本组成的。在二维平面上只有三种规则的多边形可以拼凑：等边三角形、正方形和六边形。只有在顶点的角度（即角度相交处）加起来正好是360度的情况下，才有可能进行镶嵌。这三种可能性，每一种都使用一种正多边形，被称为柏拉图镶嵌或规则镶嵌法。有几种形式的符号被使用。例如，可以通过选择一个顶点并计算与之相接触的多边形的边以及顶点所涉及的多边形的数量来记述一个瓷砖。在六边形瓷砖的例子中，三个六边形在一个顶点相遇，每个多边形有六条边；适当的符号是6.6.6。使用这个系统，其他规则的镶嵌可以用4.4.4.4和3.3.3.3.3来记述。使用两个或更多的正则多边形对平面进行镶嵌也是可能的。在进一步限制所有顶点必须相同的情况下，只有八种可能性，这些被称为阿基米德或半规则镶嵌。许多教科书中都有关于规则和半规则瓷砖的说明。特别是由以下作者提供的内容丰富的文本 Grünbaum和Shephard[17]以及Critchlow[19]提供了特别丰富的文本。
主题、图案和对称性。
主题是图案的构件。规则重复图案的主要特征是在平面上以给定距离重复主题。图案被认为具有对称性。在这种情况下，术语“对称”的含义超出了其日常使用范围，涵盖了双边对称以外的几何行为。图案可以显示四种对称操作或对称中的一种或多种。它们是：平移，在保持方向不变的情况下，主题在垂直、水平或对角方向上进行有规律的重复；旋转，主题围绕想象的固定点进行重复；反射，主题在假想的线上重复，称为反射轴；滑移反射，通过平移和反射的组合，在一个动作中重复一个图案，并结合滑动反射轴。图案可以根据它们的对称特征进行分类。四种对称运算的组合产生17种可能性(或类别)。Stevens[31]、Hann和Thomson[32]、Hann[10]和沃什伯恩和克罗[15]对基本概念进行了解释。Schattschneider[24]提供了一个有用的文本，从中可以发展对瓷砖对称性的理解。有必要开发一系列练习，要求学生识别图案和图案的对称特征。沃什伯恩和克罗提供了帮助识别图案对称类别的流程图[15]。
非周期性密铺
上面提到的规则和半规则平铺在平面上沿两个不同的方向平移(或重复)，没有间隙或重叠。这些也可以称为周期性平铺或镶嵌。还有一类平铺不显示规则的平移或重复，但仍然覆盖平面，没有间隙或重叠。这些被称为非周期或非周期。在二十世纪后半叶，英国数学家罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)发明了一种非周期性密铺，这种密铺在其非重复结构的不同点上表现出五重旋转对称性。瓷砖由两个菱形(称为风筝和飞镖)组成，一个角度为36度和144度，另一个角度为72度和108度。在构造瓷砖时，必须遵循彭罗斯[33]规定的一系列规则。
多面体
多面体是由多边形面组成的实体。这些面在边相交，边在顶点相交(单个顶点)。有五个正多面体(称为“柏拉图立体”)，每个正多面体由一种特定类型的正多边形的组合组成。对于每个柏拉图实体，面在大小和形状上都是相同的，并且相同数量的面在每个顶点相交。柏拉图式的五个立体如下：四面体(四个面)、立方体或六面体(六个面)、八面体(八个面)、十二面体(十二个面)和二十面体(二十个面)。另外一组多面体(总共13个)可以从柏拉图固体中获得。这些实体被称为“阿基米德实体”，每个实体都是由两种或两种以上类型的正多边形面组合而成。它们被认为是“半正则”的，并且在每种情况下，顶点都是相同的。七个阿基米德立体可以通过切割顶点或边并产生“截断多面体”从柏拉图立体中获得。另外四个实体可以通过一个柏拉图实体和一个先前的阿基米德多面体“展开”而得到。剩下的两个实体是通过操纵立方体和十二面体获得的。克伦威尔提供了一个很好的说明性文本[34]。
分形和自相似性(或尺度对称)
分形是一种由相同部分组成的几何形状，每个部分都是（至少是近似的）整体的缩小/大小的拷贝。分形，来自拉丁文fractus，意思是断裂或破碎，指的是一种独特的几何形状。分形有两个明显的特性：它们倾向于表现出无限的细节，并且在不同的尺度上符合相同的形状，这一特性被称为自相似性。分形可以以数学模型为基础，但在现实生活中也很常见。自然界分形的例子有云、海岸线、闪电、各种蔬菜（如花椰菜和西兰花）和山。虽然分形几何的根源可以追溯到19世纪末，但正是Benoit Mandelbrot在20世纪60年代和70年代的工作普及了这些概念，并使分形几何为更多的人所接受[35]。Bovill[36]对分形几何在建筑和设计中的应用做了一个有趣的描述。
模块化(最小库存和最大多样性)
模块化包含了 "最小库存和最大多样性 "的概念。换句话说，从几个基本模块（如两个或三个拼块形状）中，有可能出现大量的不同结构（或解决方案）。这一概念与科学、艺术和设计有关，在整个自然界都可以发现。它为装饰艺术和设计的创新提供了潜力，在二维重复图案和建筑中也很常见。Pearce[28]和Jablan[37]提供了全面的论述。
总结
在自然界、科学、艺术、设计、工程和建筑中都可以发现结构、形式和性能之间的密切关系。几千年来，思想家们一直在探寻这种相互关系的秘密。柏拉图、亚里士多德和毕达哥拉斯接受了这一挑战，但他们可能依赖于从古埃及、美索不达米亚和印度的古代文化中传达的知识体系。结构、形式和性能在现代世界仍然是最重要的。对这些概念进行定性和数学定义的必要性在所有层面（纳米、微观和宏观）都是有意义的。对自然界在纳米水平上的建造的理解可以激励人类创造出宏大的宏观结构，如大地穹顶。最重要的是，我们应该认识到，某些几何概念和想法，虽然源自古代，但却超越了艺术、科学、数学和设计之间的界限。有了洞察力和远见，它们在二十一世纪仍然具有作为解决问题的设计工具的巨大潜力。在获得对上述各节所概述的概念的基本理解后，学生应该能够对自然发生的现象、人类制造的物体、图像、绘画、雕塑、图案、倾斜和其他形式的二维和三维设计进行结构分析。关于处理设计（尤其是产品设计）的结构方面的好的、简洁的论述，值得参考Eram[20]。本文的附录中提供了一系列的作业示例，这些作业反映了上述的一些主题。在可能的情况下，这些或类似的作业应该与传统的基于工作室的活动相结合。最重要的是，设计教师必须选择和调整教学大纲的材料，以满足他们自己学生的要求。
附录：作业示例
作业1：多边形、顶点和图案。(a) 使用一对圆规、一把尺子和一支铅笔，精确地画出一个六边形和一个五边形。(b) 解释为什么只有三种柏拉图密铺，并提供一个清晰的、精确绘制的图示，以及一个适当的符号。(c) 为八个阿基米德（或半规则）密铺中的每一个提供精确绘制的图示。(d) 从任何公布的或观察到的资料中选择20个图案。列出每个图案的对称性特征。
作业2：对称性和比例。选择一张你认为非常有吸引力的人脸正面照片。你需要对这张照片进行几何分析，目的是确定双侧对称的程度以及是否存在符合斐波那契数列和相关黄金分割的比例/比率。你可能希望进行以下测量：头顶到下巴尖；嘴巴中心到下巴尖；嘴巴中心到鼻尖；鼻尖到鼻梁；鼻梁到耳朵；鼻梁到瞳孔；瞳孔到瞳孔；鼻孔外侧的宽度；瞳孔到睫毛；睫毛到眉毛；眉毛到眉毛；任何其他你认为合适的测量。然后，你可能希望确定这些措施之间是否有任何明显的关系。你可能还希望在图像中央画一条中间线，并在这条线的左右两侧测量特征。一旦测量和计算完成 一旦完成测量和计算，你需要以表格的形式展示你的数据，并简要讨论你的发现的意义。
作业3：图案的对称性。参照图A1中所示的Cn和Dn类主题的示意图，对图A2中所示的主题进行分类。
图A1 Cn和Dn主题的示意图。
图A2 Cn和Dn主题的示意图
作业4：模块化和图案构造。你需要制作一组重复的设计，每个设计都是由从一个规则的多边形上切割或绘制的瓷砖元素创造的（六个设计来自正方形的元素，六个设计来自等边三角形的元素，六个设计来自六边形的元素）。首先，按照你选择的尺寸画一个正方形。将其切成两个或多个不相等的部分。这样你就产生了两个或多个不同尺寸的瓷砖。用你选择的颜色给每块瓷砖上色。制作多个副本（通过扫描或复印每块彩色瓷砖）。用这两块或更多不同形状的拼块（按你希望的任何数字比例）来创建一个由六个 周期性的瓷砖，这些瓷砖无间隙或重叠地覆盖在平面上。每个设计必须至少有四次重复。每个设计都必须是原创的、精确的、明显不同的，而且不能仅仅依靠比例的变化作为区分的手段。请自由使用你选择的计算软件。选择。用一个正六边形和一个等边三角形重复这个过程。图A3显示了由一个等边三角形和一个正方形创造的12个模块设计的例子。
图A3 由等边三角形和正方形切割的单元组成的模块化设计
作业5：为多面体着色。为五个柏拉图实体中的每个实体系统地着色所需的最少颜色数是多少？你的答案必须符合这样的规则：有共同边缘的两个面不允许有相同的颜色。请提供标示清晰、画法准确的插图。
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