高中数学：一道向量问题的多角度分析

如下图，与的夹角为150°，与的夹角为30°，，用

表示。

分析1：由平面向量的基本定理，设

，通过构造数量积，列方程解得。

解法1：设

（

），两边同时乘以向量得

。

∴

。

由已知得

，即

。①

而与的夹角为150°－30°=120°，同理在等式两边同时乘以向量得

。

∴

由已知得

，即

。②

由①②可得：

分析2：把向量在与方向上分解，构造平行四边形，借助正弦定理求得（如下图所示）。

解法2：以与所在直线为邻边，为对角线作平行四边形

，则

。由已知

，且

（

），与

同向，与

同向，所以

，

。

由正弦定理得：

，即

。

，可得

分析3：向理可以用坐标表示，因此可建立直角坐标系，转化为坐标运算。

解法3：如下图所示，以O为原点，方向为x轴建立直角坐标系xOy，得A（1，0），B（cos150°，sin150°），C（5cos30°，5sin30°）。

由

，得（5cos30°，5sin30°）=

（1，0）+

（cos150°，sin150°）。

，即

，可得

。

上述三种解法，虽然一目了然，但繁简不一。一道向量问题通过多角度的认识，使思维的方法与知识的应用各不相同。一题多思，值得同学们尝试，它有益于知识的对比，更有利于思维批判性的养成。

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