麻省理工线性代数学习-第5讲

1.置换和转置

置换矩阵P，用来完成行交换，可逆矩阵A，解Ax=b主元存在0，则需行交换；置换矩阵，即是行重新排列了的单位矩阵（identity matrix）；

对于n阶矩阵，置换矩阵的数量为n!;

置换矩阵P的性质：

在没有行交换的消元过程中：

A=LU,

若存在行交换的消元过程中：P矩阵将主元交换到合理位置

对于任意可逆矩阵A，均存在PA=LU的形式；

转置矩阵：

对称矩阵：symmetric matrix

如何构造对称矩阵？对于任意矩阵R,

一定是对称矩阵；

2.向量空间和子空间:

向量所必具备的两种运算：向量间加法，向量数乘(标量)；

向量空间：空间表示很多向量，但并不是任意向量的组合都是向量空间；

空间必须满足一定的规则，必须能进行加法和数乘运算(线性组合)；

例如，

   在 2维xy平面中，即采用实数，向量由两个实数表示，二维实向量；

两两相加、数乘，向量仍在中

；

所有向量空间必须包含0向量(满足数乘0)；

=所有二维实向量组成的向量空间，xy平面；

=所有三维实向量组成的向量空间，xyz三维空间；

=所有n维实向量组成的向量空间

    =all column vectors with n real components;

向量空间性质：

      1.对数乘封闭；

      2.对加法封闭；

      即对向量的线性组合是封闭的；

举例，非向量空间例子，

       二维xy平面中第一象限是否是空间？

       1.相加仍在第一象限

        2.数乘负数则不再第一象限；

        第一象限不是空间，对数乘不是封闭的；

取空间某部分是否仍组成空间，满足对向量的线性组合封闭？

        如果满足，则是子空间；

举例空间

，它的向量子空间有哪些？

       1.本身；

       2.穿过原点(0,0)零向量的直线；

       2.零向量(0,0)本身；

       共两个向量子空间；

       注：所有向量空间必须包含0向量(满足数乘0)；

      因此不经过原点的直线不是子空间；

举例空间

，它的向量子空间有哪些？

       1.本身；

       2.经过原点(0,0,0)零向量的平面；

       2.穿过原点(0,0,0)零向量的直线；

       3.零向量(0,0,0)本身；

进一步推广，对于空间

存在n+1种子空间

如何从矩阵中构造子空间？？？

方法1:通过列向量构造，形成重要的子空间，矩阵记作A,列向量属于

；

矩阵的列空间：记作C(A)，所有列向量的线性组合构成子空间；

根据有四种子空间，该列空间属于经过原点的平面；

如果A中两个列向量共线，则列空间属于经过原点的直线；