知识摘录：排列组合原理

——思维方法的衍生法或派生法

    我们在高中数学中已经学了排列组合的基础知识了，因此大家对“排列组合”这概念应该不会是陌生的。宇宙中的万事万物严格地说就是元素、分子、细胞等基本单元排列组合的结果，如所有分子都是由原子排列组合而成的，复杂的化学反应也是由简单的化学反应排列组合而成的；所有生物都是由不同的细胞排列组合而成的，可见排列组合知识是多么的重要 !

　　　　元   素
　　    通常人们把被取的对象 (不管它是什么)叫做元素。
　　　 如若我们研究对象为数字 (如1、2、3、4、5等)那么，这些数字也叫做元素；若我们研究的对象为地名(如：北京、上海、广州、南京等)，那么这些地名也一样可叫做元素；若我们研究的对象为字母(如：a、b、c、d等)，那么这些字母也可叫做元素；若我们研究的对象为分子(如：Cl２、Br2、H2、HCl等)，那么这些分子也一样可叫做元素；若我们研究的对象为一个人(如：张三、李四、王五等)，那么这些人也可叫做元素……

     排   列

　　　那么，一般地说，从 n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个排列。
　　　 例如：已知 a、b、c、d这四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列。
　　　 对于初学者可以先画下图来算出：

      看上图 V所指的字母及第二排字母三个排成一列即可得到下列排列(这就是a、b、c、d这四个元素中每次取3个元素所得的所有排列)：

     有共 24个排列，这个数值24是可以根据乘法原理算出来的。数学中的乘法原理为：做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法……，做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m₂×m₁×m₃×……×m_n种不同的方法。据此从a、b、c、d这四个元素中每次取出三个排成三位数的方法共有N＝４×３×２＝２４种。
　　　 数学中有一个排列数公式：
　　　 从 n个不同元素中取出m(m ＜_- n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号P_n^m表示，(P是“排列”一词的英文Permatation的第一个字母)，在数学课本中根据乘法原理可推出排列数的公式为：    
　　　 P^m_n＝n(n－１）(n－２）……(n－m＋１）
　　　 公式中的 n,m∈N,且m ≤ n
　　　 例如：从 8个元素中每次取3个元素出来排列，所得的排列数则为
Ｐ³₈＝８×（８－１）（８－２）
＝８×７×６
＝３３６ (种)
　　　 例如：从 8个元素中每次取5个元素出来排列所得的排列数为
Ｐ⁵₈＝８×（８－１）×（８－２）×（８－３）×（８－４）
＝８×７×６×５×４
＝６７２０
　　　 例如：从 8个元素中每次取2个元素出来排列，所得的排列数为
Ｐ²₈＝８×（８－１）＝８×７＝５６
　　　 例如：从 8个元素中每次取4个元素出来排列，所得的排列数为
P⁴₈＝８×（８－１）×（８－２）×（８－３）
＝８×７×６×５
＝１６８０
　　　 在排列数公式中，当 m＝n时，有：
　　　 Ｐⁿ_n＝n（n－１）（n－２）……３×２×１
　　　 这表明， n个不同元素全部取出来排列的排列数等于自然数1到n的连乘积。n个不同元素，全部取出的一个排列叫做n个不同元素的一个全排列。自然数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!表示，所以n个不同元素的全排列数公式则为：
　　　　　　 Ｐⁿ_n＝n!
　　　 前面所讲的排列数公式可作如下变形：
Ｐ^m_n＝n（n－１）（n－２）……（n－m＋１）

  因此排列数公式还可写成下列形式：

  (注意：为了使这个公式在m＝n时也成立，我们规定0!＝1，这时Ｐnn＝n!)例如，从8个元素中全部取出来的排列数则为：8的阶乘。
　　 P⁸₈＝８×７×６×５×４×３×２×１
＝４０３２０
　　　从上述几个例子的分析可见，从 8个元素中分别取2、3、4、5、6、7、8个出来排到所得的排列数的总和高达数万。
　　　要是我们将几个思维法进行排列，也会得出许许多多不同思维顺序的新思维法；要是我们思考问题时使用几种思维法去思维，若这几种思维法的使用先后顺序不同，也会产生许许多多不同的思维效果。可见，排列是一种很重要的方法。
      组   合
　　　一般地说，从 n个不同元素中，任取m(m ≤ n)个元素出来拼成一组，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
　　　从 n个不同元素中取出m(m ≤ n)个元素的所有组合的个数，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示，C是“组合”的英文Combination的第一个字母。
　　　例如，前面讲到的从 a、b、c、d这四个元素中取3个元素出来的排列与组合的关系如下：组合数           排列数

     　由上分析可以看出，对于每一个组合都有 6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取3个元素出来排列的排列数为P³₄，可按下列两步来考虑。
　　　 第一步：从 4个不同元素中取出3个元素作组合，共有C³₄＝４个组合；
　　　 第二步：对每一个组合中的 3个不同元素作全排列，各有P³₃＝6个排列。
　　　这样，再根据乘法原理即得：

　　　P³₄＝Ｃ³₄×Ｐ₃³；而从上式得：

      一般地说，求从 n个不同元素中取出m个元素排列的排列数为P^m_n，可按下列两步来考虑：
　　　第一步：先求出从这 n个不同的元素中取出m个元素的组合数为C^m_n；
　　　 第二步：求每一个组合中 m个不同元素的全排列数P^m_m。根据乘法原理则得到：
　　　　　 P^m_n＝Ｃ^m_n×Ｐ^m_m

因此而得：

注意：这里的 n,m∈N，且m ≤ n，这个公式就叫做组合数公式。又因为
所以上述组合数公式还可以写成：

        例如：从 8个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合数为：

    例如：从 4个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合数为：

    例如：从 8个不同元素中每次取5个元素出来组合所得的组合数为：

       显见，这个组合数与前面从 8个不同元素中每取3个元素出来组合所得的组合数是相等的，即C⁵₈＝Ｃ³₈，同理C¹₄＝Ｃ³₄、C₆²＝C⁴₆、C₅²＝C³₅、……
　　　 因此有公式： C_n^m＝C^n-m_n(这为组合数的性质定理1)
　　　 (注意：为了使这个公式在n＝m时也成立，我们规定C⁰_n＝１)
　　　 这是组合数的其中一个性质，此外，组合数还有另一个性质为： C^m_n＋１＝C^m_n＋C^m-1_n(这为组合数的性质定理2)。
　　　例如：计算 C⁹⁸₁₀₀和C³₂₀＋C²₂₀
　　　 解：由组合数的性质定理 1可得：

而由组合数的性质定理 2可得：

下面我们就详细算一算从 5个不同元素中每次分别取1、2、3、4、5种元素出来组合所得的组合数：

这 5个不同元素进行不同的组合所得的组合数共为5＋１０＋１０＋５＋１＝３１我们从5种不同元素中每次分别取出1、2、3、4、5种元素出来排列所得的排列数分别为：
P¹₅＝５
P²₅＝５×４＝２０
P³₅＝５×４×３＝６０
P⁴₅＝５×４×３×２＝１２０
P⁵₅＝５×４×３×２×１＝１２０
　　　 这样从 5种不同元素中每次每1、2、3、4、5种元素出来排列所得的排列总数为：5＋２０＋６０＋１２０＋１２０＝３２５。
　　　 从上分析可见， 5种不同元素进行不同形式的组合的组合数为31，排列数为325。若是从更多的元素中进行不同形式的组合和排列，其组合数和排列数都将非常之巨大。要是我们将排列组合方法真正运用到学习、科学研究和创造发明活动中去，其效果之巨大必定会使人难以想象。