——思维方法的衍生法或派生法
元
如若我们研究对象为数字 (如1、2、3、4、5等)那么,这些数字也叫做元素;若我们研究的对象为地名(如:北京、上海、广州、南京等),那么这些地名也一样可叫做元素;若我们研究的对象为字母(如:a、b、c、d等),那么这些字母也可叫做元素;若我们研究的对象为分子(如:Cl2、Br2、H2、HCl等),那么这些分子也一样可叫做元素;若我们研究的对象为一个人(如:张三、李四、王五等),那么这些人也可叫做元素……
那么,一般地说,从 n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个排列。
例如:已知 a、b、c、d这四个元素,写出每次取出3个元素的所有排列。
对于初学者可以先画下图来算出:
数学中有一个排列数公式:
从 n个不同元素中取出m(m <- n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号Pnm表示,(P是“排列”一词的英文Permatation的第一个字母),在数学课本中根据乘法原理可推出排列数的公式为:
Pmn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)
公式中的 n,m∈N,且m ≤ n
例如:从 8个元素中每次取3个元素出来排列,所得的排列数则为
P38=8×(8-1)(8-2)
=8×7×6
=336 (种)
例如:从 8个元素中每次取5个元素出来排列所得的排列数为
P58=8×(8-1)×(8-2)×(8-3)×(8-4)
=8×7×6×5×4
=6720
例如:从 8个元素中每次取2个元素出来排列,所得的排列数为
P28=8×(8-1)=8×7=56
例如:从 8个元素中每次取4个元素出来排列,所得的排列数为
P48=8×(8-1)×(8-2)×(8-3)
=8×7×6×5
=1680
在排列数公式中,当 m=n时,有:
Pnn=n(n-1)(n-2)……3×2×1
这表明, n个不同元素全部取出来排列的排列数等于自然数1到n的连乘积。n个不同元素,全部取出的一个排列叫做n个不同元素的一个全排列。自然数1到n的连乘积叫做n的阶乘,用n!表示,所以n个不同元素的全排列数公式则为:
Pnn=n!
前面所讲的排列数公式可作如下变形:
Pmn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)
P88=8×7×6×5×4×3×2×1
=40320
从上述几个例子的分析可见,从 8个元素中分别取2、3、4、5、6、7、8个出来排到所得的排列数的总和高达数万。
要是我们将几个思维法进行排列,也会得出许许多多不同思维顺序的新思维法;要是我们思考问题时使用几种思维法去思维,若这几种思维法的使用先后顺序不同,也会产生许许多多不同的思维效果。可见,排列是一种很重要的方法。
一般地说,从 n个不同元素中,任取m(m ≤ n)个元素出来拼成一组,就叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
从 n个不同元素中取出m(m ≤ n)个元素的所有组合的个数,就叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cmn表示,C是“组合”的英文Combination的第一个字母。
例如,前面讲到的从 a、b、c、d这四个元素中取3个元素出来的排列与组合的关系如下:组合数
第一步:从 4个不同元素中取出3个元素作组合,共有C34=4个组合;
第二步:对每一个组合中的 3个不同元素作全排列,各有P33=6个排列。
这样,再根据乘法原理即得:
P34=C34×P33;而从上式得:
第一步:先求出从这 n个不同的元素中取出m个元素的组合数为Cmn;
第二步:求每一个组合中 m个不同元素的全排列数Pmm。根据乘法原理则得到:
Pmn=Cmn×Pmm
因此而得:
注意:这里的 n,m∈N,且m ≤ n,这个公式就叫做组合数公式。又因为
所以上述组合数公式还可以写成:
因此有公式: Cnm=Cn-mn(这为组合数的性质定理1)
(注意:为了使这个公式在n=m时也成立,我们规定C0n=1)
这是组合数的其中一个性质,此外,组合数还有另一个性质为: Cmn+1=Cmn+Cm-1n(这为组合数的性质定理2)。
例如:计算 C98100和C320+C220
解:由组合数的性质定理 1可得:
而由组合数的性质定理 2可得:
下面我们就详细算一算从 5个不同元素中每次分别取1、2、3、4、5种元素出来组合所得的组合数:
这 5个不同元素进行不同的组合所得的组合数共为5+10+10+5+1=31我们从5种不同元素中每次分别取出1、2、3、4、5种元素出来排列所得的排列数分别为:
P15=5
P25=5×4=20
P35=5×4×3=60
P45=5×4×3×2=120
P55=5×4×3×2×1=120
这样从 5种不同元素中每次每1、2、3、4、5种元素出来排列所得的排列总数为:5+20+60+120+120=325。
从上分析可见, 5种不同元素进行不同形式的组合的组合数为31,排列数为325。若是从更多的元素中进行不同形式的组合和排列,其组合数和排列数都将非常之巨大。要是我们将排列组合方法真正运用到学习、科学研究和创造发明活动中去,其效果之巨大必定会使人难以想象。
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