雷达信号处理中I/Q正交信号不平衡补偿算法（含matlab代码）

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1.正交信号

什么是正交信号？

定义：若信号

x(t)

与

y(t)

在

[0-T]

内，有：

\int_0^T x(t) y(t) d t=0

则称信号

x(t)

与

y(t)

在

[0-T]

内正交。通俗点讲：正交是针对波形而言的，如果两个波形在一段时间内内积为零，则他们在这段时间内正交。举个例子，令

x(t) = sin(\theta)

和

y(t) = cos(\theta)

，则：

\int_0^{2\pi} cos(\theta) sin(\theta)d \theta=0

那么，

sin(x)

和

cos(x)

就是正交信号。换句话说，所谓两个信号正交，就是这两个信号的相位相差90°，而相位可以看作是时间，因此在时间上，两个信号相对延迟时间为

\pi/2

。

正交信号，也称为复信号，被用于数字信号处理的很多领域，如：数字通信系统、雷达系统、无线电测向中对到达时间差异的处理、相关脉冲测量系统、天线波束形成的应用、信号边带调制器等。实际表示复数变量使用实部和虚部两个分量，正交信号也一样，必须用实部和虚部两路信号来表示它，两路信号传输会带来麻烦，实际信号的传输总是用实信号，而在信号处理中则用复信号进行处理（记住：传输永远是实信号，处理一有实信号，也有复信号，具体看情况）。

2.使用正交信号的好处

关于在通信、雷达等领域采用正交信号的优势，总结如下：

图1 正交采样

（1）在通信系统中，可以非常方便地通过星座映射实现数字信号调制，甚至是高阶数字调制，从而得到高数据吞吐量。同样，在接收端也可以根据符号映射解调出数据，这些是模拟调制远远不及的。

（2）I和Q两路均可携带信息，提高了频带的利用率。例如，假设I路带宽为B，则上变频后带宽翻倍，Q路也类似。如果只有一路信号，假设带宽也为B，调制后带宽也翻倍。相比之下，IQ调制的频带利用率（相对利用率）更高。

（3）IQ调制采用零中频架构，经过调制之后无需使用滤波器抑制镜频边带，而如果只采用一路信号，比如具有一定中频的信号，经过上变频后，会存在较强的边带分量，还需要滤波器进行镜频抑制。

（4）对于数字通信，在基带处理带通信号，可以使得有效带宽减少一半，进而降低AD的采样率的要求，另外FFT的处理能力等都有改善，比如在OFDM系统中transmitter中在基带完成的IFFT block等。

（5）保留相位信息，可以进行coherent detection（相干检波）。

（6）增大接收机动态范围。

（7）噪声系数会得到3dB的改善，证明过程如下：

在雷达的接收端，射频调制信号可经过模拟IQ解调器解调，经过低通滤波器之后分别得到模拟 I 和 Q 信号，数学推导如下：

\begin{aligned} &i(t) \cdot \cos \left(\omega_c t\right) \leftrightarrow \frac{1}{2 \pi} \cdot I(\omega) *\left\{\pi \cdot\left[\delta\left(\omega+\omega_c\right)+\delta\left(\omega-\omega_c\right)\right]\right\}=\frac{1}{2} \\ &\cdot\left[I\left(\omega+\omega_c\right)+I\left(\omega-\omega_c\right)\right] \\ &q(t) \cdot \sin \left(\omega_c t\right) \leftrightarrow \frac{1}{2 \pi} \cdot Q(\omega) *\left\{j \pi \cdot\left[\delta\left(\omega+\omega_c\right)-\delta\left(\omega-\omega_c\right)\right]\right\}=\frac{1}{2} j \\ &\cdot\left[Q\left(\omega+\omega_c\right)-Q\left(\omega-\omega_c\right)\right] \end{aligned}

其中，虚数j的存在表明，两部分吸纳后之间的载波存在90°的相差，二者保持正交。下图给出了IQ解调器的整个图解过程：

同时这里我也给出正交采样的缺点：正交采样需要两条信号链路，因此硬件设计变得复杂，成本也会上升。通过上图的中间部分可以明显看到，IQ解调的过程中，在频谱搬移时出现了正负频谱叠加的情况，因此其功率增加倍，信噪改善3dB（约为一半）。

关于雷达为什么要使用复基带架构，可以阅读这篇文章：（推荐必读）为什么FMCW毫米波雷达系统中要使用复基带架构？
3.正交不平衡因素

由于I/Q两条支路的器件特性的不完全匹配，比如说，LO的I/Q特性不完全平衡、I/Q支路各自的低通滤波器的频率响应不完全匹配等等，会导致I/Q两相的相位和幅度通常并不完全相同。通俗点说，就是两条信号链路存在微小的差异，使得两路信号的幅度和相位存在一点小小的差异，从而引起I/Q两路在相位上并不是完全的正交。

理论证明如下，为了方便推导，我们采用单频信号。在不考虑噪声等情况下，假设原始单频信号的理想模型为：

x(t)=\exp (j \omega t)=\cos (\omega t)+j \cdot \sin (\omega t)

则到达接收机输入端的信号模型为：

y(t)=\operatorname{Real}\left(x(t) * e^{i \omega_c t}\right)=\cos (\omega t) * \cos \left(\omega_c t\right)-\sin (\omega t) * \sin \left(\omega_c t\right)

为了不失一般性，需要对相位和幅度都进行归一化，则理想的接收机将输出与发端相同的复单频信号

x(t)

，但由于接收机的非理想特性，通常实际的接收机输出的基带信号模型可以表示为：

\begin{aligned} I^{\prime}(t) &=\alpha \cdot \cos (\omega t)+\beta_I \\ Q^{\prime}(t) &=\sin (\omega t+\phi)+\beta_Q \end{aligned}

其中，

\beta_I、\beta_Q

分别表示I\Q两路的直流分量，

\phi

则表示I/Q之间的相位差，

\alpha

表示I/Q之间的幅度不平衡，上述公式只是一种形式，还有其他的表达形式，比如：

\begin{aligned} &I=A \cos (\theta)+\gamma \\ &Q=(1+\varepsilon) A \sin (\theta+\phi)+\kappa \end{aligned}

其中，A是幅度，

\varepsilon

是幅度失配因子，

\phi

是相位差（相位失配因子），

\gamma、\kappa

是直流分量，在本文中，我采样第二种表达方式。I/Q两相各自的直流偏置可以通过分别估计I/Q的均值得到，然后消除。在MATLAB中代码为：

I = I-mean(I)Q = Q-mean(Q)

4.正交不平衡的影响

存在镜像的干扰信号，如图2所示。

图2 镜像干扰信号

（1）在通信系统中，在基带处理信号时提高误码率。

（2）在雷达系统中会造成虚假目标干扰。雷达信号处理过程中，对空中目标进行检测与跟踪存在失配的情况下，会产生一个虚假目标信号，其频率是实际多普勒频率的负值，且存在直流分量等效于零多普勒处的虚假目标信号，造成虚警。

5.如何校正?（去除镜像干扰）

从模拟域来说，优化硬件电路可以改善Ｉ／Ｑ不平衡带来的影响，包括选用更好的混频器、放大器和低通滤波器，优化ＰＣＢ电路等方法，尽量保证Ｉ路和Ｑ路的平衡。但这种方法会大大提高成本，并且无法完全消除不平衡。

采用数字补偿技术是目前通用的方法。它对接收到的基带信号进行数字补偿，大大降低了Ｉ／Ｑ不平衡带来的镜像信号影响。

\begin{aligned} &I=A \cos (\theta)+\gamma \\ &Q=(1+\varepsilon) A \sin (\theta+\phi)+\kappa \end{aligned}

对于我们希望得到的信号为：

I^{\prime}=A \cos (\theta)

Q′=Asin(\theta)

于是我们可以建立IQ和I’Q'之间的线性关系为：

\begin{aligned} &\left[\begin{array}{c} I^{\prime} \\ Q^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \Lambda \cos \theta \\ \Lambda \sin \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{array}\right]\left[\left(\begin{array}{c} I \\ Q \end{array}\right)-\left(\begin{array}{l} \gamma \\ \kappa \end{array}\right)\right]= &\left[\begin{array}{l} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{array}\right]\left[\left(\begin{array}{c} \Lambda \cos \theta \\ \Lambda(1+\varepsilon) \sin (\theta-\phi) \end{array}\right)\right] \end{aligned}

根据上述公式， a11=1，a12=0，则利用三角等式可以得到：

a_{21}=\tan \phi, a_{22}=\frac{1}{(1+\varepsilon) \cos \phi}

\left[\begin{array}{c} I^{\prime} \\ Q^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \tan \phi & \frac{1}{(1+\varepsilon) \cos \phi} \end{array}\right]\left[\left(\begin{array}{c} I \\ Q \end{array}\right)-\left(\begin{array}{l} \gamma \\ \kappa \end{array}\right)\right]

我们令：

P=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \tan \phi & \frac{1}{(1+\varepsilon) \cos \phi} \end{array}\right]

接下来，估计

\phi, \varepsilon, \kappa, \gamma

就可以解出方程了。其中，

\gamma、\kappa

通过求直流分量可以得到，令

\gamma=d_i, \kappa=d_q

计算方式如下：

\begin{aligned} &d_i=1 / N \sum_{i=0}^{n-1} x_i \\ &d_q=1 / N \sum_{i=0}^{q-1} x_q \end{aligned}

而对幅度和相位误差的估计，可以基于信号自身的统计特性进行校准，记住是统计特性。当需要校准的信号具有如下的期望统计特性时：

\begin{aligned} &E\left\{I^{\prime}(n) Q^{\prime}(n)\right\}=0 \\ &E\left\{I^{\prime 2}(n)\right\}=E\left\{Q^{\prime 2}(n)\right\} \end{aligned}

意思就是说我们希望得到的信号的期望是上述公式表示的，有了这个先决条件我们就可以去估计幅度和相位误差值。那么，对需要校准的信号进行类似的处理（这里不考虑直流分量）：

\begin{aligned} &E\left\{I^2(n)\right\}=E\left\{I^{\prime 2}(n)\right\} \\ &E\left\{Q^2(n)\right\}=(1+\varepsilon)^2 E\left\{Q^{\prime 2}(n)\right\} \\ &E\{I(n) Q(n)\}=-(1+\varepsilon) \sin \phi E\left\{I^{\prime 2}(n)\right\} \end{aligned}

于是，可以估计出幅度和相位误差值为：

\begin{aligned} &\varepsilon=\sqrt{\frac{E\left\{Q^2(n)\right\}}{E\left\{I^2(n)\right\}}} -1\\ &\phi=-\arcsin \frac{E\{I(n) Q(n)\}}{\sqrt{E\left\{I^2(n)\right\} E\left\{Q^2(n)\right\}}} \end{aligned}

得到幅度和相位误差值后我们就可以构造P矩阵了，因此就能够解出线性方程组。

6.MATLAB代码

这里采用一个单频信号，在FMCW雷达中，通常单频信号则代表目标所在的距离，因此去除镜像干扰非常重要。

clc;clear all;close all;%% fsc = 1.0e6;   % signal frequencyfs  = 20e6;    % sampling frequencyfc  = 2.5e6;   % carrier frequencyt   = [0:1/fs:0.0001]; % time
% IQ imbalance parametersphiDegree = 10; % phase imbalance in degreesalpha    = 1.3;% amplitude imbalanceavg=1; k=1;
I_before_correction  = cos(2*pi*fc*t)+avg;Q_before_correction  = (1+alpha)*cos(2*pi*fc*t+phiDegree*pi/180) +k;signal_IQ_before = I_before_correction+Q_before_correction*1j;
figure(1);pwelch(signal_IQ_before,  [],[],[],fs);title('Spectrum at Rx baseband after I/Q correction');%求均值I_before_correction =I_before_correction-mean(I_before_correction);Q_before_correction=Q_before_correction -mean(Q_before_correction);
%估计参数e = sqrt(mean(Q_before_correction.*Q_before_correction)/mean(I_before_correction.*I_before_correction))-1;phi = -asin(mean(I_before_correction.*Q_before_correction)/sqrt(mean(I_before_correction.*I_before_correction)*mean(Q_before_correction.*Q_before_correction)));%P矩阵求解P = [1,0;tan(phi),1/((1+e)*cos(phi))];
%计算IQIQ = P*[I_before_correction;Q_before_correction];
%重组信号I =IQ(1,:);Q =IQ(2,:);signal_IQ = I+Q*1j;%图形绘制figure();pwelch(signal_IQ,  [],[],[],fs);title('Spectrum at Rx baseband after I/Q correction');

结果对比如图3所示。

图3 抑制镜像干扰

参考资料

[1]周翔,吕幼新.正交通道中I/Q不平衡估计与补偿研究[J].雷达科学与技术,2017,15(01):8-12.
[2]接收机IQ不平衡：估计和纠正 (Rx IQ imbalance: Estimation and Correction)[3]正交采样（复频率域角度）_lwd_up的博客-CSDN博客_正交采样
[3]https://zhuanlan.zhihu.com/p/502661797

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1.正交信号

关于雷达为什么要使用复基带架构，可以阅读这篇文章：（推荐必读）为什么FMCW毫米波雷达系统中要使用复基带架构？3.正交不平衡因素

4.正交不平衡的影响

6.MATLAB代码

参考资料

关于雷达为什么要使用复基带架构，可以阅读这篇文章：（推荐必读）为什么FMCW毫米波雷达系统中要使用复基带架构？
3.正交不平衡因素