学习就是痛并快乐的一件事

麦克斯韦方程组的安培麦克斯韦方程，看到这里，没有了思维。这个方程能解决哪些问题？数学上有哪些变形？物理内涵又是什么？统统没有了思路。

继续看下去的动力就是想像自己掌握的比较清楚的知识一样，把这个方程的内在美挖掘出来，从内心深处能有所体会。难度很大，幂函数、三角函数那些现在学生所认为的高难度“微积分”明显不足以对付这个方程，感觉难的原因很可能是没有见识过更难的。苦难和幸福都是比较级。

对这个方程现在所理解到的水平：左边是有关磁感应强度的环路定理。这个环路定理的运算结果和右边的有关联，右边第一项是电流，就是我们通常所认识到的导线之中的电流；右边第二项是电场强度对曲面的通量对时间的求导，曲面非闭合曲面。麦克斯韦的重大贡献在右边方程的第二项，和第一项对比就可知道，这也表示某种电流，但和第一种电流的外形是有所区别的，起码这个“电流”是无法通过“肉眼”来看见的。左边环路里围着两部分电流，一部分是导线电流，姑且这样称呼；一部分是“无线”电流。这个无线电流的起因是电场的变化，电场强度的通量对应的曲面边界就是左边的闭合环路边界。两部分电流应该具有内在的统一性，现在无法体会到这种统一性。

为了一探究竟，继续往后阅读，读出了数学上的坎。

拉普拉斯算符

数学的妙用就是转化，能达到“降维”的功效。通过一些定理和定律，把不熟悉的运算转化成熟悉的运算，有点换元的味道，通过换元，逐阶降低难度，把一个表达式打包成一个未知量，搞定这个整体后，再逐阶搞定一个个未知量。

散度定理的左边是矢量对闭合曲面的通量，矢量点积，结果是标量；右边是对矢量的散度，是矢量对体积这个三维量的点积，体积的整个表面对应的就是左边的闭合全面，散度是三维运算，真正的积分是三重积分，左边的通量是对面积的积分，是二重积分。三维到二维，计算的难度就下了一个台阶。当然 ，也有可能存在二维运算复杂，三维简单的时候，通过这么一种运算的转化，为解决具体问题提供了一种思路。

斯托克斯定理的理解：左边的闭合环路积分是一维运算。右边是矢量求解旋度（还是矢量）后对某个曲面的通量。曲面的边缘就是左边的闭合环路。右边的矢量求旋度后对面积的通量。面积的边缘就是左边的闭合环路。

拉普拉斯算符看着就比较恐惧，一个倒三角的运算就很麻烦了，来了一个倒三角的平方，表示两个算符的点乘，运算的对象是标量场梯度的散度，标量场的梯度是矢量，矢量求散度，结果是标量。

这些数学知识有什么用呢？对上边的安培.麦克斯韦方程进行变化，包括前面的三个方程，通过数学变形，可重新理解方程的内涵，有点什么味道呢？想要理解某个事物，角度单一就不够全面，通过全方位，多角度无死角的理解后，才能达到相对全面认识的地步。

通过这几天重新学习麦克斯韦方程组，有这样的感觉，学习自己未知的或一知半解的知识确实比较困难，要没有一定的“企图”，可能就没有学下去的动力了。但不存在学不懂的问题，只要多看、多思，那些不懂的知识点总会在你的软磨硬泡之下彻底投降，只要真正想学，学得比较困难是事实，但过程实际是痛并快乐着，人需要适度虐待一下自己，痛后方能乐，犹如吃辣椒，据说辣不是味觉，是一种痛觉，但就是这种痛觉使好多怕不辣者痴迷，达到无辣不欢的地步。

因此，多看、多思是唯一真正有效的学习方法，因为只是学习知识，具体到成名成家的学者，把自己的名字写入教科书的学者，那属于知识的创造者，思的成分就更大了！

不得已网课了，诸多不便，许多不便之中，唯一感到欣慰的是：今天的三餐是一家人在一块吃得，已经记不起上一次三餐一起吃是多少天以前的事了。

麦克斯韦方程，继续死磕！