作者：Kevin Hartnett 2021-7-19 译者：zzllrr小乐 2021-7-24
数学界最伟大的项目收到了一份难得的礼物，它以2月份发表的350页的庞大论文的形式出现，将改变世界各地的研究人员对该领域一些最深层次问题的研究方式。这个工作成果塑造了一个新的几何对象，实现了一个关于几何与数论之间关系的大胆梦想。
“这确实开辟了大量的可能性。他们的方法和结构非常新颖，有待进一步探索，”密歇根大学的Tasho Kaletha说。
这项工作是巴黎Jussieu数学研究所的Laurent Fargues（洛朗·法格）和波恩大学的Peter Scholze（彼得·舒尔茨） 合作完成的。它在长期运行的“朗兰兹纲领”中开辟了一条新战线，该计划旨在将数学的不同分支——如微积分和几何——联系起来，以回答一些关于数字的最基本问题。
他们的论文实现了这一愿景，为数学家提供了一种全新的思考方式，以思考几个世纪以来一直启发和困惑他们的问题。
Fargues 和 Scholze 工作成果的中心是一个重新焕发活力的几何对象，称为 Fargues-Fontaine 曲线。它由 Fargues 和 Jean-Marc Fontaine 于 2010 年左右首次发展，后者在 2019 年因癌症去世之前一直是巴黎第十一大学（Paris-Sud University）的教授。十年后的现在，该曲线才达到最高形式。
“当时他们知道 Fargues-Fontaine 曲线很有趣，也很重要，但不知道是什么方式，”慕尼黑工业大学的Eva Viehmann说。
这条曲线可能仍然局限于被发明的数学技术角落，但在 2014 年涉及 Fargues 和 Scholze 的事件将其推向了该领域的中心。在接下来的七年中，他们制定了使法格曲线适应 Scholze 理论所需的基本细节。最终的结果并没有太多的桥梁连接数论和几何，而是让它们之间的地面坍塌。
“这是两个不同世界之间的某种虫洞，”Scholze 说。“他们真的只是通过不同的镜头以某种方式变成了同一件事。”
根的收获
朗兰兹纲领是一个庞大的研究愿景，从一个简单的问题开始：找到多项式方程的解，如x² − 2 = 0 和x⁴ − 10 x² + 22 = 0。求解它们意味着找到多项式的“根” ，即X的值，使多项式等于零。到 1500 年代，数学家已经发现了用于计算最高幂为 2、3 或 4 的多项式根的简洁公式。然后他们寻找方法来识别变量 5 次幂及以上的多项式的根。但是在 1832 年，年轻的数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）发现搜索不会有结果，证明没有通用的方法来计算高次多项式的根。
不过，伽罗瓦并没有就此止步。在 1832 年 20 岁的决斗中去世前几个月，伽罗瓦提出了多项式解的新理论。他没有精确计算根——这在大多数情况下无法完成——他提议研究根之间的对称性，他将其编码在一个新的数学对象中，最终称为伽罗瓦群。
在x² − 2的例子中，伽罗瓦群没有明确说明根，而是强调这两个根（无论它们是什么）就代数定律而言是彼此的镜像。
“数学家不得不远离公式，因为通常没有公式，”斯坦福大学的Brian Conrad说。“计算伽罗瓦群是计算根之间关系的某种度量。”
在整个 20 世纪，数学家设计了研究伽罗瓦群的新方法。一个主要的策略是创建一个字典，在群和其他对象之间进行翻译——通常是来自微积分的函数——并研究这些作为直接处理伽罗瓦群的代理。这是朗兰兹纲领的基本前提，它是通过这些类型的翻译研究伽罗瓦群——实际上是多项式——的广阔视野。
朗兰兹纲领始于1967年，当时（得名于）罗伯特·朗兰兹，写了一封信给名为韦依（André Weil）一个著名的数学家。朗兰兹提出应该有一种方法将每个伽罗瓦群与一个称为自守形式的对象相匹配。虽然伽罗瓦群出现在代数中（反映你使用代数求解方程的方式），但自守形式来自一个非常不同的数学分支，称为分析，它是微积分的增强形式。20 世纪上半叶的数学进展已经确定了两者之间的足够相似之处，使朗兰兹怀疑存在更彻底的联系。
伦敦帝国理工学院的Ana Caraiani说：“这些性质截然不同的对象以某种方式相互交流，这很了不起。”
如果数学家能够证明所谓的朗兰兹对应，他们就可以自信地使用微积分的强大工具研究所有多项式。所猜想的关系是如此基础，以至于它的解也可能涉及数论中许多最大的未解决问题，包括百万美元千禧年奖中的三个问题：黎曼假设、BSD 猜想和霍奇猜想。
考虑到利害关系，几代数学家都被激励加入这项工作，将朗兰兹最初的猜想发展为当今该领域最大、最广泛的项目。
“朗兰兹纲领是一个猜想网络，几乎涉及纯数学的每个领域，”Caraiani 说。
来自形状的数字
从 1980 年代初期开始，弗拉基米尔·德林菲尔德（ Vladimir Drinfeld）和后来的亚历山大·贝林森(Alexander Beilinson)提出应该有一种方法来用几何术语解释朗兰兹的猜想。数论和几何之间的转换通常很困难，但是当它起作用时，它可以解决问题。
举一个例子，关于一个数的一个基本问题是它是否有重复的质因数。数字 12 可以：它分解为 2 × 2 × 3，其中 2 出现两次。数字 15 没有（它被分解为 3 × 5）。
一般来说，没有快速的方法知道一个数字是否有重复因子。但是有一个类似的几何问题要容易得多。
多项式具有许多与数字相同的属性：可以对它们进行加、减、乘和除。甚至还有一个关于多项式是“素”的概念。但与数字不同的是，多项式具有清晰的几何外观。你可以绘制他们的解并研究这些图表以获得有关它们的见解。
例如，如果图形在任何一点与x轴相切，你就可以推断出多项式具有重复因子（正好在相切点处指示）。这只是一个模糊的算术问题如何在转换为多项式类似物后获得视觉意义的一个例子。
“你可以绘制多项式。你不能绘制一个数字。当你绘制一个 [多项式] 时，它会给你一些想法，”康拉德说。“而数字只是数字。”
“几何”朗兰兹纲领，正如后来被称为的那样，旨在寻找具有可以代表朗兰兹猜想中的伽罗瓦群和自守形式的性质的几何对象。通过使用几何工具在这个新环境中证明类似的对应关系可以让数学家对原始朗兰兹猜想更有信心，并可能提出有用的思考方式。这是一个美好的愿景，但也有点空灵——有点像说如果你只有一台时间机器，你就可以穿越宇宙。
“制作在数字设定中起到类似作用的几何对象要困难得多，”康拉德说。
因此几十年来，几何朗兰兹纲领与原始纲领相距甚远。两人被同一个目标所激励，但他们涉及的对象是如此根本不同，以至于没有真正的方法可以让他们彼此交谈。
“算术人员似乎对 [几何朗兰兹纲领] 感到困惑。他们说这很好，但与我们的担忧完全无关，”Kaletha 说。
然而，Scholze 和 Fargues 的新工作终于实现了寄托在几何朗兰兹纲领上的希望——通过找到第一个形状，其属性直接与朗兰兹最初的关注点联系起来。
舒尔茨的绝技
2014 年 9 月，Scholze 在加州大学伯克利分校教授一门特殊课程。尽管只有26岁，但他已经是数学界的传奇人物。两年前，他完成了他的论文，在论文中他阐明了一种基于他发明的称为完美胚空间(perfectoid spaces)的对象的新几何理论。然后他使用这个框架解决了数论中称为权重单项猜想的部分问题。
但比特定结果更重要的是围绕它的可能性感觉——不知道有多少数学中的其他问题可能会产生这种尖锐的新观点。
Scholze课程的主题是他的完美胚空间理论的更广泛版本。数学家们坐满了小研讨室的座位，他们沿着墙壁排成一排，然后涌到走廊里听他说话。
“每个人都想去那里，因为我们知道这是革命性的东西，”德克萨斯大学奥斯汀分校的大卫·本-兹维（David Ben-Zvi）说。
Scholze 的理论基于称为p进制（p-adic）的特殊数字系统。p进中的“p”代表“素数”，就像在素数中一样。对于每个素数，都有一个唯一的p进系统：2进、3进、5进等等。一个多世纪以来，P进数一直是数学的核心工具。它们作为更易于管理的数字系统非常有用，可以在其中研究出现在有理数（可以写为正整数或负整数的比率的数字）中的问题，相比之下，这些问题很笨拙。
p进数的优点是它们每个都只基于一个素数。这使得它们比有理数更直截了当，结构也更明显，有理数有无穷多个素数，其中没有明显的模式。数学家们经常试图首先理解p进制中关于数字的基本问题，然后将这些课程带回他们对有理数的研究。
“p进数是进入有理数的一个小窗口，”Kaletha 说。
所有数系都有几何形式——例如，实数采用线的形式。Scholze 的完美胚空间为p进数提供了一种新的、更有用的几何形式。这种增强的几何学使p进数成为探索基本数论现象（例如多项式方程的解的问题）的更有效方法。
“他重新构想了p进世界并将其变成了几何学，”Ben-Zvi说。“因为它们非常重要，所以这会带来很多很多的成功。”
在他的伯克利课程中，Scholze 提出了他的完美胚空间理论的更一般版本，建立在他设计的更新的对象上，称为钻石（diamonds）。该理论承诺进一步扩大p进数的用途。然而，在 Scholze 开始教学时，他甚至还没有完成。
“他在发展理论的同时开设了课程。他在晚上提出想法，并在早上提出新的想法，”Kaletha 说。
这是一场精湛的表演，房间里听到它的人之一是 Laurent Fargues。
有曲线，会旅行
在 Scholze 讲课的同时，Fargues 正在伯克利校区山上的数学科学研究所（MSRI）参加一个特殊学期。他对p进数也考虑了很多。在过去的十年里，他与 Jean-Marc Fontaine一起在一个叫做p进霍奇理论的数学领域工作，该领域专注于关于这些数字的基本算术问题。在那段时间里，他和Fontaine想出了一个他们自己的新几何对象。这是一条曲线——Fargues-Fontaine 曲线——每个点代表一个重要对象的一个版本，称为一个p进环（p-adic ring）。
正如最初设想的那样，它是数学技术领域的一个狭隘有用的工具，而不是可能撼动整个领域的东西。
“这是p进霍奇理论中的一个组织原则，我就是这么认为的。在这条曲线出现之前，我不可能跟踪所有这些环，”Caraiani 说。
但是当 Fargues 坐在那里聆听 Scholze 的演讲时，他设想曲线在数学中发挥更大的作用。几何朗兰兹纲领从未实现的目标是找到一个几何对象，该对象可以编码数论问题的答案。Fargues 认为他的曲线与 Scholze 的p进几何相结合，可以完全发挥这个作用。大约在学期中期，他把 Scholze 拉到一边，并分享了他的萌芽计划。Scholze持怀疑态度。
“他在数学科学研究所（MSRI）喝咖啡休息时向我提到了这个想法，”Scholze 说。“这不是一次很长的谈话。一开始我觉得这不可能是好事。”
但是他们进行了更多的对话，Scholze 很快意识到这种方法毕竟可能奏效。12 月 5 日，随着学期的结束，Fargues在 MSRI 做了一场演讲，介绍了几何朗兰兹纲领的新愿景。他提出应该可以根据 Scholze 的p进几何重新定义 Fargues-Fontaine 曲线，然后使用重新定义的对象来证明朗兰兹对应关系的一个版本。Fargues 的提议是本已激动人心的数学季的最后一次出人意料的转折。
“这就像本学期的压轴戏。我记得当时只有震惊，”Ben-Zvi 说。
局部对应
最初的朗兰兹猜想是关于有理数的伽罗瓦群与自守形式的匹配表示。该p进数有不同数量的系统，且那里有朗兰兹的版本猜想。（两者仍然与几何朗兰兹纲领分开。）它还涉及一种匹配，尽管在这种情况下，它是在p进数的伽罗瓦群的表示和p进群的表示之间。
虽然它们的对象不同，但两种猜想的精神是相同的：通过关联两种看似无关的对象来研究多项式的解——一种是有理数，另一种是p进数。数学家将有理数的朗兰兹猜想称为“全局”朗兰兹对应，因为有理数包含所有素数，而p进数的版本称为“局部”朗兰兹对应，因为p进数系统处理一个素数一次。
在他 12 月在 MSRI 的演讲中，Fargues 提议使用 Fargues-Fontaine 曲线的几何形状来证明局部朗兰兹猜想。但因为他和Fontaine为一项完全不同且更有限的任务发展了曲线，他们的定义需要更强大的几何学，以提供曲线最终需要支持这些扩大计划的结构和复杂性。
这种情况类似于你如何得到一个独立于任何特定几何理论的三边形，但是如果你将这个形状与欧几里得几何理论结合起来，它就会突然变得更加丰富：你得到三角学，勾股定理和定义明确的对称概念。它变成了一个完全成熟的三角形。
“Fargues正在接受曲线的想法，并使用 Scholze 开发的强大几何学来充实这个想法，”Kaletha 说。“这使你可以正式说明曲线的美丽特性。”
Fargues的策略后来被称为“局部朗兰兹对应的几何化”。但在他创造它的时候，现有的数学没有他需要的工具来实现它，新的几何理论也不是每天都会出现。幸运的是，历史站在了他的一边。
“Fargues的猜想是一个大胆的想法，因为 Fargues 需要不存在的几何。但事实证明，当时 Scholze 正在开发它，”Kaletha 说。
地基建筑
在伯克利共事之后，法格和舒尔茨在接下来的七年中建立了一个几何理论，使他们能够以适合他们计划的形式重建法格-方丹曲线（Fargues-Fontaine curve）。
“在 2014 年，基本情况已经很清楚了，一切应该如何组合在一起。只是一切都完全不明确。没有任何基础可以谈论这些，”Scholze 说。
这项工作分几个阶段进行。2017 年，Scholze 完成了一篇名为“ Étale Cohomology of Diamonds ”（钻石的Étale上同调）的论文，将他在伯克利讲座中介绍的许多最重要的想法形式化了。他将那篇论文与他和哥本哈根大学的合著者达斯汀·克劳森( Dustin Clausen)于 2020 年作为系列讲座发布的另一项大规模工作结合起来。在 Scholze 的钻石工作中出现过的一些特定的观点需要这些材料（全部 352 页）奠定基础。
Kaletha 说：“Scholze 不得不提出一个完全不同的理论来解决他 [2017] 论文最后三页中出现的某些技术问题。
总之，这些论文和其他论文使 Fargues 和 Scholze 能够设计出一种全新的定义几何对象的方法。想象一下，你从一个无组织的点集合开始——用 Scholze 的话来说是“一团尘土”——你想以正确的方式将它们粘在一起以组装你正在寻找的对象。Fargues 和 Scholze 发展的理论为执行该粘合提供了精确的数学方向，并证明最终你将获得 Fargues-Fontaine 曲线。这一次，它以手头任务的正确方式定义 - 解决局部的朗兰兹对应。
“从技术上讲，这是我们掌握它的唯一方法，”Scholze 说。“你必须在这种框架中重建很多几何基础，这让我感到非常惊讶，这是可能的。”
在定义了 Fargues-Fontaine 曲线之后，Fargues 和 Scholze 开始了他们旅程的下一阶段：为其配备必要的特征，以证明伽罗瓦群的表示和p进群的表示之间的对应关系。
为了理解这些特征，让我们首先考虑一个更简单的几何对象，比如一个圆。在圆上的每个点，都可以在该点处定位一条与形状相切的线。每个点都有唯一的切线。你可以将所有这些线收集到一个辅助几何对象中，称为切线丛（tangent bundle），它与基础几何对象圆相关联。
在他们的新工作中，Fargues 和 Scholze 对 Fargues-Fontaine 曲线做了类似的事情。但它们不是切平面和切线，而是定义了构造许多更复杂的几何对象的方法。一个称为层（sheaves）的示例可以自然地关联到 Fargues-Fontaine 曲线上的点，就像切线可以关联到圆上的点一样。
层（sheaves）在 1950 年代由 亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）首次定义，它们跟踪底层几何对象的代数和几何特征如何相互作用。几十年来，数学家一直怀疑它们可能是几何朗兰兹纲领中最值得关注的对象。
康拉德说：“你可以根据层重新解释伽罗瓦群的表示理论。”
几何朗兰兹规划有局部版本和整体版本，就像原始版本一样。关于层的问题与全局几何纲领有关，Fargues 怀疑这可能与局部朗兰兹对应有关。问题是数学家不能在正确类型的几何对象上成功定义正确类型的层。现在 Fargues 和 Scholze 通过 Fargues-Fontaine 曲线提供了。
开始的结束
具体来说，他们提出了两种不同的类型：凝聚层（coherent sheaves）对应于p进群的表示，étale 层对应于伽罗瓦群的表示。在他们的新论文中，Fargues 和 Scholze 证明总有一种方法可以将凝聚层与 étale 层相匹配，因此总有一种方法可以将p进群的表示与 伽罗瓦群的表示相匹配。
这样，他们终于证明了局部朗兰兹对应的一个方向。但另一个方向仍然是一个悬而未决的问题。
“它给了你一个方向，如何从p进群的表示到伽罗瓦群的表示，但没有告诉你如何返回，”Scholze 说。
这项工作是迄今为止朗兰兹纲领取得的最大进展之一——经常与法国格勒诺布尔傅立叶研究所的文森特·拉福格( Vincent Lafforgue)在 2018 年关于朗兰兹对应的不同方面的工作相提并论。确凿的证据表明，早期的数学家通过几何方法尝试朗兰兹纲领并不是愚蠢的。
Ben-Zvi 说：“这些事情对人们几十年来在几何朗兰兹所做的工作来说是一个很好的证明。”
对于整个数学而言，在接受新工作时有一种敬畏和可能性的感觉：敬畏在于Scholze 自研究生院以来在 Fargues-Fontaine 曲线中建立的P-进几何理论体现的方式；可能性，在于因为这条曲线开启了朗兰兹纲领的全新且未探索的维度。
“这真的改变了一切。在过去的五或八年里，它们确实改变了整个领域，” Viehmann 说。
清晰的下一步是确定局部朗兰兹对应的双方——以证明这是一条双向街道，而不是迄今为止 Fargues 和 Scholze 铺设的单向道路。
除此之外，还有整体朗兰兹对应本身。没有明显的方法可以将 Fargues 和 Scholze 的p进数几何转换为有理数的相应构造。但也不可能看着这部新作品，而不好奇是否有办法。
“这是我非常希望钻研的一个方向，”Scholze 说。
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