·调查报告· 原文载于《中国社会科学》1988年 第四期
50年代以来，在世界性的教学改革浪潮中，如何实现数学教学的现代化。以促进一国国民素质、科学教育水平和国际竞争能力的提高，是各国都在探索的重大研究课题。
正当这种探索由于找不到克服提高程度与减轻负担的巨大矛盾的有效办法而徘徊不前的时侯，我国教育改革家赵宋光救授首创的“综合构建法数学教学新体制”却冲破了这种困境脱颖而出。这一“新体制”不仅有深厚的理论基础、新颖的改革思路、独特的教学方法，而且有惊人的教学效果，并经过了小范围重复实验的初步检验。到目前为止，这一“新体制”还鲜为人知，也没有得到社会广泛的重视与积极的支持。本文作者对赵宋光教授的教改实验作了比较深入的考察，写出了这份调查报告。报告说明了调查的缘起和过程，介绍了“新体制”的内容特点与实施效果，并对它作了一定的理论分析。作者指出，“新体制”还有待于进一步完普，但它有强大的生命力。它对教育学、心理学、认识论、教育理论提出了一系列需要深入研究探讨的问题，是对这些学科的巨大挑战。
本文作者冯国文，1942年生，1968年中国人民大学哲学系毕业、现在广州市教委工作，撰有《改革者的哲学》等著作；饶惠椿，女，1949年生，1982年华南师大政治系毕业、现为广州星海音乐学院马列主义教研室讲师。
30年来，国际范围内的中小学数学教学现代化运动出现了大起伏：先是50、60年代的涨潮，到70年代就退了下来。然而，在落潮之时，我国却有一股改革与创新的浪涛逆流而上，这就是我国美学家、音乐教育家、教育心理学家赵宋光教授（现任广州 星海音乐学院院长)首创设计的“综合构建法数学教学新体制”（以下简称“新体制”）。当世界上的数学教学现代化运动大多遇挫而保守求稳的思潮重居主导地位时，这个“新体制”的实施却取得了令人瞩目的成效。它的教学程度之深、进度之快是令人难以置信的，然而面对学生们所做的一份份试卷和实际效果来看，又是无可置疑的。出于对教育改革的关心，我们在1987年6月到7月，对实验这个“新体制”的北京育民小学、光明小学、鲍家街幼儿园以及有关的北师大实验中学、北京八中作了一个多月的调查，还访问了赵教授本人。调查的项目有，(1)“新体制”的教育、教学思想；(2)“新体制”的教学手段、教材系统以及教学效果，(3)教师、学生、家长以及社会其他人士的反映。
调查的方式和过程是：(1)听课66节，看讲课录像15节；(2)开调查会（教师会、学生会、家长会)8次；(3)个别访问（教授、专家、干部、教师、学生、家长）85人次；(4)给第一个实验班学生发调查信，收回20封；(5)对光明小学162名一年级学生和鲍家街幼儿园74名中班幼儿用试题测验4次；(6)收集有关资料(“新体制”概述、教师用书、教师论文、试题、作业题、统计表、报刊有关报道和文章)34份。
在较为充分的调查中，我们逐步形成了以下的看法：赵宋光教授首创的“综合构建法数学教学新体制”是吸取了哲学、教育学、心理学、美学的优秀传统和最新成果而设计出来的。它把目标订在迅速提高中华民族一代新人的素质上，提出了综合构建学生良好心理结构的教学任务。自1978年秋开始实验这个数学教学体制以来，事实证明这个体制是成功的。“新体制”所采用的崭新的教学手段，带来了课程结构、教学内容系统的重大变化，使小学生甚至幼儿在受教育过程中，逐步构建起辩证思维的基础。它能让小学生在两年半到三年内学完现行小学六年的数学教材内容，而且使知识与情感、意志、智能交融发展。这个实验提供我们思考的远不只是数学教学领域里的问题，而是可以从中得到关于教学改革一系列问题的启迪。“新体制”冲破了30年来国际、国内基础数学教学难以摆脱的尴尬局面：提高程度势必加大难度、抑重负担；若要减轻负担、减轻难度，就只能降低程度。而现在“新体制”却奇迹般地使加深程度和减轻难度、减轻负担同时实现了。“新体制”既是脚踏实地从中国国情出发，具有中国特色的，又是高瞻远瞩地面向现代化、面向世界、面向未来，具有国际先进水平的。
“构建”一词，是从英文Construct翻译过来的，有构筑、建造的意思。那末“构建”什么呢？就是构筑建造良好的心理结构。如何“构建”呢？构建不是单方面进行的，而是综合发育的：从知识角度讲是多学科综合构建（仅就数学言，则是算术、几何、代数的综合)，从生理角度讲是多器官综合构建（与视、听、触等感觉分析器相联结的手与言语运动中枢神经之联合结构)，从教学过程角度讲是多手段综合使用（实物教具、学具、符号格局、图象的综合)，从心理素质角度讲是多因素的综合构建（智能、意志、情感三类结构)。“新体制”既坚持教育者（受教育者发展的外因）的主导作用，又坚持学生自己主动操作活动（受教育者发展的内因）的动力、基础作用，更强调把外因转化为内因，把社会要求内化为个体的心理素质。“新体制”的教学目标是一层层心理结构的构建生成，它既不是把外因作用推向极端的“填鸭式”，也不是片面强调内因作用的“自由式”，它要求在规范与自主辩证统一的教学中使学生的素质全面提高。
这个“新体制”具有以下三个显著特点：
1.从教学手段上看，它打破了传统教学单纯依靠语言，忽视学生主体实践活动的旧习惯，在教学过程中，时刻注意以直观教（学）具、符号格局、肢体动作、言语活动这四个要素紧密配合，形成一整套严密的操作方式，这就使从具体到抽象的认识飞跃建立在学生亲身实践（操作）的基础上。这种系统化的操作是对中国“动口不动手”教学传统的突破。
2.从教材内容系统的编排上看，它打破了统编教材分块组织内容和过分强调反复练习、进度过慢的安排，真正抓住算术、代数、几何三者的内在：联系，以代数方法指导四则运算教学，以方程模式（两岸阵）和比例模式（四方阵）指导解应用题，以质因数连乘积形式（质因积）指导学生掌握不同数学领域的内在贯通性，以透彻消化数学知识。因此现行小学六学年教材在“新体制”里可以在两年半内教完。
3.从教学目标上看，它不满足于统编教材关于掌握数和形、会进行四则运算、培养逻辑思维能力和空间观念的一般性提法，而是进一步提出使学：生在数学学习和技能训练相统一的基础上，培养收敛式思维和发散性思维、逻辑思维和直觉思维的种种能力，达到智能结构、意志结构和情感结构的全面构建。
如果单说两年半就可以学完小学六年的数学，人们难免会认为这是脱离实际的，或日会加重学生负担。但事实上实验班一年级的学生学起分数、小数、方程、负数这些本来是小学高年级或初中的内容时，不但没有加重负担，反而学得很轻松，兴趣很浓。这其中的奥秘何在？在调查中，我们看到了许多与众不同的教学手段，现介绍儿种：
这里所讲的操作完形，指在加减数量关系教学中对一组数量关系的完整的操作模式，内含感性、理性、互逆、互换四种要素。感性操作是摆并实物的操作，理性操作是摆弄符号的操作，互逆是指加与减互为逆运算，互换是说算式中的项在-一定条件下可以互相交换位置。下面，介绍一个加减操作完形的教学过程。
课题，3的操作完形
在教师教学生掌握了3的组成分解之后，进入加减感性操作。教师、学生双方同时摆弄实物教具和学具，把两只小白兔图贴在绒板上。教师问，“这是几只？”学生答：“两只”。再加贴一只小白兔图，教师又问：“加几只？”学生答。“加1只”。于是教师手指3只小白兔图划一大圈再问：“等于几？”学生答：“等于3”。这以后，教师再指着3只小白兔图问学生：“这里几只？”当学生回答“3只”后，教师从绒板上取下1只小白兔图，问道：“减几？”，学生答：“减1”，教师指着绒板上.剩下的小白兔图问：“等于儿？”，学生便答，“等于2”。这种操作的教学，用算盘拨珠形式重演一遍。经过了前面的实物操作后，算式才出现，教师板书：2+1=3, 3-1=2。加减算式上下并列。随后指着加式里的2说“原来有这么多”，又指加式里的“+1”说：“加上它”'后指加式里的“3”说“就变成那么多了”。接着指减式里的“3”说“从那么多里”，又指减式里的“-1”说：“减去它”，后指减式里的“2”说，“就又变回这么多了”。用“这么多”、“那么多”、“它”这样的词来代替具体的数字，它们的作用是促进代数思考。学生跟着教师的词语在想象中进行的操作，已属“代数水平的感性操作”。
接着，教师拿出五块小牌，每块上写有一个数字或记号（其中一块牌一面写“+”，另一面写“-”)，教师把五块小牌组成2+1=3这一算式，然后问：“谁能把这个算式(指五块牌组成的加式)变成那个算式？”（指板书上3-1=2式），让一个个学生到黑板前来调牌、翻牌。这是“尝试水平的理性操作”。在连续有儿个学生做对后，要求学生拼自己的想法，引导学生在叙述中把“2”和“3”换成“前头的”和“末尾的”，以摆脱数字的具体含义而注意其所在的位置，即再次引导学生从算术观念上升到代数观念。
至此，便可以启发学生总结出规律性的句子，并教给学生以下模式的操作、言语活动：第一个动作是“两手伸出，手掌向黑板，左手挨近左端的牌，右手挨近右端的牌”，口说，“头尾”；第二个动作是“两臂交叉”，口说，“对调”，第三个动作是“右手挨近'+’或 - ’，手掌向牌”，口说：“加减”；第四个动作是“右手手掌翻掌”，口说“改号”。这句伴随手势的歌谣还得按下列节奏来边念边演：
× × | × × 0 | × × | × × 0‖
头 尾 对调， 加 减 改号。
这八字歌谣叫“变换算式的歌谣”，其实也是口决。运用这样的口决来进行变换式子的操作，就达到了“熟虑水平的理性操作”。这是用代数观念来进行算式之间的推导运算。这时，要求每个学生都到黑板前，先带动作按节奏说出口决，再实际调牌、翻牌。这是一组互逆操作。还有另一组，即：
1+2=3 3-2=1
同样用上述八字歌谣进行操作。接下来，教师在黑板左右各板书两组算式：
左边： 右边：
2+1=3 1+2=3
3-1=2 3-2=1
仿照教第一句歌谣的程序，以手做动作和口说词句相配合，教师继续教第二、第三句歌谣：
× × | × × 0 | × × | × × 0‖
加 号 前后， 可 以 对调。
x x x | x x x | × × | × × 0 ‖
减号后， 等号后， 可 以 对调。
当然，念第二、三句歌谣时，手的动作是各不相同的。
综上所述，整个教学过程是这样的：通过实物的感性操作（感性层）和朗读、书写(向理性过渡的准备)，接着对算式动手变换，并学习带手势朗诵三句变换算式的歌谣(理性层)：
头尾对调，加诚改号（互逆性），
加号前后，可以对调（互换性在加式中)，
减号后，等号后，可以对调（互换性在减式中)。
由三句歌谣统串四个算式组成一套心理活动，就是一个操作完形。这三句歌谣就是以主体动作进入学生管能结构中的代数知识，就是能够统率并组织大量算术知识的代数推理规则，虽然小学生们初学时自己尚未意识到这一点。最初建立操作完形时，又摆弄实物，又表波动作，似乎慢了点，但一旦操作完形建立了，孩子们凭借这一模式，学习新知识就带有浓厚的复习意味，他们能看着一张张点子图（上面画有不同色彩的圆点）主动构筑大批加减算式，从不出错，从而进度大大加快。
如何估价数学教学中的操作完形？大家知道，传统数学教学是按部就班安排的，先算术（小学）后代数（中学），这就在事实上造成了感性材料与理性形式分的局面。小学阶段仅有感性材料堆积而不提出理性形式的要求，而到了中学则又用理性形式排斥感性材料，这对形成学生良好的智能结构非常不利。二十多年来国际、国内的数学现代化运动则又因把代数下放到小学而荒疏了算术，造成基础不牢而告失败。“新体制”避免了这两者的弊端，以感性操作来积累算术知识，以理性操作来培养代数运算能力，形成了算术与代数交融、知识与智能同步发展的局面。从心理学方面考察，“操作完形”的概念是分别吸取了格式塔心理学派和皮亚杰的发生认识论观点而又予以改造后提出来的。皮亚杰强调儿童学数学要摆手具体物体，认为儿童动手做并在动作中理解比用语言更为重要，他说过：“操作实物有决定性意义。为了进行思维，具体运演阶段的儿童需要他们面前有容易处理的客体，或者再现已经处理过而且无须任何实际的努力就很容易想象出来的客体。” （转引自埃德·拉宾诺威克著：《皮亚杰学说入门·思雄·学习·教学》第238页） 皮亚杰是在生物学水平上谈动作构式(scheme)的，他忽视了操作和动作在根本性质上的区别，忽视了心理结构的人类学水平与生物学水平之间的分界线。“新体制”吸取了皮亚杰关于操作的思想，但超越了他，进一步提出了超生物水平的构式一符号操作统率下的工具操作，这更是那些把操作仅仅看成是外部显露的东西的行为主义观点难以望其项背的。格式塔学派提出了“完形”概念，进而认为学习不是对个别刺激作个别的反应，而是对整个情景作有组织的整体反应，也就是“顿悟”；“新体制”赞同格式塔学派重视整体的观点，而不赞成他们把学习能力看成是先验具有的思想，认为整体把握的能力是必须通过有组织的操作构建生成的。“新体制”把“操作”与“完形”结合起来，把感性与理性联系在一起，形成了学生以主体实践带动构筑知识的主动的认识能力，其心理机制是在感觉的同时有操作表象作为补充的知觉-动力完形，这就不同于格式塔学派讲的那种本能的、被动的、自然形成的知觉完形。
小学数学课，解应用题历来是个难点，学生经常因为从字面上难以把握好各种数量关系而出错。“新体制”创设了“两岸阵”、“四方阵”这些解应用题的模式，取得了显著效果。“两岸阵”实质上是以方程的思想来解加减应用题，它要求“河”两岸的量相等。如果河的一岸只有X一项，则X等于它对岸的加它对岸的；如果河的一岸除了X还有别的数，则X等于它对岸的减它本岸的。掌握这些规则，学生在一年级上学就能解加减的六种应用题和含负数的加减应用题。
现在着重介绍“四方阵”。“四方阵”实质上是按比例的数量关系构成的，它是乘除应用题的审题、解题模式。审题时要求将应用题中的数摆成四方阵势，从每个数和1的方位关系这一感性知觉，可以直观地把握抽象的数量关系以及各数之间相互推算的逻辑关系，这不仅使学生能从整体上把握数量关系的结构，而且能一瞬间就断定解法。
“四方阵”是早在乘除操作完形的教学中就作为背景引入的。第一批操作完形建立之后，把“四方阵”从背景拉到前台，明确地建立有关概念。教学过程分为三步：第一步，明确“四方阵”的摆阵规则，第二步，掌握“四方阵”的解法（列式）规则，第三步，进行应用题的审题（摆阵）、解题练习。
第一步，通过实例说明摆阵规则。黑板上挂一图：
摆阵规则是“同名竖对，对应横对”，即一筒和三筒都是“筒”，所以要竖里对齐；而一筒和五颗，三筒和十五颗，都是同一事物的两个方面，有对应关系，一定要横里对齐。三个基础概念是：单量跟1横对，份数跟1竖对，总量跟1斜顶角。
第二步便是通过复习乘除操作来发现、掌握解阵要领。
第一个操作，教师在一个筒里装上五颗球，出示卡片5颗/筒，接着在另外两个筒里也分别装进五颗球，出示卡片3筒，然后，教师在黑板上画十字框架，让学生把已知的数量关系按方位摆好，根据问题情景边动手边说，如图：
这时，空的一方便是要求的未知数(X),学生据此列出算式：
X = 5颗/筒 × 3筒 = 15颗。
总量 = 单量 × 份数
这是乘操作的复习。
第二个操作，教师把15颗球摆出来，出示卡片15颗，接着把这15颗球平均装到3个筒里，出示卡片3筒，然后，又让学生摆阵，如下图：
这时，空的一方 便是要求的未知数(X),学生据此列出算式：
X = 15颗 ÷ 3简 = 5颗/筒
单量 = 总量 ÷ 份数
这是等分除的复习。
第三个操作，教师摆出15颗球，出示卡片15颗，接着把每5颗球装进一个筒里，出示卡片5颗/简，然后，又让学生摆阵，如下图：
这时，空的一方 便是要求的未知数(X)、学生据此列出算式：
X = 15颗 ÷ 5颗/简 = 3筒
份数 = 总量 ÷ 单量
这是包含除的复习。
接着，再进一步引导学生在“四方阵”上观察，X的斜顶角方是不是1？跟列式用乘还是除，两者有什么关系？学生能发现，如果X的斜顶角方是1，必定用乘法，如果X的斜顶角方不是1而是别的数，必定用除法，那数定当除数。这既是思维收敛所得的抽象化规则，又把深层的数量关系整体浅显而简约地展示在学生眼前。
当学生掌握了解阵规则后，就可以进行第三步，即应用题的审题、解题练习了。每道题的做法要经历六个步骤：(1)让某学生读题。(2)让第二个学生说出题目里讲到了哪些单位名称，教师则在十字框架的横线上跨写单位名称。(3)让第三个学生到黑板前摆阵，先按“同名”、“对应”关系选择方位，后用“单量”、“份数”、“总量”概念来核对每个数跟1的方位关系，教师按学生的意见把数字和X填入阵内。(4)让第四个学生到黑板前点方位说出抽象的解阵公式，如“跟1…的X等于它的…方…”。
(5)让第五个学生到黑板前说出具体的算式，教师在黑板上号出这个算式。(6)让第六个学生说出得数、单位名称和答句，教师照他所说的写。可以看到，程序的(1)、(2)是从应用题的语句这个表层结构出发，而到了程序的(3)、(4)时，就摆脱了语句文字的束缚而进到数量关系的深层结构，程序(5)、(6)侧又回到了表层，但这已不是问题情景的表层而是得到解答的表层了。
通过对“四方阵”审题、解题过程的观察，可以看到：经过学生主体涉及对象外观的操作，言语活动按合规律形式的多次重复，会建立起一种心理结构，这个心理结构使主体有能力在对象外观的形式中看到自己操作的形式，在对于对象外观的直观知觉中加进自己的理性行为。这种水平的直观，称为“理性直观”。
我们的有些同志刚听到对“四方阵”的介绍时，曾有过疑问，应用题统统要摆阵，而且规则都一样，这岂不是把思维统死了？调查到的事实告诉我们，理性直观的摆阵解题在思维训练方面的特点是“死”与“活”的辩证统一，是收敛式思组和发散式思维的有机统一。“四方阵”的十字框架是“死”的，摆阵规则和解阵规则分别讲来地是“死”的，因为它们所涉及的数量关系是有规律的、必然的：只能按方位关系摆上去，当然也只能按照反映数量关系的逻辑去推演、去解题，从题目的表层到数量关系的深层，
又从深层返回到解题的表层，这些都是必经的历程。这些，正说明了“四方阵”这样的理性直观反映着事物之间的规律性，具有普遍意义，是一种经过操作后总结出来的、可以通过外观直接把握的理性内容（摆阵、解阵规则），这是一种收敛。然而，“死”的阵上所展示的已知量与未知量之间的势态却是“活”的。在深层结构内部，X与1的方位关系是活的，在一个四方阵上，X可能出现在三个不同的位置，可能有三种解法，也就是说，摆阵和解阵两套部件之间的“接口”是活的。当几个“四方阵”扣结起来或把“两岸阵”同“四方阵”联结起来形成多方联阵时，接口就更是灵活多变了。按照传统的教法，解多步应用题可有综合法与分析法。综合法要求从两个已知量推想一个未知量，分析法侧要求从一个未知量追寻两个已知量（或可能预知量），这是两个思路、两个方向。然而无论是综合法还是分析法本身并不能告诉人们应当采取加、减、乘、除中的哪一种算法来组织那两项进行计算。“四方阵”既兼容了综合法和分析法，还弥补了两者的不足。当阵势摆开，各量的方位确定后，两种思路可以自由选择，既可以由已知求未知，也可以从未知寻已知，都行得通，还可以同时确定应选用的计算方法。这是一种发散。由于建立了理性直观，主体具有转换能力，能从纷繁的表层现象中清晰地抓住深层本质，从而具有能动性，有更大的普遍适应性，能以更大的容量去吸收更多的知识。总之，理性直观具有培养生动活泼的发散式思维的功能。
1986年10月，在育民小学的一次全区性汇报会上，实验班学生当场做一道连等比应用题。题目如下：妈妈买回一包梨，把1/3留给外婆，又将剩下的一半给了军属赵奶奶，再将余下的给荣荣，荣荣吃了一个，剩下的两个准备给小伙伴红红和征征，问：妈妈一共买了多少个梨？
学生运用“两岸、四方联阵”解题，先摆阵：
于是，按比例解阵规则：给的数斜顶角定要相乘，X的斜项角方定当除数。这样X可以有九种解法：
① X=a ÷ 1/3
② X=b ÷ c
③ X=3 ÷ d
④ X=3/2 a ÷ 1/2
⑤ X=3/2 b ÷ 1/2
⑥ X=3 × 3/2 ÷ e
⑦ X=3 a
⑧ X=3 b
⑨ X= 3 × 3÷ 1/4
附随有：
e=(1- 1/2) × 1/4
c=(1- 1/3) × 1/2
d= c × e ÷ 2
b= 3c ÷ d
a=1/3 b ÷ c
“四方阵”引导解题思路这种智力操作的功能是令人惊奇的。调查事实表明、用“四方阵”不仅能解整数乘除应用题，而且能解分数、百分数、小数乘除应用题，在光明小学，我们出了十二道应用题测试一年级学生，其中有百以内和千以内的乘除，有分数乘除，例如①爷爷岁数是小云的5倍，小云十四岁，爷爷多少岁？（属统编教材二年级内容)
②有2100支铅笔，每盒装70支，可以装多少盒？（属统编教材四年级内容)
③大盒装1/4斤糖，小盒装1/8斤糖，大盒装的糖是小盒的多少倍？（属统编教材六年级内容）
全年级162人，总题数为1944，学生摆错阵的只有16题，占0.8%，用错解阵规则的93题，占5%；计算错的130题，占6.6%；全错的66题，占3,4%；全对题达84%以上，
在调查中，我们产生了一个认识：理性直观作为教育心理学的一个新概念提出来，理论上是有开拓意义的。在以往的教育学中，从来都只强调培养学生的逻辑思维能力，要求学生学会建立概念，形成判断，进行推理，一步一步地推导、前进，而不赞成学生在思考问题时假设、猜测，不赞成跳跃式的思考。于是培养出来的学生受必然体系的束缚，亦步亦趋，缺乏生气，更缺乏想象力和创造力。然而，只要翻开科学技术发明的历史就可以看到，大量新的科学原理、定律、公式和新的技术设计正是在直觉思维一跳跃式、顿悟式、灵感式的思考中萌发、涌现的。推理与直觉是两种互补的思维。直觉是长期推理思考的凝聚，是渐进性的“中断”，而逻辑推理则是直觉的铺陈，是证明程序的条理化，是新的渐进。正如爱因斯坦所指出：不能忽视“直觉和演绎思维在精密科学发展中所起的重大作用”（引自《爱因斯坦文集》第1卷，第115页） 因此，我们在提出培养目标时，应当在培养推理思维能力的同时培养直觉思维能力。“新体制”的理性直观。正是在培养这两种能力方面有独特的功能。从解“四方阵”的六个程序我们可以看到，学生面对应用题的语句这个表层结构，首先考虑的不是无根据的猜测和试算，而是思考数量之间的关系这个深层结构，在摆阵时要想清楚如何安排才符合数量的逻辑关系，而且面对一题多解还要加以选择，然后再回到表层结构（列式计算），这正是逻辑思维的训练过程，而学生面对着完整的符号格局的外观，从整体把握中马上可以断定解法，学生只要注意“X”与“1”的方位关系，如果“X”与1”斜顶角，必定是乘；如果“X”与“1”横对或竖对，必定是除。这正是对直觉思维能力的培养。北师大实验中学和北京八中的几位教师曾谈到“新体制”培养出来的学生思维特活跃，直觉能力特强，自信心特高。可见，理性直观是直觉与推理的交叉点，是形象思维与抽象思维的交叉点，是两种思维的辩证统一。
有人问：“新体制”安排一年级下学期不但学到乘除，而且学到高位数、分数、小数的有关内容，这可能吗？经过调查，事实证明这不仅在理论上是成立的，而且在教学上也是可行的。因为“新体制”创造了一种记数的结构模式，这个结构模式如同一个信息转换站，能沟通不同数学知识领域的内容，因而使小学一年级学生可以自然而轻松地掌握通常要到四、五年级才学的知识。这个结构模式便是质因积形式。质因积是质因数的连乘积，它本来是五年级的一项传统教学内容，但现在要求孩子们从一年级起就像记十进制一样把它作为常用的记数形式来熟记。当乘除操作完形和小九九口诀的教学开始后，马上引入质因积形式。伴随着小九九口诀，把每个口诀里的乘操作表现为质因数的连乘积。即把乘操作所含的因素分解为质因数，每个质因数都是乘操作的细胞，由此便可以建立大量的连乘积。例如“六六三十六”，前面的6×6，可以分解为2·3·2·3(小圆点表示乘)，而“四九三十六”，前面的4×9也可以分解为2·2·3·3。这样，两句口决就以一种共同的结构沟通了。许多句口决中共同的东西借助质因积显示了出来，形成信息中转站。乘操作细胞保留在符号形式之中，直接展现在儿童面前，这同样是一种理性直观。仿此，我们还可以把“八九七十二”中的8×9理解为2·2·2·3·3，即两个“36”，把“二九一十八”理解为2·3·3，这是36的一半，这里面还包含有“二三得六”（2·3)“三三得九”(3·3)“三六一十八”(3·2·3)等口决。质因积的学习是随着小九九口决的学习扩展出来的，口决带出了大量的质因积，而质因积反过来让学生透彻地消化了口决。
应当指出的是乘除操作完形对于质因积形式的奠基作用：
①5×2=10 ③10÷5=2
②2×5=10 ④10÷2=5
从①②式可以找到两个质因积形式：5·2和2·5。根据乘法交换律、结合律，质因积具有如下基本性质：质因数排列任意可变，一种组合与一个积唯一不二地互相对应。从③④式可以转译为质因积除式：
③10÷5=2 → ⑤2·5·1/5 = 2
④10÷2=5 → ⑥2·5·1/2 =5
在转译以后，“ 1/5”和“1/2”这两个数称为“倒子”，“倒子”其实即分母为质数的分数单位，它体现了除数，而原来不是倒子的数，如“2”、“5”，则称为“顺子”。从③、④式转译为⑤、⑥式时，用“甩掉除号，顺子改倒”的规则做，译好以后用“同数顺倒一齐甩”的规则做，即：
2·5·1/5 = 2 和 2·5·1/2 = 5
这在形式上已与分数的约分一样了。
作为基本功训练，要求孩子们熟练地掌握质因积与十进制的互译关系。实践说明：质因积给孩子们的理解力和想象力插上了翅膀，大大促进了学生智力与技能的发展。光明小学一年级学生的家长们纷纷反映：“我家孩子在下学期突然变得特别聪明似的”。
我们出了三十一道要用到质因积的整数、分数、小数的四则计算题，对一年级学生进行测验，如①4×6，②48÷8，③比大小，2/3和5/7，④1/8 ×6，⑤24÷8/9， ⑥看数写质因积：420， ⑦看质因积写小数：
1
—————————·7·7
2·5·2·5·2·5
在总数5022题中，掌握规则方面有错的193题，其他借的116题，共错309题，占6.2%，全对题占了93.8%。
特别值得提出来讨论的是：像高位数和小数这些以往小学中年级学生学起来也不轻松的内容为什么现在一年级学生也笔无困难？答案是：关键之处就是由于质因积、面积图、十底幂三者互相配合的综合构建。
“新体制”的十进制位名教学大体如下：第一段，教万以内位名。上課之前挂好一张面积图：
然后在挂图右边写出数式：
2·5=10 十
2·5·2·5=10² 百
2·5·2·5·2·5=10³ 千
2·5·2·5·2·5·2·5=10⁴ 万
讲课方式是指图与指數式交替进行，手指与口说配合进行，在教师操作、言语活动带领下，学生内心操作、视、听、说有机结合。
教师先指图右下角的最小的五个小正方形说：“这里有五个小方块，每块代表1，五块代表5”，随即指第一行等式等号前的“5”字。接着指图的右下角说：“五个小方块拼成一个短细条，它仍然代表一（让学生说“5”）两个短细条就代表两个5，它们合起来就是10”。随即指第一行等号前的“2·5”和右端的“十”字，让全体同学齐声说“两个5，等于10”。按此程序，教师继续教“两条短细条合起来是一个长细条，五个长细条合起来是一个长方形，即五十，这个正方形是两个长方形合起来的，它是一百，“两个五十，等于百”。再指图指式教学生逐步认识并说出“两个五百，等于千”，“两个五千，等于万”，然后教师带领学生有节奏地重复“两个×，等于×”。到这时为业，一直是略过了十底幂形式的，接着就用质因积解释了十底幂，把它当作“几段2·5”的简便写法来看待。在教学生读“十底×次幂”以后，引入对数观念，指第一行等号后的“10¹”里的指数“1”，说“1是”，手指右端的“十”字说“十的”，手指又回指“10”里的指数“1”说“对数”。依照这种形式陆续教学生说：“2是百的对数”，“3是千的对数”，“4是万的对数”。另外教“10”说“十底零次幂，甩尽留1，等于1，零是1个的对数”。这是第一段位名教学。
第二段教从万到亿的数，还是用同第一段教学时相仿的一张大挂图，但图题写着：“从高楼上往下看到的”，图里的数字相应写为：
10⁴、5×10⁴，
10⁵、5×10⁵，
10⁶、5×10⁶，
10⁷、5×10⁷，
质因积形式和位名也相应改变。第三段教从亿到兆的位名，又一张相仿的大挂图，图题为“从飞机上往下看的”，图上数字改为：
10⁸，5×10⁸，
10⁹，5×10⁹，
10¹⁰，5×10¹⁰
10¹¹，5×10¹¹
质因积形式和位名也相应改变。
在质因积中，“倒子”具有多重身份。第一，在十进制除式转译为质因积除式时，“倒子”相当于除数，（见前述③、④与⑤、⑥例），而译写规则“甩掉除号，顺子改倒”则已孕伏着分数除法运算规则。第二，“倒子”相当于分数单位。例如：
1 1
—— 写作：—————
12 2·2·3
第三，“倒子”相当于分母，例如
9 1
—— 写作： ————·3·3
12 2·2·3
分数一旦表现为质因积形式，就有奇妙的效果：
(1)约分一目了然，如：
1 3
—————·3·3 = ——
2·2·3 4
通分也很容易，只要按到子凑平，同数顺倒一齐接”即可，如：
3 1
—— 与 —— 可写成：
4 6
1 1
—————·3 ·3 与 ————·2
2·2·3 2·3·2
分数乘除计算大为简化，第一批分数乘除题可以放到一年级下学期。
两段倒2·5相当于百分号，有利于分数与百分数互化，例如：
1 1
—— = ————— ·5·5= 25%
4 2·2·5·5
几段倒2·5相当于小数位名，便于分数与小数互化，如：
1 1
——— = —————————
1000 2·5·2·5·2·5
=0.001
这就为十底负几次幂的引入作了充分准备，而且倒2·5的段数就相当于十底幂的负指数，例如：
1
————————— = 10⁻³
2·5·2·5·2·5
这样，小数教学也就很容易为学生所接受了。小数教学是在高位数教完后进行的。从小数点后一位到小数点后四位，也还是同样挂一张相仿的大挂图，图题名为“透过放大镜看到的”，图里数字改为：
10⁻⁴、5×10⁻⁴,
10⁻³、5×10⁻³,
10⁻²、5×10⁻²
10⁻¹、5×10⁻¹
质因积形式是几段倒2·5，右端写着十分之一，百分之一，千分之一，万分之一。
从“新体制”的高位数和小数的教学过程，我们可以看到综合构建思想的典型显现：(1)从数学学科上看，它是算术、几何、代数的交融贯通。面积图的作用是借助几何图象的直观比例感来为位名概念的数量级逻辑关系提供感性模型，描述面积的词语 (两个五等于十，两个五十等于百，二分之一的五分之一是十分之一，等等) 可以写成若干段顺2·5或者倒2·5的质因积长串形式。这样，在面积图（几何因素)与质因积（算术操作因素）的双重引导下，小学一年级学生就能扎扎实实地掌握十底幂（代数因素)。十底幂的引入无非是把长串形式的质因积加以简化压缩，指数画龙点睛地点明了2·5的段数（倒2·5的段数写成负指数），这就与对数挂起钩来了。在教学中，以面积图为感性背景，以十进制位名序列为脊梁，以质因积为信息交换站，质因积在这三足鼎立的结构中以“2·5”这种细胞联结贯通全体，顺倒2·5段数的多少，一方面与面积比例相对应，另方面又与指数对数对应，综合构建发挥了奇异功能。（2)从教育心理学上看，它体现了教学过程调动视、听和手、口等器官互相配合的功能，有利于理性认识器官的构建。学生看着面积图这种几何直观，随着教师的手指动作（指面积图时从小到大，指质因积形式2·5段数的增多和十底幂指数的增加），其内心同样在进行着感性操作和符号操作，在操作过程中，言语活动中的视、听与之紧密相伴，协同活动，这必然在大脑皮层留下从感性向理性飞跃的相应结构，从而促进手与言语运动中枢神经元联合结构的形成与巩固。同时，四张面积图的使用，在手势和语言的引导下，学生从“在教室里看到的”过渡到“从高楼上往下看到的”，“从飞机上往下看到的”，又反过来“透过放大镜看到的”，这在心理能力上的直接效果就是想象力的培养和把握力的锻炼。(3)从教育哲学上看，这个教学过程正说明了综合构建这一根本思想。一方面是数学学科本身几何、算术、代数三者的综合构建，另方面是学生视觉、听觉与肢体动作、言语器官活动模式的综合构建，两方面结合，相辅相成，造成学生主体知识与智力技能同步发展，构建起良好的智能结构。
仅从上面介绍的加减操作完形”、“四方阵理性直观”和“质因积”的教学，人们不难理解，为什么“新体制”能够大大提高儿童学习内容的程度而又大大降低了学习的难度，大大减轻了学生的负担。从布鲁纳到赞可夫等人，他们为了适应现代社会对人才培养的需要，各自提出过新的教学理论，进行过相应的实验，但终于因为没有找到一座能够达到目的的桥梁而陷于艰难境地。现在，由于“新体制”建造了一座操作化、儿童化、游戏化的科学桥梁，这个基础教育的尖锐矛盾初步获得解决，这不能不说是教学理论和实践上的重大突破，值得人们高度重视。
(三)一个新的学习理论的提出
据“新体制”的设计者介绍，他们在实验过程中总结出一种名为“构建生成”的学习理论，这个理论把教学过程分为五个阶段。
第一阶段：有言语伴随的实物操作活动。这个阶段着重以肢体动作操作散具、学具，在问题情景中建立新的数量关系的层次，这是最为基础的，同时伴随有符号和教学双方的言语活动，形成操作与言语的镶嵌结构。
第二阶段：面对符号序列进行有手势表演伴随的阅读讲说。这个阶段通过言语活动把感性的实物操作内容同理性的符号序列形式联系起来，要朗读，更要讲解，这就使符号在学生那里不仅代表某种语音形式，而且充满着意义。
第三阶段：对符号序列加以变换，寻找变换规律。这时进行的操作不再是感性的而是理性的了，如加减或乘除算式中的调牌、翻牌、变换算式，然后引导学生发现操作中的规律性动作，总结出转换变化的形式运算规律。
第四阶段：面对图象在理性操作统率下用语言组织起想象中的一整套实物操作。这一阶段似乎是回到了感性层次，其实不同。第一阶段是以外部动作的方式呈现出来的，而这一阶段却是以心智活动方式隐蔽在言语背后，口说也不再是一般的语言，而是数学算式。这时，是把有关某一组数量关系的成套操作凝炼化，以规范化形式（语言的和动作的)出现，在学生头脑中形成清晰的表象结构。
上述的四个阶段的成果是操作完形的建立。操作是完形的外在基础，而完形则是操作的内化结果。
第五阶段，从规范化的符号结构中看出合乎当前目的的转换方式。这一阶段从操作完形上升到理性直观。理性直观的建立包含两部分内容，一是建立规范化的符号结构形式（如“两岸阵”，“四方阵”）。二是建立这种形式与先前的操作或算式之间的转换方式（如摆阵规则、解阵要领）。有了这两个主要内容就可以做到用特定的转换方式达到特定的问题情景所提出的特定目的。理性直观是比操作完形更为精炼直观的符号格局，它有更为简便的解题规则，是对操作完形的超越。
“新体制”学习理论的五个阶段，以操作完形为基础，以理性直观为构形的教与学，在解应用题的课题中让学生在现实面前充分地施展了自由。
下面，让我们从另一角度来观察这个学习理论。
“新体制”教学使用的教具、学具中，一个极为重要的工具就是算盘。它是在加减操作完形建立过程中出现的。学生面对点子图组织起想象中的操作，说出四个算式。如：
①4+1=5 ③1+4=5
②5-1=4 ④5-4=1
用珠算口诀做第一式，应是“一下五去四”。“加一”是想象拇指的操作，而“下五去四”则是实物性操作，这就是坚持了第一阶段的外部动作，又有第四阶段的想象中的操作。从①式转为②式，就要运用第三阶段理性操作的歌谣：“头尾对调，加减改号”，然后又用珠算口诀做此式“一上四去五”，“减一”也是想象中的操作，“上四去五”才是实际操作。在做题时，联想到①、②式这些符号序列，用语言（珠算口诀）把感性操作和符号序列联系起来，这属于第二阶段的内容。在运用口快时，手指拨珠动作的规律性和灵活性也形成一种贯穿理性思维的直观性活动。同理，③、④式中珠算口决“四下五去一，四上一去五”的运用也体现了五个阶段的有机契合。
在加减操作完形的教学中，珠算教学起着训练动作思维、辩证思维和程序思维的独特作用。首先，算盘珠子，既是实物，但又不是确定的某种实物。根据位置的不同，一颗珠子可以是一、五、十、百、千、万…，它是带有符号假定性的实物。儿童在学习加诚操作完形时以算盘为工具，坚持了动手操作的基本出发点，然而口念的珠算口决，却又正是一种系统化了的心智思维活动。其次，在珠算运算中，口诀常包含互逆因素，加用减做，减用加做，尤其是“新体制”突出强调拇指与食指拨珠数目的互补关系，1、4互补，2、3互补，形成了新的系统。加的思路是“先想拇指，后转食指”，减的思路反之，这些都是抽象化了的、概括化了的辩证思维的表现。第三，“新体制”设计了“加1至4”，“减1至4”，“加6至9”，“减6至9”这样四套不同的珠算基本练习，并编排成为四个程序框图，这能帮助学生把珠算选口诀的思路从偶然上升到严密的程序，从而开始了程序化、科学化的思维训练，为计算机教学做了铺垫。
“新体制”不赞成“珠算过时，应予废弃”的观点，也不认为“珠算胜过计算机”，它用新的观点，把它们统一起来，既训练计算技能，又发展辩证思维、程序思维。操作完形使珠算口诀系统化，而珠算操作则使完形坚实、牢固。算盘这一中国传统的古老工具，在“新体制”数学教学中起着崭新的作用。
现在，许多人把“加强实践环书”理解为多抓课外实践活动，以此作为书本知识学习的补充。我们觉得应当反过来，从珠算的教学以及对于学具的强调，人们看到“新体制”是把整个课堂教学建立在实践基础上的。无论是“操作完形”教学也好，还是“理性直观”教学也好，都是把实践-操作作为书本知识学习的前提和课堂教学活动的先决条件。作为学习的个体，毫无疑问主要是接受间接知识。然而，许多教学论者却由此得出：课堂教学是以传授——特别是语言的传授为基础，这样的陈旧结论，导致教学中学生概念的建立几乎都是通过教师讲解定义来进行。“新体制”却是通过操作来建立概念的，这是教学论观点的新的发展。强调实践并不是杜威的实用主义教学观真正的核心。杜威强调个人学习的主观性、偶然性，反对一切模式，主张一种“自由化”的教学。“新体制”强调实践，这并不是说学生要事事实践，而是要通过教学过程中严密组织起来的实践活动把人类世代积累的社会普遍性内容以最佳的普遍适用的模式教给学生，使学生得以高效率地主动构建自已的心理结构，实现个体社会化。
九年来，“新体制”在北京某些学校的实施，已取得了丰硕的成果。
育民小学1978年开始的第一个实验班从三年级起至五年级每年的数学统考平均成绩与同年级其它普通班相比显示优势：
2.第一个实验班中26人升入实验中学后，数学学习成绩突出。初中毕业升高中时参加全市统考，数学平均成绒达93.1分；26人各科总分累计之后（共6科）平均每人559分（其中18人总分在560分以上），每人每科平均93分；19名考入重点中学的高中。他们所在的班（其中有24名是从北京市实验二小升入的）在全校四个初三班中名列前茅。
3.育民小学第二轮实验班1985年和1986年先后共有12名学生从四年级或五年级提前升入北京市重点中学北京八中，其中1985年的4名学生进入的是该校的“少年班”(“少年班”由从全市各校推荐的596名竞争者中录取的35名智力超常学生组建而成)。
我们对1986年9月开始实施“新体制”教改试验的光明小学一年级有四个班162名学生分别以三份不同的考试试卷（共含四个单元内容）进行了第二学期期末测查，每份试卷均有8至9大题，其中各单元涉及的知识除第一单元为比较基础的知识外，其余大都已达到相当深的程度，有各年级的乘除运算及四则运算应用题（均要求用“两岸阵”或“四方阵”解题)，珠算口决，真假分数概念，分数比大小，用质因积形式解的分数乘除（包括约分），十底幂乘除，多位数（包括小数、负数）加减等高年级的知识。成绩统计如下：
结果是令人惊喜的。要知道，这些是刚满七岁的孩子，有的甚至还不足七岁。这可能吗？是的，这是毋庸置疑的事实！有什么秘诀吗？秘诀就在于这种符合儿童心理特点的操作化、游戏化、儿童化的综合构建的设计。
这些孩子们的家长对实验都曾经有过疑虑、担心，但是现在放心了。他们为自己的孩子在实验班学习而感到由衷的高兴和自豪。他们真心诚意地赞扬、鼓励、支持实验：“这种新教法，我们家长也不懂，没法辅导，但孩子并没有思想负担，学得比较轻松，每天只用0一20分钟就能独立完成作业，学习兴趣很浓，还能抽出时间学习别的东西和进行其他活动，这样教学的质量、效果与其他同龄孩子明显不一样”。“这种新型的教学方式能把数学用整体观念贯穿”，“解题方法多样”，“好就好在教得活，思略宽，从长远观点看，对开发学生的智力，提高学生的素质，打下了良好的基础”。“希望实验坚持下去”。这是家长们的肺腑之言，他们从孩子的进步中看到了实验的实质，改革的希望。
如果说育民小学实验班当年入学是择优录取，所以学生的基础要好些的话，那么光明小学实验班则不存在这种情况。后者是按三个居委会、一个大院包地段招生的。我们对光明小学1986年一年级学生入学的160份表格中家长职业一栏作了统计（一般以父亲职业为主)，国家公务人员77人，工人（包括售货员）69人，知识分子12人，农民、知青2人（另：母亲是工人和售货员的也有30人)。从这些数字可以看到，孩子的父母总的文化程度参差不齐，孩子学龄前所受教育的范围和程度也是有限的。但是在短短一年时问里，孩子们的成长和进步却很显著。原来基础较好的孩子得到更充分的发展，如阴××同学，不但学习成绩好，而且爱好广泛，发展全面。1987年暑假，他能够把四年级的暑期数学作业做完，只错两道题。老师当场找了一位六年级同学与他一起做一道简易方程计算题，结果两人同时完成；在做有百位数的方程计算题时，他能更快列出方程式。即使是原来起点较低的孩子，也不同程度有了较大的进步，如朱××，成××、赵××三名同学，第一学期末数学考试不及格，但下学期四个单元测查，平均成绩分别上升为92、80、89分。还有魏×同学，未足六岁入学，学前教育较差，幼年时患过哮喘病，口头表达能力和思维能力均较弱，父母曾经为他上不上学的问题犹豫过。但是现在这孩子不但能跟上全班，而且进步惊人，下学期测查成绩分别达100、93、100分；与他的读四年级的哥哥比赛打算盘，速度竞比哥哥还快！这确实令父母感叹万分。类似这样的情况，调查中不乏其例。这些事例充分说明，“新体制”教学在开发儿童智力潜能方面是相当成功的。
不仅如此，我们看到更为根本的收效是：通过这种主动构建式的学习，儿童在提高思维素质的同时，立美意志、审美情感也得到诱发。“孩子们表见出想维活跃，灵活，具有迁移性，能举一反三，对新知识易于接受，直觉能力较强，看题往往一下子就想到了最后结果，学习积极性较高，善于发现问题，不满足，有强烈的求知欲”，这是师大实验中学和北京八中老师对实验班学生升上中学后学习、思维情况的一些反映。其实，由于学习过程中自我构建的主动活动的诱导，儿童的这些智能发育优势在早期就能萌发。光明小学一(1)、一(2)班在教“三五一十五”、“四五二十”、“五六三十”三句口诀之后，误发了未教的“五五二十五”、“五七三十五”、“五八四十”、“五九四十五”四句口决的作业，结果两班学生80人，只有七份作业计算有错，而从一句口诀变出一组算式的作业则无一人做错，这是出乎教师意料之外的。为什么学生能如此灵活？答案就是“综合构建”的设计，是以少量的知识致力于学生理性认识器官的构建，把经过选择的知识对象以最佳的结构组织形式交给学生，学生形成了稳定的心理定势和结构框架之后，形成并发展了敏捷的思维品质，转化为驾驭和运用人址识的能力，因而表现出充分的自由，这正是“智力构建”的奇特功能。
育民小学第一个实验班王彤同学一年级下学期通过带面积图、点子图的小九九口决（包括口诀内的平方数集中梳理）学习之后，对平方数规律发生了兴趣，虽然当时尚未学多位数乘法及其他平方知识，但从1一9的平方面积图中他想到了围棋盘的格子是19那么多的格子，然后又怀着极大的好奇心猜测20²、21²、22²…又是多少呢？于是他在中学的平方表中找到了答案，就兴味盎然地背诵起来“。孩子的家长今天回忆起这一事例，仍然感触万千。的确，学生的学习行为模式建立起来，转化为发散性思维，把握了规律性的东西，学习的愉悦感产生了，巨大的学习热情被激发起来了，成为主动探寻新知识、追求真理的强烈意向和内在推动力，表现出学习目标更加明确、主动、坚定、自信、不盲从。他们富于想象，并且热爱生活，热爱科学，追求美的形式，在情感和意志结构方面得到协调发展。第一个实验班的樊晓辉同学的成长也是一个鲜明的例子。1981年7月7日，他当时还仅仅是九岁的三年级学生，就敢当场与我国著名科学家茅以升比赛背圆周率小数点后一百位数字，使茅以升赞叹不已，认为这孩子是他大学读书时背圆周率小数点后一百位数字六十六年以来遇到的第一个敌手。樊晓辉还是个天文爱好者、小发明家，曾多次获小发明奖。他和实验班的王弢同学在1981年设计了袖珍赤经仪和赤纬仪，在上海参加论文答辩时轰动了全场，并获得了全国青少年发明一等奖。这个各科成绩优良、全面发展的好学生如今就读于北师大实验中学高中二年级，1987年5月23日，他荣获了由北京市青少年科学基金会在人民大会堂领发的首届北京青少年优秀论文、发明、学习综合情祝的科学金奖，他的小伙伴王弢获得了银奖。第二个实验班的小姑娘吴旻，当年(1985年)育民小学的红领巾电脑软件公司小经理（自己编一百多个电脑程序），年小志气高，表现了勇于进取的心理品质。
一年前，她从小学五年级提前考上了北京八中。看到当年实验斑孩子如此巨大的进步，谁能不为之兴奋呢。(吴旻先后发明了“数字指纹”和“数字水印”技术，是美国IEEE的分支机构SPS的2024-2025年的候任主席，编者注)
在我们给1978年第一个实验班34位同学所发调查信的回信中，在座谈会上，孩子们对当年的实验一致给予了高度的评价，流露了深切的怀念。他们谈到了实验教学对他们的深刻影响：“五年学习给我最大的好处是培养了数学上的广泛爱好以及不受束缚的思维方法”。“这套教材在思维能力锻炼方面是无可比拟的，知识忘了点算不了什么，只要能力得到了，便是最大的收获。我们比其他同龄孩子的理解能力、接受新事物的能力显然要强得多”。孩子们不约而同地提到了思维能力，他们的感受是最直接、最亲切的。今天他们长大了，成熟了，回过头来反思，就能从理论上，从教学实质上理解当年实验教学的优势了。他们是最有力的见证人。“直到现在我还用'四方阵”这种方法、这种思路来做一些化学题”，“把珠算口决用到减法中去特别方便，至今我一直用这种方法，快得很”。一位同学作了更高的总结：“五年数学学习使我养成了爱独立思考的习惯，不愿人云亦云一切的一切都是那实验的作用，从7岁到12岁就定了一个人的一切，可能吗？可能，它从很多方面影响了我、我们”。这些孩子因为参加过实验班，今天是那样自豪、自信，这不是很值得人们去回味、去思考的吗？
由于“新体制”在小学实施的可行性、有效性得到证实，课程设计者沿着“综合构建”的设计原则，把数学知识一部分下放到幼儿园，并设计了一整套适合幼儿心理特点的幼儿园新教学大纲。新大纲不但其辩证性、整体感、规律贯通性以及操作化、儿童化、游戏化、多器官结合等特点与“新体制”小学部分一致，而且教学内容显然比传统大纲丰富多了。如：数的分解、组合，加减互逆操作运算，正数负数及其比大小，分数整数互变操作，不等式，百以内数的顺序，几何图形认识与操作，完全平方公式四块拼合，完全立方公式八块拼合，珠算，部分乘法口决（包括质因积）等等都引入了。这么小的儿童能够接受这么多知识吗？是不是幼儿园小学化了，儿童成人化了？
请听听进行了三年实验教学的北京市鲍家街幼儿园的领导和教师对这个问题的回答。
她们认为：关键是要看教材设计的指导思想和教学手段如何。“新体制”设计完全是从构建儿童良好的心理结构、培养优越的心理素质出发，主要目的并不是要孩子掌握复杂的知识，也不要求过多书写，而是强调操作能力的训练，手、口、脑的综合运用，从小形成普遍适用的智能结构模式框架，以后可以不断依靠这个框架吸取信息，这才是更为重要的。至于知识、符号的出现，也并不可怕。数学的符号只不过是把孩子日常生活中常接触到的东西及丰富的操作经验标记出来而已。通过配有韵律的歌谣和形象化游戏式操作，孩子是在不知不觉中接受它的。这些潜移默化的动力定型不但传授了知识，而且教会了孩子们认识、思维的方法，对将来是大有好处的。老师们从实验中悟出的这些道理发人深思。
的确，我们不仅看到了这种教学设计有如此丰富的知识内容，而且也从那同时设置的多姿多彩的教学方法中得到启迪。例如：认整数“1”、“2”是以节奏歌谣和一连串游戏引出的（有捡玩具的，有坐汽车火车的，有拿双盾牌带手势朗诵表演的）；“头尾对调，加减改号”的操作表演配以摆弄鱼形图样；解方程是用小鸡、小兔、松树、萝卜等玩具所摆的“两岸阵”来进行的；在数木块、笔杆、沙堆等游戏中比高低、长短、大小、多少，在玩天气预报的游戏中学习正负数；用进退走步游戏复习正负'数；用分圆饼的游戏学分数，并配以有节奏的朗诵：
一张 大圆 | 饼 呀 | 四人 分一 | 分 0 |
每人 一样 | 多 呀 | 分要 分得 | 匀 0 ‖
学习百以内的数的顺序是利用座标系列纵横构成的图形感觉引进的：在一块绒板上缘横贴1~9的数字牌代表个位，左缘竖贴10~90的数字牌贴代表十位，然后让孩子“顺着数”、“倒着数”、找交叉点，自己去挂“几十几”的牌，并从中学到六个规律... 实在是有趣极了。老师们还向我们演示了他们增编的许多有趣的游戏，如让孩子用自己的身体配合动作记忆正负数，以肚脐为零，肚脐以上为正数，肚脐以下为负数，另外，以老师当调度员、孩子当司机运白菜的进退走步游戏巩固正负数学习…。 多么生动活泼的学习方式，孩子们玩得多么开心！这就不难理解为什么孩子能如此轻松愉快地接受了这些所谓“高年级的知识”了。
我们曾分别出了一些数学题对孩子们作了测查，效果是令人满意的。其中有难度较大的：在寒暑表模型上摆正负数的位置，用卡片排列成错误的不等式：-5>+1和 -3>-1，让孩子改错，孩子们做题的正确率达到87.9%；还有一道考思维迁移能力的难题：“这些都是1/3(实物)，请你拼两个整体1，用多少块(1/3)？”让孩子在操作中回答 (孩子只学过拼成一个整体1)。如果用符号等式表述，这题就是1/3 x =2的方程，孩子虽不能以符号计算这种算式，但操作结果是正确率达75.7%，这实在不能不令人惊讶，因为这些孩子才四至五岁呢。
孩子们在数学课里学到的知识，还能在老师的指导下很快用到手工课中去。最突出的是剪纸，能运用分数知识对折又对折的办法剪各种平均分的对称图形；还能运用分数知识画方整对称的小屋。小朋友杨鸣在知道了算盘个位上两个五是一个十，以及十位左边是百位、千位、万位以后，高兴地说：“我知道了，两个五是一个十，两个五十就是一百，两个五百就是一千，两个五千就是一万”。请看，幼儿接受这种教学，思维发展是多么明显，教师们还反映，参加了实验教学的中班孩子与没经过实验教学的大班孩子在智力上已有明显的差异，比如看图形：
这个班中许多小朋友都能迅速说出这里面有八个三角形，但那些大班的孩子们反应就慢多了。可见，“新体制”对儿童的智力发育、思维发展起着多大的促进作用。
鲍家街幼儿园招生情况与光明小学性质是相同的，不能择优，并且该园杜淑媛老师曾于1984年在四川成都与素不相识的当地幼儿园小朋友共同上这种实验课；1986年，她到北京市“六一”幼儿园也当场进行了实验教学，都是成功的。事实证明，这种教学对幼儿园也是合适的。
因此，问题的关键不在于教给幼儿什么知识，而在于用什么方式，根据什么样的年龄心理特征去设计和进行教学。“新体制”把知识下放，并非使幼儿成人化，而是自幼开发儿童的智力资源，具有深远的意义。它帮助儿童从小就建立辩证的思维模式，建立起对知识的完整把握和灵活运用的智能结构，加快了儿童接受新信息的速度，为小学、中学各科学习作了很好的铺垫。这种建立在操作基础上、按规律螺旋上升式的课程设置，对开发儿童思维潜力，对儿童的收敛性思维和发散性思维的早期训练，是十分有益的。尤其是从感性操作到理性操作过渡建立操作完形，对儿童的理性认识器官的早期构建有着重大的作用。
通过全面调查之后，我们认为，这个实验的意义远远不仅是个数学教学问题，也不仅仅是个小学教学方法问题，它从设计到教学过程到初获成效涵着那样深刻、那样尖锐、那样值得思考的教育学、心理学、美学、哲学等方面的重要理论问题，它已经向理论前沿提出了挑战。
怎样才能把我国建设成为一个富强、民主、文明的社会主义强国？无疑，发达的生产力，先进的科技水平等等都是必要的。然而这一切都离不开人。没有具备良好素质的现代人，就无法掌握先进的生产设备、尖端的科学技术，也无法正确调节各种社会关系。然而，我国的国民素质怎样才能得到提高呢？只有靠现代化的教育。教育的使命就是要培养具有高水平的智能、情感、意志三种心理结构并且三者能协调发展的新人。只有这样的人才能承担建设美好社会的历史重任。“新体制”正是从这样的使命、目标，站在这样的历史高度来认识教育，并进行教学改革设计的。
“新体制”的上述培养目标立足和面向的是广大青少年、儿童，要求的是大面积的实现，而不是只在少数尖子、天才中实现。尖子固然需要，但人的素质的提高是涉及整个民族的问题。所以“新体制”首先着眼于从广大幼儿抓起，希望通过九年普及义务教育培养出相当于现在高中毕业水平的劳动后备军，为建设现代社会的大厦打下牢固的根基。这与某些片面追求升学率，过早搞文理分科，设重点班的做法是截然不同的。正是这种新的教育观念的指导，使实脸设计者对小学课程作了综合构建的整体改革设想，提出小学必须同时开设语文、数学、社会常识、综合理科、外语、体育、音乐舞蹈、美术工艺、书法、工具使用等十门课程。在实验班，有的课程已作了设置并开始了教学改革的实践，如综合理科常识和工具课，有的正在设计之中，如语文（提出了创设语用环境、增强言语意识、促进语言的深层结构向表层结构的转换生成等问题)，音乐舞蹈（以民族音乐和舞蹈为素材，以音乐欣赏和乐器学习相配合的音乐舞蹈活动，发展儿童的主动性、节奏感、进取精神和意志力)。可以预见，贯穿综合构建精神的整体改革设想将在实验中得到进一步的验证。
教学的实质到底是什么？即 应该“教什么，怎样教”才能达到人才素质全面提高的目标呢？这是教学论、课程论、教学法必须回答和解决的问题。在国内外，近、现代的各种教学论派别分别强调了在教学中要么以掌握系统知识为核心，以教师为中心；要么以实用能力为核心，以儿童为中心，也有人强调必须以学生为主体，使学生既掌握知识，又发展能力，做到两者结合统一。无疑，两者统一的思想是正确的。但课程应如何设计，通过什么样的教学方式和教学程序，才能达到这个有机和谐的统一呢？这决不是传统的“填鸭式”或近、现代提倡的“自由式”教育方式所能解决的。“新体制”在吸收前人优秀成果的基础上，与众不同地提出教学的实质在于通过个体主动操作和言语活动与社会所提炼的普遍模式的完美统一，引导学生主动地自我构建起美的心理结构。这完全是一种以实践为前提和主线（而不是后补），知识与智能相融合，材料与结构相贯通的工艺流程式的教学。这种教学把主动构建生成心理结构作为教学实质，无论从理论的新颖还是实践的成功来看，都是前所未有的，是值得人们去思考、研究、探讨的。
“新体制”的教学过程显示出对当代教育学、当代心理学认知学派、格式塔学派的理论和实践的重大突破。美国布鲁纳认为，人的认知机能必须是思维动作的形式结构，知识内化分为动作性再现表象、图象性再现表象、符号性再现表象三个阶段。苏联的加里培林则认为，智力动作的形成是外部物质动作向知觉、表象和概念转化的结果，其转化过程是通过独立操作的动作定向阶段，以实物、图表为主的物化动作阶段，以有声言语复现动作阶段，无声外部言语阶段以及内部言语动作阶段等五个阶段完成的。布鲁纳和加里培林都强调了操作、图象、符号、语言的结合以形成认知结构，这是有积极意义的。“新体制”不但吸取了这些合理方面，而且开创性地建立了一种相互交织地使用工具、使用符号的完整操作实践活动，从感性操作到理性操作建立操作完形，又从操作完形过渡到把事物内部规律性联系的深层结构以形象化的图式结构显示出来的理性直观，从外观结构内化为主体的心理结构，这就是“新体制”主动构建生成的理论及其实践的精华所在。表面上看，操作完形和理性直观似乎是把简单的知识复杂化了，实际上是为复杂问题的简化解决创造了心理框架前提。积极的“学习定势”的主动形成，使儿童在其他类似的事物及新知识面前并不生疏而是“似曾相识”，甚至凭直觉可判断出解题的最后结果，这就不仅教会儿童学什么，而且教会他们懂得如何学习，勇于探寻规律，促进了儿童思维的迁移本领和直觉能力。
“新体制”的学习理论，较为集中地体现了智育、德育、美育相互交融、相互渗透的关系，从而促进了学生的智能、意志、情感三种结构的协调、同步发展。以数学教学为例，这首先是智能结构的构建过程，在此过程中动作技能的训练和心智技能的培养是同时进行的。动作技能是通过操作练习形成和巩固起来的合规律的动作系统，心智技能是借助内部言语在头脑中实现的智能活动形式。在感性操作阶段，着重的是动作技能的练习，实践活动为心智技能的发育奠定基础。在此阶段，心智技能尚处于感知、记忆、想象范围。到了理性操作阶段，心智技能的训练就成为主要的了，亦即抽象的理性思维作为主导成分出现，而此时动作技能的完善、系统化和自动化则有利于心智技能的整体化、简约化。思维的敏捷、深划、灵活和独立的品质，正是在操作完形和理性直观的建立过程中不断得到锤炼而得以形成、发展和巩固的。当然，心智技能还不等于智能，技能这种在个体身上固定下来的行为方式是为解决某一具体问题而形成的动作系统，而智能则是调整这些行动方式的概括化心理素质，是为顺利完成活动而在个体身上经常地、稳固地表现出来的心理特征。智能这种更为概括的能力正是在掌握各种心智技能过程中得以形成和发展的。例如理性直观“四方阵”解阵要领属于心智技能，经过反复练习的强化，个体运用要领解题的心理过程愈来愈敏捷，最后成为牢固的概括化动力定型时，它就是一种直觉能力了。与此同时，由于操作完形和理性直观代表着主体活动的合规律的形式，儿童不但智能结构得到主动构建，而且产生了达到美的境界的愉悦感、轻松感和新发现，对所学的材料和这种能保证成功的美的操作过程和形式发生了兴趣，激发起学习的需要、愿望、求知的欲望及对美的认识和追求，现代人的高尚审美能力和情操得到了培养，情感结构得到了构建。正如列宁所说的：“没有'人的感情”，就从来没有也不可能有人对于真理的追求”(《列宁全集》第20卷，第255页。) 由于在一定规范下经过艰辛完成了一定的活动，在规律面前取得了自由，情感结构又向意志结构的构建转化，儿童明显表现出驾驭知识的自信、心进取心、意志力，具有明确的选择意向和目标，形成了智能、情感、意志三种心理结构相互依赖、互为因果、相辅相成的发展。这样，客观对象变成了人类的超生物肢体，丰富的知识转化成驾驭规律而能展翅高飞的矫健翅膀。赞可夫说得好：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，触及学生的精神需要，这种教学法就能发挥高度有效的作用”(赞可夫：《教学与发展》第106页。) “新体制”的设计及其实践对当代教学论、课程论、数学法的新发展是很有研究价值的。
长期以来，儿童的智力开发问题一直是心理学、教育学探寻的理论前沿和实践的重要问题。皮亚杰在“发生认识论”学说的基础上，把儿童的智力发展划分为四个年龄阶段：
前语言的感知一运动阶段(0一2岁)；
再现和前逻辑思维的前运演阶段(2-7岁)；
具体的逻辑思维的具体运演阶段(7-11岁)；
对抽象观念进行思维的形式运演阶段(11-15岁)。
皮亚杰还认为儿童这四个智力阶段是在“自然状态下”可以达到的。国内外心理学、教育学界有人对皮亚杰这种关于儿童智力年龄段的划分持否定态度。“新体制”实验的成功正是在一个关键点上突破了皮亚杰的这一理论，说明
所谓“自然状态下”的年龄智力特征，只是在一般社会条件下表现出来，而在具有系统教育工程的特殊社会条件下所出现的年龄阶段就会大不相同。“新体制”的综合构建和镶嵌结构的设计，正是为创造特殊社会条件，建立系统教育工程，确切划分儿童智力发展阶段提供了有效的实践经验和理论前提。
实际上，“新体制”也是对苏联维果茨基“最近发展区”概念的延伸和发展。维果茨基指出：儿童的智力发展水平有两种不同的区域，第一种是儿童能独立解决智力任务的现有水平的区域；第二种是儿童不能独立解决智力任务，但在成人帮助下，在集体活动中通过幕仿能够解决智力任务的“最近发展区”。教学应以“最近发展区”作为方向。(参阅维果茨基《心理学研究选巢》第277页。)
“新体制”的实验成功正是为“最近发展区”提供了丰富的实践经验，对儿童智力潜能的开发具有重要的意义。
为什么幼儿的感性认识在3~5岁阶段就能产生理性飞跃，达到一定的理性、逻辑水平呢？“新体制”的设计者由此对生理学产生了一个大胆的理论假设。在吸取神经系统生理学现代研究成果的基础上，设计者提出：在人的大脑皮层中，手与言语运动中枢的神经元有一个联合结构，其核心是位于角回以及颞叶之下的总联合区。这个超乎一般动物水平的联合结构与人类所特有的理性认识功能是有密切关系的。根据马克思关于认识依赖于实践活动的观点，以可得出逻辑结论：人类特有的理性认识之形成，也依赖于人类实践得以进行的运动器官。这个联合结构不仅担负发号施令的职能，而且本身是一个新的认识器官。这是与遗传生成的视、听、嗅、味、触觉等感性器官有别的在实践过程中逐渐建造起来的理性认识器官。“人类的感性认识区别于动物界的特有的新质从无到有的出现过程，也正是这理性认识器官从无到有的构建过程”(赵宋光：《从感性认识向理性认识飞跃的奥秘》，《现代哲学》1986年第2期。)这就是关于人类具有理性认识器官的新的假设。这一器官尽管其最初的认识内容还处于感性的水平，却为感性认识向理性认识的最初飞跃提供了一种新的可能性，“飞跃的积极内在动因是中枢神经元的神经活动的主动性与活跃性以及所建立的联合结构的精巧与坚固”。(赵宋光：《从感性认识向理性认识飞跃的奥秘》，《现代哲学》1986年第2期。) 这就回答了感性认识为什么会在幼儿阶段仅用少量感性材料就能在不同水平上实现向理性认识的飞跃的问题，因此，这个假设是值得生理学探讨和证明的。“新体制”致力于儿童理性认识器官的早期构建，使儿童的智力结构早期就能萌发代数推导能力的实践，无论是对生理学、心理学还是认识论的发展都是相当有启迪的。
“新体制”关于智能、情感、意志三种心理结构主动构建生成的成功实践与理论向人们揭示了：审美教育远远不仅仅是艺术教育。任何领域尤其是各学科的教学都可以也有必要担负起这个责任。各门课程都具有审美特性，都可以按照人类社会历史所精心挑选出来的美的规范进行教学，收到较好的审美教育效果。这是一种以美引真的教有方法，而这种方法的根本基础并不仅仅在于作为认识过程的审美教育本身，更重要在于作为实践过程的立美教育活动，这就是引导受教育者主动建立美的形式并对所认识的规律作自由运用的教育活动。立美教育可大大加速学生智能，如观察力、理解力、想象力和求知欲的成长，收到人们难以置信的效果。如数学学科，在一些人眼里看来似乎是一些枯燥无味、干巴巴的抽象数字符号，其实这是对数学本性的误解。数学并不是独立于人的实践之外的知识，它的本来面目是“既不能有无动作的对象，也不能有无对象的动作，任何数学概念、公式、定理都要以主体动作施于客观对象方能建立”。自然界任何对象都不会自然而然成为数，也不会自然产生各种计算结果与数字符号。“因为，数字领域本来就是真与善融合的领域，即美的领域。”(赵宋光：《论美育的功能》，《美学》1981年。第3期。) “操作完形”就是这样一些完整的自由运用规律的具有均衡、秩序、多样统一等特点的操作形式，它们都属于美的领域，正如自然界因其自我成长的对称、均衡、秩序等形态特点而进入美的领域一样。经过这种主动构造的立美活动，学生所掌握的就是“辩证的而非片面的，灵活的而非僵死的，丰满的而非干瘪的，扎实的而非架空的，牢固的而不是容易出错的”(赵宋光：《论美育的功能》，《美学》1981年 第3期。) 知识结构，并由此转化为主体的智能结构和情感结构。而“理性直观”则转化为学生对于既定模式的运用和对于运用方式的选择这样一些有关意志自由的机制，转化为超越经验的智能结构和意志结构。这就是美的力量之所在。美作为人类理性行为赖以建造的形式，在主体自我超越的历程中担当起能动构架的角色，使主体在规律面前取得自由，这就是立美教育的本质。人的各种良好素质的培养，其奥秘正在于此。这种以马克思主义实践观点为基础的立美教育理论的提出，为各个领域、各个学科教学广泛进行有效的美育活动提供了科学的理论基础，为美育理论的发展开辟了新的天地。
“新体制”的设计者赵宋光教授是一位在音乐、美学、哲学方面很有成就的学者。他1949年就读于北京大学哲学系，1952年进入中央音乐学院学习理论作曲，后派往德意志民主共和国东柏林音乐高等学校进修。返国后在中央音乐学院任教。六十年代初开始转入儿童心理和认识论的研究。1968年以后，用十年时间设计了这套数学教学的“新体制”，并从1978年起，受邀利用业余时间到北京市育民小学进行“新体制”的教学改革实验。五年内，他不但在一个实验班从小学一年级亲自教到小学毕业，而且还指导该校教师在其他几个班进行了“新体制”教学改革的重复实验。后来，还指导了北京市光明小学和鲍家街幼儿园的教改实验。这说明，“新体制”是经受住了重复实验的初步检验的。但要使“新体制”臻于完善，还有许多工作要做。例如：教材的系统编写，知识的阶段性巩固，作业的科学布置，实验师资的培养提高，幼儿园与小学、小学与中学的衔接等一系列问题都有待解决。此外，作为一个科学的教学体系，还需要进一步扩大实验范围，并进行较长周期的跟踪研究，以观察它的远期效果。这些，都需要教育部门以至社会力量的大力支持。我们相信，在教育改革的历史洪流中，“新体制”的优越性将会被越来越多的人所认识，并日益显示出强大的生命力。
作者附记：本调查得到“未来教育工程研究室”、西城光明小学、育民小学、鲍家街幼儿园、北师大实验中学、北京八中的干部、教师、学生、学生家长的支持和帮功，谨致谢意！
〔本文责任编辑：李克敬)
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