快乐课堂学数学-多余老师趣讲“因数和倍数”

本讲义非常特别，虽然是专为小五学生写的，但各位家长和同学都值得一看，主要是第四部分《放飞想像、学科综合》，可以对“数学”有更全面的了解，知道什么是真正的数学，什么是真正的奥数。

一、回顾已学、温故知新

在小学低年级，已经知道：

在乘法计算中，相乘的两个数叫因数，两因数相乘的结果，叫做积。

这里的“因数”和“积”是“绝对词”。可以直接说：

因数是3和5 ，求积；

积是15，一个因数是3，求另一个因数。

在3X5=15这个算式中，3和5是因数，15是积。

而“相对词”，就不可以直接说：

3 大。不对，只能说3比2大。“大”和“小”是相对词。

男生多。不对，只能说男生比女生多。“多”和“少”是相对词。

现在，要学“因数和倍数”，这里的因数和之前学生因数一样吗？

二、学习新知、善抓重点

现在，我们要：

1、知道因数和倍数的意义。

2、知道2、3、5的倍数的特征。

3、知道奇数和偶数的意义。

这里的因数和原来因数的来源一样：乘法。

只不过，现在，加了一个限制：整数乘法。

在整数乘法中，相乘的两个整数，叫积的因数；积是因数的倍数，是两个因数的公倍数。

由此可知：

1、因数和倍数，只在整数范围内使用，超出范围则无效。

2、因数和倍数，是“相对词”。必须说明是“谁的”因数，“谁的”倍数。

如：

3X5=15中，3和5是“15的”因数，15是“3的”倍数，也是“5的”倍数，是“3和5”的共同的倍数（即“公倍数”）。

3、因数和积中，因数是绝对词，且没有限制，只要是相乘的数，就叫因数。

由于“任意整数X0=0”，所以，0是任意整数的倍数；0只能是0的因数。

0，这家伙太特别了，与众不同，于是在小学规定，“倍数，一般不包括0。”

这就是特立独行的代价。

不过，事实就是事实，真理就是真理，根据倍数的定义，“0是任意整数的倍数”是正确的。

可为什么规定“倍数，一般不包括0。”就因他与众不同吗？

不是的，数学是非常理性的，不会因为0的特殊性，就对他另眼相看，只是“一个数的0倍，没有什么实际意义。”

即，因“无用”而不包括。

而在纯数学领域，“0是任意整数的倍数”永远成立。这就是规定中为什么要加是“一般”。

即：

在倍数的实际应用中，不包括0。

同样，由“1X任意整数=任意整数”可知：

1是任意整数的因数。

任意整数都是自己的因数。

任意整数都是1的倍数。

而且，根据“积不变”的原理，可知：

1、除0外，任意整数的最小因数是1。

2、任意整数的最大因数是自己。

3、1只有一个因数，最大因数和最小因数都是自己。

这就是：

0和1，真特别。

0加0减，不用动。

1乘1除，还不动。

0来乘，全归0。

0还有，不把除数当。

所以，

只要涉及乘法、除法，就一定要考虑0和1的特殊性。

根据因数和倍数的定义，我们就知道：

1、如何找倍数。

一个整数，分别乘任意的整数，积都是该整数的倍数。（一般，不包括0）

2、如何找因数。

一个整数为积，分解成两整数相乘，则相乘的两整数是该整数的两个因数。（1，只有自己）

三、按照方法、独立学习

经过因数和倍数意义的研究，再继续学习2、3、5倍数的特征。

用“2X任意整数=2的倍数”，找出2的倍数后，总结出：

2的倍数，个位都是0、2、4、6、8。

于是，我们知道：

一个整数，个位是0、2、4、6、8的，就是2的倍数。（即低年级说的双数）

由于整数要么是2的倍数，要么不是2的倍数，且“是”和“不是”一个挨一个交替出现。

所以，规定：

整数中，2 的倍数，叫偶数（即双数）；不是2的倍数，叫奇数（即单数）。

这样，

就把所有整数，分为了“偶数”和“奇数”两种。

我们应当知道：

1、偶数和奇数，是按是否是2的倍数划分的。

2、偶数和奇数，是在整数范围内使用的。

3、偶数和奇数，是整数的划分方法中的一种。

4、偶数与“2的倍数”等同，2是所有偶数的因数，所有偶数都是2的倍数。

5、奇数与“不是2的倍数”等同，所有奇数都不是2的倍数，2不是所有奇数的因数。

6、整数有无限多，偶数和奇数也就有无限多个。

7、将整数按从小到大的顺序排列，偶数的邻居只能是奇数，奇数的邻居只能是偶数。

用“3X任意整数=3的倍数”，找出3的倍数后，总结出：

一个整数，各个数位上的数学相加的和，是3的倍数，那么该整数是3的倍数。

用“5X任意整数=5的倍数”，找出5的倍数后，总结出：

一个整数，如果个位上是0、5，那么该数是5的倍数。

同学们，你有没有想过：

为什么2和5的倍数，只用看个位？

为什么3的倍数要看所有数位上的数字之和？

4、6、7、8、9、10的倍数会有什么特征？

相信很多同学会很快说出：10的倍数，特征是个位是0。

即10的倍数，同时是2和5的公倍数。

即10=2X5

同样，由6=2X3可知：

6的倍数，是2和3的公倍数，即同时满足2 的倍数特征和3的倍数特征。

四、放飞想像、学科综合

如果，你是一个真正热爱学习的学生；

如果，你是一个真正喜爱数学的学生；

如果，你是一个对未知领域充满好好奇的学生；

如果，你把电脑上网、手机上网，不是当作娱乐产品，而是当作学习的工具******

你会找到以下资料：

1、是否是4 的倍数，看后两位，后两位是4的倍数，则该整数是4的倍数。

2、是否是7的倍数，用去掉个位后的数-个位的2倍，所得的差如果是7的倍数，那么该整数是7的倍数。

3、是否是8的倍数，看后三位，后三位是8的倍数，则该整数是8的倍数。

4、是否是9的倍数，看各个数位上数字之和，如果和是9的倍数，则该整数是9的倍数。

还有更多****

你找到了这么多，是不是有非常喜悦的感觉？

这就是学习的快乐，

这就是数学的快乐，

这就是探索未知领域的快乐。

不过，你想过没有，这些倍数特征是怎么得来的呢？

如果，你想到了这个问题，那么，你已经具备较好的“理性”，即“数学意识”。

不过，想到了这个问题，要找到这个答案可不容易。

且听多余老师多余的话，我们一起来研究研究，动动脑筋，来探究这未知的世界。

我们已经知道：

2和5的倍数特征，都是只看个位。并且2X5=10。10的倍数也是看个位。

想一想：

4的倍数，要看后两位。100的倍数呢？还有谁的倍数，可以只看后两位？

对了，100的倍数，后两位都得是0。

100=4*25，所以25的倍数，可以只看后两位。

并且，

100=10X10，4=2X2，25=5*5。

由此延伸，可知：

1000=8*125，8、125、1000的倍数，可以只看后三位。

10000=16*625，16、625、10000的倍数，可以只看后四位。

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通过这些，发现什么规律没有？为什么会有这种规律？

这一切的根源，就是“10进制”。

除个位外，所有数位都是10的倍数，也自然是2和5的倍数。

而3、7、9的倍数特征，同样来源于“10进制”。

掌握好“10 进制”，就能“以不变应万变”。

前面已经说过，“除个位外，所有数位都是10的倍数。”

而10除以3余1，100除以3余1，1000除以3余1，****都是余1

10除以9余1，100除以9余1，1000除以9余1，****也都是余1

所以，3 和9的倍数特征，要看各个数位上数字的和。

同学会说，说到这，3 和9的倍数特征，要看各个数位上数字之和，还是不明白为什么？

不要什么都等多余老师给你说那么明白，动动脑筋，你一定会想出来的。

提示：

各个数位上数字之和，一定与余数有关。

如果你经过长时间思索和演草，还是没有找到答案，而且，还特别想知道这个答案，请与多余老师联系。

下面再说说7的倍数特征。

一个整数去掉个位数字后的数，减去个位数字的2倍，所得差是7的倍数，由该整数是7的倍数。这还是来源于“10 进制”。

由于“除了个位外，所有数位都是10的倍数”，

那么，整数可以写成10A+B的形式，B是个位数字，A是去掉个位后的数字。

如果一个整数，是7的倍数，那么就应该能写成7A+7B的形式。

10A要变成7A，得减去3A；B要变成7B，得加上6B。

6是3的2倍。

所以，要“用去掉个位数字后的数，减去个位数字的2倍”。

即10A+B，看是否能变成7A+7B，如果能变成，则该整数是7的倍数。

如果，你还不明白，请看讲3和9的倍数特征时，后面的话。

同学们，这样的数学探究才是真正的奥数。

不要把各种奇怪的题型当作奥数题。

题目是永远会出新的。

但只有掌握真正的数学道理，就能“以不变应万变”。

不管什么题目，都是从最基本的数学原理出发，从基本的数学思维入手，用最基本的方法和计算进行解决。

这样，才是真正的数学，才是真正的奥数，才是人类的理性。

奥数在哪里？

不在奥数书里，不在奥数班里，更不在奥数教练那里。

奥数，就在数学的课本中，

奥数，就在每天的学习中，

奥数，就在每天的理性的未知探究中。

只要你能把数学课本上的知识，多想一下，多动一下脑，多去探究一下，你就是奥数级了。

真正的数学，真正的奥数，就是把数学课本，读精、懂全、想透、思到底、挖到根！

在多余老师这里学奥数，一般不讲奥数题，奥数书都是学生自己看，自己做。不懂了问一问。

反而是数学课本，要大讲、精讲、讲全、讲透、看到底、看到根！

最后这两句，不是做广告，是告诉多余老师的奥数级学生，“你们离真正的奥数级，还差得很远，很远****。”

如果，没有跟多余老师学奥数的你，有幸看到了，还觉得很有用，知道了什么是真正的奥数。

多余老师“何乐而不为？”

最后，再强调一句：《语文，人类的良知；数学，人类的理性。》

此句，绝对原创，如有雷同，则英雄所见略同也。