快乐课堂学数学-多余老师趣讲“一元一次方程”-华东师范大学出版社七年级下册
一、 本单元概述
我们小学时，就已经学习过了“方程”，并且会“解方程”。
小学学习的方程，就是“一元一次方程”，只是那时没有“元”和“次”的概念而已，现在到了初中，给起了个专用名字。
其实，我们从小学一年级就接触方程了，并会解最简单的方程。只不过那时，没有出现“字母符号”，而是用“符号（ ）”来代表“未知数”，并且直接“填上值”。
如：2+（ ）=5，（ ）里填“3”。
所以，对于最简单的“一元一次方程”，我们就可以根据记忆或根据“逆运算”直接得出解。
后来，正式接触方程后，知道了“等式的性质”，就可以解稍复杂点的一元一次方程。
那么，对于任意形式的一元一次方程，用什么方法，使解方程变得“简洁、快速、准确”呢？
二、“方程”概念再学习
“一元一次方程”这个概念，命名的规则是什么？代表着什么意义？
“元”，就是“未知数”，“一元”就是“只有一个未知数”。
代表未知数的符号，可以是任意选择的，为了统一，一般按“x、y、z”的顺序选用，即在一元一次方程中，用“x”来代表“未知数”。
“次”，是“整式”才使用的概念，是含有未知数项的最高次数，“一次”就是“含有未知数项的最高次为一次”。
“一元一次”，表示“代数形式”是“整式”，且“未知数只有一个”、“未知数的次数为1”。
“方程”，是“含有未知数的等式”。“方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。在这本著作中，已经会列一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。
“等式”，是“含有等号的式子”。其形式是：把相等的两个代数式用等号连接起来。
综上，我们可得出“一元一次方程”的完整描述：
1、由等号连接两个整式。
2、两个整式中所有项，都只含有一个共同的未知数。
3、该未知数的最高次数为“1”。
即，“一元一次方程”概念的四要素是：等号、整式、一元、一次。
一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经“代数变形”都能变成的形式）是：
ax+b=0(a，b为常数，且a≠0），这里a是未知数的系数，b是常数。
等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍相等。 若a=b，那么a+c=b+c
等式两边同时乘或除以同一个不为0的代数式，所得结果仍相等。
若a=b，那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （c≠0）
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等。 若a=b，那么有a^c=b^c或(c次根号a)=(c次根号b)
等式具有传递性。 若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an
由等式的基本性质，可拓展一些常用“等式变形”
拓展1：
等式两边同时被一个代数式减，结果仍相等。 如果a=b，那么c-a=c-b（由性质1拓展）
拓展2：
等式两边取相反数，结果仍相等。 如果a=b，那么-a=-b（同拓展1，由性质1拓展）
拓展3：
等式两边不等于0时，被同一个数或式子除，结果仍相等。
如果a=b≠0，那么c/a=c/b（由性质2拓展）
拓展4：
等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等。
如果a=b≠0，那么1/a=1/b（同拓展3，由性质2拓展）
等式的性质，是等式变形的基础，在进行等式变形时，要注意乘除变形时“0”的特殊性，当字母变形到分母时，要首先确认“该字母所代表的值是否可能为0”，如果“不能确定一定不为0”，则该字母不能变形到分母。
“解方程”，就是把任意形式的方程进行“等式变形”，最终变形为“x=a”。
最终变形结果“x=a”，即为“方程的解”，a可称为“方程的根”。
“x=a”，为“赋值语句”，即给“未知数x”赋值为“a”。
用“a”替换方程中的“未知数x”，方程等号两边的值，一定要相等。
如替换后，两边的值相等，则该赋值成立；
如替换后，两边的值不相等，则该赋值不成立。
这就是“方程的检验”或称为“验根”。
在这要提醒所有的同学们，“解方程”是数学中，唯一可由学生“自行批改”的题目。
所以，解方程“绝对不允许出错”。
三、解决复杂形式的一元一次方程
解方程，就是“代数变形”。“方程的代数变形”分为两类：
1、利用“计算法则”，可进行“代数式变形”，此种变形可以“只变一边”也可以“两边分别变”。
解一元一次方程，常用“代数式变形”有：整式运算、通分等。
2、利用“等式性质”，可进行“等式变形”，此种变形必须是“两边同时变”。
解一元一次方程，常用“等式变形”有：移项、去分母等。
解方程的通常步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为一。
⒈去分母：
由于分数运算的特殊性，分数乘除计算很方便，分数加减计算中，同分母加减也很方便，就是异分母加减非常讨厌。
而解方程时，存在合并同类项，所以，当方程中出现“异分母”时，一般要“去分母”。
教材和各种辅导书，在讲去分母的方法时，都是根据“等式的性质2”，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）。
这种方法在实际使用时，很多学生会漏乘“不含分母的项”。所以，多余老师对于“去分母”环节，提出如下建议：
A利用“通分”，进行“代数式变形”，两边分别通分。“通分”后，等式成为“A/B=C/D”的比例形式。
B此时，分母之间可直接进行“约分”，即“A/B=C/D”可等式变形为“A/C=B/D”。
C利用“比例的内项之积=外项之积”，将等式“去分母”成为“A?D=B?C”的乘积形式。
这种方法，由于充分利用了小学经过“充足训练”的通分、约分和比例转换，正确率非常高。
并且，“比例的内项之积=外项之积”，其依据就是“等式的性质2”。
特别提醒：
解方程时，不要一见分母就想去分母，要看实际情况，只有“同类项出现异分母”才是需要去分母的。
⒉去括号：
“去括号”，属于“代数式变形”，其依据是“整式计算法则的乘法分配律”。
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，记住：如括号外有减号或除号的话一定要变号。
⒊移项：
A依据：等式的性质1（也可以说是：根据加减互为逆运算进行等式变形）。
B含有未知数的项变号后都移到方程一边，把不含未知数的项移到边。
C把方程一边某项移到另一边时，一定要变号{例如：移项时将+改为-，×改为÷}。
⒋合并同类项：
A把方程化成ax=b(a≠0）的形式；
B依据：利用“整式计算法则的乘法分配律（逆用乘法分配律）”进行“代数式变形”。
⒌系数化为1：
A在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.
B依据：等式的性质2（也可以说是：根据乘除互为逆运算进行等式变形）。
例：（3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5
一般教材方法：
1、去分母，（方程两边同乘各分母的最小公倍数10）得：5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)
2、去括号得：15x+5-20=3x-2-4x-6
3、移项得：15x-3x+4x=-2-6-5+20
4、合并同类项得：16x=7
5、系数化为1得：x=7/16。
多余老师方法：
1、去分母：
A由于“同类项有异分母”，先“通分”得：（3x+1-4）/2=[3x-2-2（2x+3]/10
B分母间“约分”得：3X-3=（3X-2-4X-6）/5
C“比转换为乘积”得：5（3X-3）=-X-8
2、去括号得：15X-15=-X-8
3、“加减逆运算”得：15X+X=15-8
4、合并得：16X=7
5、“乘除逆运算”得：X=7/16
哪种方法更适合你，自行选择。
“快速、简便、准确”的方法，就是好方法。
数学中，除了“基本性质”和“运算法则”外，都可根据实际情况“灵活选用”已学过的各种“变形方法”，以求达到“快速、简便、准确”。
小学计算中，有专门的“简便计算”要求，到中学后，一般不会再专门提这项要求，但“简便运算”这项要求，不是消失了，而是做为中学生，“简便运算”应该成为你遇到计算类问题的“条件反射”。
四、列方程解应用题
在小学已学习较浅的一元一次方程应用题，到了初中开始利用一元一次方程解较难的应用题。
一元一次方程应用题牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、植树问题、比赛比分问题、行程问题、行船问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.（即“代数方法”）
在小学算术中，我们学习了用“算术方法”解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？
为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．
例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．
算术方法：（4+2）÷（3-1)=3． 答：某数为3．
代数方法：设某数为x，则有3x-2=x+4． 解之，得x=3． 答：某数为3．
纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．
即：“代数方法”降低“思维难度”。
所以，没有“思维难度”时，不一定非用“代数方法”，“算术方法”就很好。
做一元一次方程应用题的主要步骤：
⒈认真审题（审题）
⒉分析已知和未知量
⒊找一个合适的等量关系
⒋设一个恰当的未知数
⒌列出合理的方程 （列式）
⒍解出方程（解题）
⒎检验
⒏写出答案（作答）
第1至第3环节，是解决方程应用题的核心内容，但这些内容除了并不在解答中体现。
把这3个环节做好，第4和第5两个环节，就自然解决了。
余下的第6至第8环节就只是“解方程”和“最后总结陈词环节”。
如何做好，第1至第3，这3个环节呢？
这就要用到，小学数学老师经常要求的“画线段图”和“列数量关系”。
“列数量关系”可称为“列表法”：
1、审题，根据应用题的不同类型，“列出文字数量关系”，这相当于“表头”
2、将已知和未知量，相应“填在”对应的“数量项”。（表并不需要实际画出，但由于对应分析，相当于有一个“数量关系表”。
做为中学生，要养成把“文字”，快速转化为“数学语言”的习惯。
审题、分析时，能画图的先画图，因为图形最直观；不适合画图的，再“列表”；复杂一些的题目，需要二者结合使用。
总之，要把题目变得尽可能“直观、简洁”，并开始锻炼一项非常重要的“数学能力”——将要解决的每一道具体题目，都能总结成一种类型；从而做到——每解决一道新题目，就解决了一个新类型。
五、多余的话
做题要“守规矩”，但“规矩”只限于“性质和法则”，所谓“方法或步骤”并不是“规矩”。
数学，越学越活，你就把数学学通了、学精了。
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