麻省理工线性代数学习-第9讲

1.线性相关性

注：相关性是针对向量组而言，而不是矩阵；

背景知识：

       假设有一个矩阵A,并准备求解Ax=0，假设矩阵有很多列，n>m,

       即未知量多于方程数，则方程组Ax=0含有非零解；

什么条件下，向量x1,x2,...xn是线性无关的？

如果除零向量组合外，使c1x1+c2x2+...cnxn≠0，仅零向量能等于0，

则线性无关；

该问题等同于（x1,x2...xn是做矩阵A的列向量），

    

线性组合系数相当于方程中的x，是Ax相乘后矩阵A各列向量的系数，即判断方程是否只有唯一解；

即零空间N(A)是否存在零向量；

总结为，

是矩阵A的列向量，如果零空间N(A)只有零向量，则向量组线性无关，r=n；如果零空间存在非零向量，则线性相关；即秩r≤m<n

以上将向量组的线性相关性与矩阵的零空间联系起来；

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2.向量生产空间

何为向量组生产一个空间：

       例如矩阵列向量的所有线性组合生成列空间；

生成一个空间是指，向量组

生成一个空间，这个空间包含这些向量所有的线性组合；既能生成一个空间，同时也是线性无关的向量组，更值得研究；

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3.向量空间的基

向量空间的一组“基”是指，一系列向量

,并具有两大性质：

1. 线性无关；

2. 该向量组生成整个空间；

举例3维空间，找到一组基，三维空间的基，

对于给定的空间，空间中基向量的个数相等；该个数称为空间的维数；

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4.空间的维数

对于给定的空间，空间中基向量的个数相等；该个数称为空间的维数；

线性无关：着眼于线性组合不为0；

生成空间：着眼于所有的线性组合；

空间的基：是一组无关的向量，并生成空间；

空间的维数：同一空间，基向量个数相同，该个数称为空间的维数；

举例，矩阵A的列空间C(A)

列空间的基：很显然四个列向量线性相关，基选择第一和第二列，主列也是前两列，该矩阵的秩也是2，

即矩阵的秩=主列数=矩阵列空间的维数；

即dim(C(A))=r，dim(N(A))=n-r，即取决于自由变量个数（逐次取1）；