本帖最后由 2017 于 2017-6-25 00:16 编辑 做一个学习经验交流贴，以后会持续更新
楼主大二专业是材料物理，因此固体物理必然就是必学的了，学习过程中当然是颇有趣味，然则又时而会遇到难懂的问题，我想这也是大多数人学习这门课程的痛楚吧。于是想到在虫部落写下自己的一些感想心得，一方面与大家分享，另一方面也可以方便自己以后查看回顾，以后还会写一些本专业其它的一些内容
，由于楼主也只是一个学习者的存在，肯定会存在许多误解，恳请大家指出，并且楼主也很欢迎留言改错哦，这样也可以给自己纠错嘛！
@：此外本帖还附了一份固体理论书籍，李正中大大写的哦，简直就是居家必备
今天就讨论一下固体物理关于能带理论里面的k以及晶格振动里面q(实际上k和q都是到空间意义也很相近啦)的取值以及范围和分布密度问题；
～首先我们来看能带理论里面的k的问题
在近自由电子近似里面，通过对自由电子进行微扰，我们得到了禁带宽度 = Vn，然后，出现禁带这样的能量突变的地方为n*PI/a，然后第一布里渊区的范围是-PI/a~PI/a(然后，还有第二、三、四。。。。布里渊区)，并且k空间的k的取值密度(也就是k的分布密度)为，一维L/(2*PI)，二维S/(2*PI)^2,三维V/(2*PI)^3,如果要考虑k空间的态的密度那就得在上面的基础上再乘以2了，因为一个k对应有两个态；
～然后我们来看看晶格振动里面的q
实际上呢q与k都是倒空间，但是两者还是有点区别的；在晶格振动里面q的取值范围以及取值的决定因素还是不同于能带理论的，能带理论的k的取值等是在近自由电子近似里面用周期场(微扰自由电子波函数)的处理过程中得到的，然后晶格振动是在处理原子链的振动问题时得到的，比如说一维单原子链的q的取值范围就是-PI/a ~ PI/a，然后取值情况是q = (2*PI*h)/(N*a)，q的分布密度为L/(2*PI)，一维双原子链的q的取值范围是-PI/(2*a) ~ PI/(2*a)，q的分布密度肯定也是L/(2*PI)了
一维单原子链的q的范围是这样推出来的
首先振动的解的形式为un = A*exp^i(wt-qna)，n对应的就是原子链上的原子的序数，然后对于两个相邻的原子的n相差1，那么相位因子就相差qa，然后我们知道这种相位因子变为2PI的整数倍对实际就没有影响，因此我们就将它限定在-PI ~ PI里面，于是-PI < qa="">< pi,然后="" -pi/a="">< q="">< pi/a,它的取值就是根据="" u(r)="A*exp^i(wt-qr),由周期性边界条件(波恩-冯卡曼边界条件)得到，r增加Na振动是不变的，于是有exp^iqNa" =="" 1,然后="" q="">
然后对于一维双原子链
有两个方程，试探解为u[2*n]= A*exp^i(wt-q*2na),u[2*n+1]=A*exp^i(wt-q*(2n+1))，考虑一个方程，一个原胞含有两个原子，两个原子间距为a，那么相邻原胞也就是n+1与n了，它们的同一个原子位相因子相差2qa，令 -PI < 2qa="">< pi,就得到="" -pi/2a="">< q="">< pi/2a,它的取值同样是根据="" u(r)="A*exp^i(wt-qr)" ，只不过r是增加2na振动是不变的，因为实际上是r增加n个原胞嘛，然后双原子链的就是距离2na，于是得到="" exp^iq2na="1 然后就得到" q="">
这个时候我们要注意无论是单原子链还是双原子链，它们的q的分布密度实际上都是L/2*PI，一维单原子链，我们可以看到-PI/a < q="">< pi/a，共2pi/a的q的范围，q取值为q="2*PI*h/Na，密度就是((2PI/a)/(2*PI/Na))/(2PI/a)" =="" n/(2pi/a)="Na/(2PI),而我们根据L/(2PI)，L取值为Na，得到的结果是一样的；对于一维双原子链，-PI/2a">< q="">< pi/2a，共pi/a,的q的范围，q取值为="" q="PI*h/Na，密度就是((PI/a)/(PI/Na))/(PI/a)" =="" n/(pi/a)="">
我们可以看到能带理论里面的k的取值(n*PI/a)是从微扰的过程得到的，并且它没有管是双原子还是单原子，因为反正都是对自由电子进行周期场的微扰，不同的原子是在势场有区别，但是微扰处理的过程它不会影响k的取值情况改变的，于是对于一维都是k=(n*PI/a)，我在想对于其它维，应该各个维度是独立的，也就是说二维就是kx=(n*PI/a)，ky=(n*PI/b)，三维就是kx=(n*PI/a)，ky=(n*PI/b)，kz=(n*PI/c)
但是对于晶格振动的q的取值以及取值范围，我们就要注意了，它的取值范围是根据原子链相邻原子的位相因子的差别如一维就是qa，然后二维是2qa，这个位相因子差我们把它限制在2PI范围以内也就是-PI~PI，那么就得到q的取值范围了，然后取值就是根据平面波公式u(r) = A*exp^i(wt-qr)，考虑r在经过N个原胞以后振动的不变(也就是波恩-冯卡曼周期性边界条件)，那么一维单原子链N个原胞后就是r变化Na，一维双原子链N个原胞后r就变化N2a，那么单原子链就是exp^iqNa = 1，双原子链就是exp^iq2Na = 1，于是单原子链q取值就是 q = 2*PI*h/Na ，双原子链q取值就是 q = PI*h/Na，它们的密度(q的取值数除以q的取值范围)也可以算出来，明显是不一样的，单原子链是 Na/2PI，双原子链是Na/PI，但是我们要注意到的是它们的q的分布密度大小不一样，但更普遍的计算方法从L/(2PI)这个角度来看是一样的哦，都可以用这个公式计算，计算出来的结果是一样的
另外还要注意晶格振动的q的范围比如说一维单原子链在-PI/a < q="">< pi/a，那么超出这个范围就没了，但是能带理论里面只是第一布里渊区为-pi/a="">< k="">< pi/a，然后k="n*PI/a，的地方出现能量突变，也就是说k" 的取值并不限于-pi/a="">< k=""><>
待续。。。
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