高中数学：常见的不等式证明的三种方法

不等式是高中数学的重要内容，而不等式的证明是不等式内容的重要组成部分。本文总结了常见的不等式证明的三种方法，并用具体的例题加以说明，希望对同学们的学习有所帮助。

一、综合法

综合法是指从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，其特点“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。

例1  已知a，b，c>0，

，求证

。

证明：∵a+b+c=1，

∴

∴

。

说明：①用综合法证明不等式时，要注意应用重要不等式和不等式的性质，要注意公式应用的条件及等号成立的条件；②原题实际上可以加强，改为证明

，因为在上述证明过程中当且仅当

，且a=b=c=

时，等号成立，而当a=b=c=

时

，所以等号取不到。

二、分析法

分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件进而判定这些条件是否具备。其思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

例2  已知a>1，λ>0，求证

。

证明：∵a>1，λ>0

∴

，

，

∵

∴若能证明

，即可证明结论

∵

∴

∴

，

综上所述，可得

三、比较法

比较法有求差比较法（也叫比差法）和求商比较法（也叫比商法）两种，它们的理论依据分别是：①

，

；②当a>0，b>0时，

，

。

例3  证明下列不等式：

（1）

；（2）

（其中a＋b>0）

证明：（1）∵

∴

（2）∵

说明：①用比差法证明不等式的一般步骤是：作差——变形——判断（符号）——结论；②变形时要注意因式分解或配方，以判断差的符号；③具有多项式结构的不等式的证明往往可用比差法。

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