导数、积分的直观意义

导数、积分是数学语言，倾斜程度、面积更像偏应用的实用语言。学习导数、积分时，感觉难的主要原因是无法和实际意义挂钩，本来就难，再让踩到棉花上，懵圈似乎是一种必然。

为何要学习导数呢？

从二次函数割线的斜率到某点切线的斜率，类似于区间测速与定点测速。

过二次函数某点切线的斜率，即使不用求导的方法，也是可以求出来的，就是一个解方程组的问题，二次函数和一次函数只有一个交点的代数问题。求不同点的斜率解不同的方程组就可以了，但行动上的懒人可不是这么想地，换个位置就要重新解一次方程组，这是对智商的一种莫大的羞辱。

如何重塑简单求解斜率的尊严呢？

代数上的计算和几何上的图形相结合（数形结合）的思路，区间距离越取越短，短到无法再短，区间测速就质变为定点测速。割线斜率就变为了切线的斜率。新的符号也就来了，符号的变化也就表示意义的变化。dy、dx是无限小量的意思，比值就要用到极限思维了，一旦求出导函数之后，求解过定点的切线斜率就变成了游戏。

割线斜率

切线斜率

斜率在几何图像上的意义：反映曲线上各点的陡峭程度。

求解出有关斜率的函数表达式（导函数）后，还有另一个收获，比如对于高次的幂函数，直接绘制难度较大，但可以由求出函数的导函数来大致绘制图像。导函数相比原函数是一种降幂函数，

积分：结合图像可知，是一种将矩形的宽极限为0后的一种连续求和的操作，正好对应为图像与x轴所围图形的面积。

对于线性图像来说，这种积分操作与直接求解面积的难易程度相差不多，但对于非线性图像来说，通过积分来求解面积。类似于一种升“维”破解。

从数学化的眼光看来，相当于现在的函数是导函数，我们进行的操作是找出导函数的原函数。找出原函数后，两值之差就是所求面积。

图像每一点的陡峭程度、图像与x轴所围的面积，这些形象化的视觉效果，通过对函数进行求导、积分的操作后，就变成了一种考验智商的数学游戏。