接着就是对五次方程通解的突破。三次、四次都是同时解决，唯独到了五次方程，韦达之后160余年也没有人突破。期间包括了著名的欧拉、高斯、拉格朗日、柯西这些数学史上的神人，都没有得到最终的答案。
这个答案后来被来自挪威的一名年轻数学家阿贝尔解决了。阿贝尔是个苦命人——自小就失去父亲，母亲终日酗酒，家贫，但他的数学天赋却得到了学校教师们的一致认可，因此，当时的挪威政府资助他到法国和德国求学。
他利用反证法，证明五次方程没有代数解——也就是说，你可以对任何一个五次方程求得数值的解，但五次方程没有一个形式通解，即它的解都是一对一的，不能用五次方程的系数去表达。
阿贝尔在1825年把这个证明过程交给了高斯，高斯当时对此没有兴趣，没有理会。但另一个德国数学家克雷尔却非常重视，自费资助这个年轻人出版了整个证明。这是阿贝尔第一次公开发表自己的研究成果，也是最后一次。
1829年，阿贝尔在挪威患肺结核去世，年仅27岁。他去世后没多久，克雷尔就发来了柏林大学决定聘请阿贝尔为数学教授的邀请信。
19世纪初，两百年前卡尔达诺提出的复数概念被进一步拓展和深化，成为除解决高次方程通解问题之后的核心问题。
人们开始意识到，复数的奇妙在于，把数这个极其抽象的东西变成了一个二维空间里的具象——我们的高数课本里是以实数为横轴，虚数i为纵轴，构成了一个平面空间，0+0i是原点，所有的实数都不过是虚数的一种特例，即a+bi当b=0时的特例。
所以，代数就成了一个数学空间，一旦明确为数值，则这个代数空间就会“坍缩”成一个数值点！
虚数到底有啥用？后来量子力学中的波函数，虚数就代表光的位相，光的波粒二象性——既是波又是粒子，取决于你怎么观察——就是通过虚数来表示的。
这真的就是人类的虚构。然而，这个虚构打开了关于空间和维度的想象力之窗：任何数，任何方程，都可以表示为空间中的线段，而且是带有指向的线段——向量。
数和方程的计算，也都可以转变为空间中向量的叠加运算——比如，两个方向相反的向量，可以通过一定运算，比如给其中一个向量乘以负数，把方向变过来，就可以与另一个向量重叠——我们就可以说，这两个向量是“线性相关”（linearly dependent）；如果两个向量指向不同的方向，不论怎样运算也无法重叠为一个方向，那么就是“非线性相关”（non）——我们很容易想象，说明这两个向量可以构成一个平面，这叫共面。
如果这个平面二维空间上有第三个向量，那么就意味着三个向量共面，这第三个向量，就可以由前两个向量运算得出——就是说共面的三个向量是线性相关的。而如果这三个向量不共面，两两构成垂直的平面，那么我们就进入到了三维空间，这三个向量就构成三维空间的“基”——在这个三维空间中的任意向量，都可以用这三个基本向量运算得出，也就是说，三维空间中的四个向量是线性相关的。
向量空间的可怕在于，它还可以继续下去，超出我们具象的四维、五维继续下去，只要是一个方程如ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0，如果只有当系数a，b，c，d，e，f都等于0时，上述方程才成立，那么向量x^5，x^4，x^3，x^2，x，f就构成了一个六维向量空间，这个空间中任何其他向量都可以用这6个向量来表达，则空间的维度是6。
接着我们还可以想象，那么这些不同维度的空间是否能发生关系？当然可以。
二维平面的方程，可以通过运算转变为三维空间，这叫“线性变换”，也就是二维向量在三维空间中的映射（project）。同样，三维空间向量也可以通过映射关系变换为二维平面，这就叫“投影”（mapping），所以，高维映射到低维叫“投影”，低维映射到高维叫“嵌入”（embed）。
这能干啥呢？后来的力学空间、张量、量子力学领域就需要大量运用这类数学工具！
接着就来的新的突破。
苏格兰的威廉·汉密尔顿爵士出场了。依然是个神童，十岁就通晓欧洲各国语言，1827年他还刚大学毕业，就被都柏林三一学院聘为天文学教授！他自小钟情文学，与威廉·沃兹华斯是密友，后者劝他还是致力于科学，成就会更大。
因为汉密尔顿先是用诗，后来用数学证明了圆锥折射定理——只要入射角合适，光线经过折射会变成一个中空的光锥。——物理现象被数学推导预测出来，这是十九世纪初期的第一批次。
汉密尔顿对虚数极其感兴趣，这就是个天生感兴趣于高度抽象世界的人。他发现从一维的实数a，拓展到二维的虚数a+bi，可谓打开一片新的天地，那么为什么不能拓展到三维？
人们都已经知道，数字可以对复数进行乘除，如复数（a+bi）与（c+di）可以按照代数法则和复数法则进行乘除。——这就是所谓三数组。这种玩意到底是什么意思？
汉密尔顿天才地发现，代数运算乘以虚数i，意味着几何运算上的“逆时针转动90°”，所以，某个数乘以复数（a+bi）意味着一次转动和一次放大，先乘a放大，再乘bi转动。
这只是在二维平面上的操作，汉密尔顿想到，三数组可以描述二维平面，那么是否可以进一步描述三维空间？这一苦思就是十年。
因为他遇到了极大的困难，三元数组几乎无法找出一个合适的代数形式来表达。
十年后，1842年10月16日，周一，汉密尔顿路过布鲁姆桥的时候，灵感终于出现了——三数组不够的话，就再加一个数进去，变成四数组。
他把四数组的计算规则定义为：i^2=j^2=k^2=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j。
看到没有，其实就可以理解为顺时针或逆时针的转动关系。
这套规则拿出来之后，他的同事们反复测算验证，发现一切都没毛病，但就是无法理解到底是什么意思。而且，汉密尔顿自己也很惊诧——如果这样也可以的话，我真不知道我们创造数字的自由度能有多大。
如果四数组描述三维空间，那么第四个数到底是干嘛用的？汉密尔顿自己认为，第四个数当然是描述第四维时间的。——由此他又无意中成为第一个把空间与时间合二为一的科学家——个人认为跟他的诗人想象力有关。
汉密尔顿还没有停止，他构造出了八数组，十九世纪末期又有了十六数组。他发现，从二维到四维，乘法交换律失效了，从四维到八维，乘法结合律也失效了，从八维到十六维，除法也失效了。
关键问题是，这一切都意味着什么呢？
其后四元数遇到了后起之秀海威塞的挑战，他发明了矢量概念，即用三数组来描述空间的点，矢量乘法就是我们在高数中学过的点积和叉积。矢量比较好地适用于工程学，应用较广。所以逐渐替代了四元数组。
直到二十世纪初，人们才逐渐理解，其实两者有很大的差别，简单来说，矢量方法就是转动一个操作平台，就像我们把手表放在转表盒里转来转去看手表一样；而四元数则是代表的空间位置和转动本身。这个概念，一直到近一百年后，人们研究到质子、中子和电子的自旋运动时，才得以理解四元数的强悍。
1843年10月16日汉密尔顿爵士在经过都柏林皇家运河上的布鲁姆桥时，灵感突发想到了第四个数，因为他当时怕自己走过桥之后就忘记了，直接拿出刀子就刻在桥西头上。当然，后来这个涂鸦没有了，不过后世为了纪念这一天，再次把这个四元数计算法则铭刻在了那座桥上，造就了历史上最著名的数学涂鸦。
其实，几乎就是在同一时间，尼古拉·罗巴切夫斯基也想到了非欧几何——即基于弯曲空间的另一套几何法则——谁说了法则是不能更改的？
汉密尔顿在四元数组中提到了标量a，和其余三项向量，把向量理解为旋转——仅仅十二年之后，法拉第就发现了电场和磁场，但法拉第不太懂数学，无法描述，直到再十余年后的麦克斯韦，才把向量与电磁场结合了起来。
插上了一段——三元数组也好，四元数组也好，从形式上提出了一个数据矩阵的问题。而矩阵式的问题，最早来源于两千年年前中国西汉时期的著名数学著作——九章算术。
在这部著作中，第一次提出了三元一次方程组的解答方法——也就是我们熟知的消元法。把消元法抽象为纯粹的形式，其实就是行列式。只不过九章算术没有提出代数，得到的都是具体的数值解。
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