高三数学三轮复习专题：
高考排列组合问题专题方法归类突破
重要知识
1.排列与组合的区别：排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．比如：
（1）高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（2）高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
2.解决的方法主要从以下三个方面考虑：
（1）特殊元素、位置优先考虑，先组合后排列。
（2）根据不同条件选择相对应的方法处理。
（3）若正面不好考虑，适当选择间接法。
3.排列、组合问题的常见处理方法：
（1）特殊元素、位置优先法
（2）相邻问题捆绑法
（3）不相邻问题插空法
（4）定序问题插入法
（5）重排问题求幂法
（6）排列组合混合问题先选后排法
（7）相同元素问题隔板法
（8）正难反易间接法
（9）平均分配问题除序法
（10）实际操作问题列举法
典型例题
题型一：特殊元素、位置优先法
例1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？
解析：1、个位数字的排法：3种；2、首位数字的排法：各位用掉一个,再加上0不可以在首位,则首位的排法有：4种；3、余下数位上随便排,有：A(3,4)=24种；则：3×4×A(4,4)=288种
变式1、（1）（2015春·老河口市校级期末）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ）
A．60个 B．48个 C．36个 D．24个
由题意，符合要求的数字共有2×3A33=36种 故选C
（2）（2014·四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
解析：最右端排乙，共有A55=120种，最右端排甲，最左端不能排乙，有C41A44=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．
题型二：相邻元素捆绑策略
例2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？
解析：将甲乙和丙丁分别作为两个整体。这样，先做3个单元的排列，3!=6种情形。其中，甲乙不同顺序有2种情形，丙丁也是2种。上述叠加计算，一共有 2*2*6=24种排法。
变式2、包括甲、乙、丙三人在内的6人站成一排，则甲与乙、丙都相邻且乙不站在两端的排法有（ ）
A．32种 B．36种 C．42种 D．48种
解析：甲与乙、丙都相邻的排法有A44A22=48种，其中乙站在两端的排法有C21A33=12，故满足条件的种数为48-12=36，故选：B．
题型三：不相邻问题插空法
例3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
分析 4个舞蹈节目不连排，可采用插空法．其它五个节目的安排方式有A55种，5个节目有6个空，从6个空中选择4个安排舞蹈节目即可．
解答 解：先把2个相声，3个独唱排列好，共有A55种种方法；再把4个舞蹈节目插入上边的5个节目形成的6个空位中，有A64种方法．根据分步计数原理可得所有的排列方法共有A55A64=43200种方法．
变式3、（1）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72 B．120 C．144 D．168
解析：1、先将三个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为三个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①、将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②、将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B．
（2）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
解析：如图，将6把椅子依次编号为1，2，3，4，5，6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1，3，5”；“1，3，6”；“1，4，6”；“2，4，6”号位置做热坐人，故总数由4=24，故选D.
题型四：定序问题插入法
例4、（1）7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？
根据题意，假设有7个位置，对应7个人，先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的3人，有A74=840种情况，由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况，则共有840×1=840种不同的排法；故答案为：840．
（2）10人身高各不相等排成前后排，每排5人,从左至右身高增加，共有多少排法？
解析：前一排选好5人之后,后一排就是剩下的5人,而且这两排人一旦确定,根据从左到右身高逐渐增加的要求,排法也就确定了所以可能的排法就是10人选5人的选法因此就是C(10,5)
变式4、（1）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（ ）
A．24种 B．60种 C．90种 D．120种
解析：ABCDE五人并排站一排,一共有 6*5*4*3*2*1=120种其中,A在B的左边和右边是一样的,各占一半所以B在A的右边的方法有 120/2=60 种
（2）用0，3，4，5，6这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有（ ）
A．28 B．30 C．36 D．20
答案：C解析：
有3，5两个奇数，2，4，6三个偶数，则先选偶数从3个数中任选1个，两奇一偶用捆绑法，其余的无条件限制，即
题型五：重排问题求幂法
例5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？
解：完成此事共分6步，第一步：将第1名实习生分配到车间有7种不同方案；第二步：将第2名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步乘法计数原理，知共有76种不同方法
变式5、在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.
A.24 B.64 C.81 D.4
解：因为一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么对于冠军的夺取可能是任何一个人，那么每一项比赛的冠军有3种情况，利用分步计数乘法原理得到共有，选C
题型六：排列组合混合问题先选后排法
例6、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解析：计数原理的应用 专题：应用题 排列组合 分析：第一步从5个球中选出2个组成复合元，第二步，再把4个元素装入4个不同的盒内有A44=24种方法
变式6、某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（ ）
A．1860 B．1320 C．1140 D．1020
[解析] 若有甲无乙，C×4！＝480；若有乙无甲，C×4！＝480；若甲乙都有，C×2！×A＝180.所以共有480＋480＋180＝1 140.故选C.
题型七：相同元素问题隔板法
例7、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
用隔板法：把10个运动员分七组，且每组至少一人，则相当于在十个球之间插6个隔板，九个空，6个隔板 即 C9选6=84
变式7、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
答案126用隔板的思维方法解就可以~因为不能有空盒子,所以只能有10-1=9个空位插板需要隔4个板因此结果是9×8×7×6/4!=126有126种装法
题型八：正难反易间接法
例8、将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有？
解析：
变式8、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）
A．6 B．12 C．30 D．36
解答： 解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：1、甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C22=6种．2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有C41=4种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种．综上，由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故选：C
题型九：平均分配问题除序法
例9、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解析：分析：6本书平均分给甲、乙、丙三人的问题可分为两步来解决，先把这6本书分成3堆，每堆2本，再把分好的3堆给甲、乙、丙三人.
解：6本书平均分给甲、乙、丙三人的方法共有CC=15×6=90种.
变式9、（1）将来自四个班级的8名同学（每班2名同学）分到四个不同小区进行社会调查，每个小区2名同学，刚恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级的分派方案有（ ）
A．48种 B．72种 C．144种 D．288种
解析：先从4个班级中选2个，分到4个小区中的2个，（保证恰好有2个小区分派到的2名同学来自同一班级），再从剩下的两个班级中各选一人，分配剩下2个小区的一个，故有C42C42C21C21C21=288种，故选：D
（2）牡丹花会期间，5名志愿者被分配到我市3个博物馆为外地游客提供服务，其中甲博物馆分配1人，另两个博物馆各分配2人，则不同的分配方法共有（ ）
A．15种 B．30种 C．90种 D．180种
题型十：实际操作问题列举法
例10、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个
盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？
解析：5球放4盒，必有一盒2个，其它各1个.捆2个球当一个进行4排列，有C(5,1)*C(5,2)A(4,4)=1200.(2)5全排列-1个全对号入座=5！-1=119.（3）正好2球+正好3球+正好5球=C(5,2)*2+C(5,3)*1+1=31.
变式10、（1）给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 种。
解析：选用3种颜色时，必须是1、5同色，3、4同色，与2进行全排列，涂色方法有C 4 3 *A 3 3 =24种4色全用时涂色方法：是1、5同色或3、4同色，有2种情况，涂色方法有C 2 1 *A 4 4 =48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72．
（2）（2014·安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ C ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
课后作业
1、（2014·汕头一模）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
2、（2016·福建校级模拟）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数共有（ ）种．
A．240 B．180 C．150 D．540
3、（2016春·张掖校级期末）某中学高三年级周六一天有补课．其中上午4节，下午2节．要排语文、数学、英语、物理、化学、生物课各一节，要求上午第一节课不排生物，数学必须排在上午，则不同排法共有（ ）
A．384种 B．408种 C．480种 D．600
4、（2016·太原校级模拟）某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种．
A．24 B．48 C．96 D．114
5、（2016·山东模拟）某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生，若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛，要求既有男生又有女生，则不同选法的种数是（ ）
A．60 B．31 C．30 D．10
6、（2016·沈阳一模）将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）
A．24种 B．28种 C．32种 D．36种
7、（2016·长春校级模拟）现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
8、（2016·汕头模拟）某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（ ）种．
A．27 B．30 C．33 D．36
练习题答案：(1-9):BCBDC BCB
联系客服
