高考数学压轴题，都是比较重视思路，而一般不需要太大的运算量的。这个思路分成两个部分，一部分是套路，一部分需要一定的创新思维。套路这部分就是需要求三次以上的导数，有些变相的需要求三阶导数。而创新的这部分才是真正考察考生的能力的。解题经验多了，也能找到大概的方向。下面是2022年高考数学全国甲卷的压轴题，围绕函数的零点进行讨论的难题，大家可以从分析和解题过程中，总结经验，内化成自己的数学探究能力。
已知函数f(x)=e^x/x-lnx+x-a.
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1,x2, 则x1x2<1.
分析：(1)第一小题是送分题，与函数的极值点有关。求导就是了。然后分析单调区间，找到极值点，求得极值，就能得到答案了。
(2)第二小题老黄有两种思路，第一种思路是把x1x2看作一个函数，列得关于某个变量(x1或x2或其它)的函数表达式，就可以用单调性来解决了。老实说，这种思路有点老土，因此也大概率是行不通的，反正这个思路老黄试了一下，没有能证明结论。探究数学失败是很正常的，关键是要快速转换思路，找到正确的方向。
第二种思路就有一点创新性了。就是证明f(1/x1)与f(x2)的关系，或f(1/x2)与f(x1)的关系，利用函数的单调性就可以证明结论了。因为f(x1)=f(x2)=0，所以一开始，老黄想直接求f(1/x1)或f(1/x2)的符号性质，但这也是行不通的。正确的方法应该求f(1/x1)-f(x2)或f(1/x2)-f(x1)的符号性质。这样就行得通了。你瞧，减还是不减去这个“0”的结果还是完全不同的哦。比如列f(1/x2)-f(x1)=f(1/x2)-f(x2)，就能够得到一个关于x2的新函数。可以通过二次求导，得到g(x2)=f(1/x2)-f(x2)的单调性，从而判断g(x2)的符号性质。
理想很美好，现实很骨感，实际还要进行第三次求导，其中包括一个“二阶求导”，也证实了老黄前面总结的，高考数学压轴题的套路是要进行“三次以上的求导”。再难一点的，就要求四次导数，而且是按第(1)小题一次，第(2)小题三次分配的，一般不会出现求五次导数的情况。
解：(1)f’(x)=e^x/x-e^x/x^2-1/x+1=(e^x/x+1)(1-1/x) (x>0).
当x>1时，f’(x)>0，f(x)单调增；
当0<x<1时，f’(x)<0，f(x)单调减；
∴f(1)=e+1-a最小.
即e+1-a≥0，a≤e+1.
(2)若f(x)有两个零点，不妨设0<x1<1<x2,
f(1/x2)-f(x2)=x2e^(1/x2)-e^(x2)/x2+2lnx2+1/x2-x2，
记 g(x)=xe^(1/x)-e^x/x+2lnx+1/x-x，则
g’(x)=(e^(1/x)-e^x/x+1/x-1)(1-1/x),
记 h(x)=e^(1/x)-e^x/x+1/x-1, 则
则h’(x)= (e^(1/x)+(x-1)e^x+1)/x^2<0,
∴h(x)<h(1)=0, ∴g(x)<g(1)=0,
即 f(1/x2)-f(x2)<0, ∴f(1/x2)<f(x2)=f(x1).
由f(x)在(0,1)上是减函数，有1/x2>x1，即x1x2<1.
上面的图像仅供帮助理解，不需要在解题过程中画出来。
你觉得这道高考数学压轴题，是什么水平呢？
联系客服
