原标题：数学家清除解码质数任务中的障碍
作者：Kevin Hartnett 2022-1-13 译者：zzllrr小乐 2022-2-1
自从黎曼（Bernhard Riemann） 提出关于素数分布的开创性问题以来，已经过去了 162 年。尽管他们尽了最大的努力，但数学家在黎曼假设上取得的进展却很小。但他们已设法在更简单的相关问题上取得进展。
在 9 月发表的一篇论文中，高级研究所的保罗·纳尔逊解决了一个次凸性问题的版本，这是黎曼问题的一种轻量级版本。该证明本身就是一项重大成就，并引发了与质数相关的更大发现的可能性。
“这是一个有点牵强的梦想，但你可以非常乐观地希望，也许我们可以通过研究这样的问题来了解[黎曼假设]是如何工作的，”尼尔森说。
黎曼假设和次凸性问题很重要，因为素数是数学中最基本的——也是最神秘的——对象。当您将它们绘制在数轴上时，它们的分布方式似乎没有规律。但在 1859 年，黎曼设计了一个名为黎曼 zeta 函数的对象——一种无限和——它推动了一种革命性的方法，如果证明有效，它将解开素数的隐藏结构。
“这证明了几年前会被视为科幻小说的结果，”波恩大学的 Valentin Blomer 说。
到达复数（Getting Complex）
黎曼的问题取决于黎曼 zeta 函数。加在一起的每一项是整数的倒数，其中分母是由变量 s 定义的幂（即 1/1ˢ、1/2ˢ、1/3ˢ 等等）。
黎曼提出，如果数学家能够证明这个函数的一个基本性质——它等于零需要什么——他们将能够非常准确地估计在数轴上的任何给定区间上有多少质数。
在黎曼之前，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）构造了一个类似的函数，并用它来创建一个新的证明，证明存在无限多个素数。在欧拉函数中，分母的幂是实数。相比之下，黎曼 zeta 函数将复数分配给变量 s，这一创新将复分析中的全部大量技术带到了数论中的问题上。
复数有两部分，一个实数和一个虚数，后者与虚数 i 有关，定义为 -1 的平方根。示例包括 3 + 4i 和 2 - 6i。在这些情况下，3 和 2 是实部，而 4 和 -6 是虚部。
黎曼假设是关于哪些 s 值使黎曼 zeta 函数等于零。它预测 s 的唯一重要的或非平凡的值是实部等于 1/2 的复数。（只要 s 是一个虚部等于 0 的负偶整数，该函数也等于 0，但那些零是很容易看到并且被认为是微不足道的。）如果黎曼假设是正确的，黎曼 zeta 函数解释了素数是如何分布在数轴上的。
自从黎曼提出它以来的几年里，黎曼假设已经在数学上引发了许多进步，尽管数学家在这个问题本身上几乎没有取得什么进展。考虑到这种相对无用的情况，他们有时会将注意力转移到与黎曼难解之谜相近的稍微简单的问题上。
微乎其微（ Next to Nothing）
Paul Nelson 解决的问题比黎曼假设少了两个步骤。每一步都需要一点解释。
第一个是林德洛夫假说( Lindelöf hypothesis）。黎曼假设说，当 s 的实部等于 1/2 时，黎曼 zeta 函数的唯一非平凡零点出现，而林德洛夫假设只是说，在这种情况下，黎曼 zeta 函数的输出在某种精确意义上很小。
对于 Riemann 和 Lindelöf 假设，s 的实部固定为 1/2，但虚部可以是您喜欢的任何数字：2、537、1/2。定义“小”的一种方法是比较 输入（ s ）和输出中的位数。
数学家可以很容易地确定输出的位数永远不会超过输入的 25%。这意味着它随着输入的增长而增长，但不会不成比例地增长。这 25% 称为平凡界限。但是林德洛夫假设说，随着输入变大，输出的大小实际上总是限制在输入数字的 1% 上。
一个多世纪以来，数学家一直致力于缩小平凡界限（25%）和推测界限（1%）之间的差距。他们进行了十多次改进，最近一次是在 2017 年，当时 Jean Bourgain 证明，对于实部 1/2 的 s 值，黎曼 zeta 函数的输出大小约为输入大小的 15%。因此，如果输入是 1,000,000 位数字，则输出不会超过 150,000 位。这与证明林德洛夫假设相去甚远，更不用说黎曼的问题了，但它确实是。
“150 年来，我们在黎曼假设上没有取得任何进展，而这是一个我们可以逐步取得进展的问题，”尼尔森说。“有一种方法可以让你得分。”
林德洛夫假设只是适合得分的黎曼邻近问题的一个例子。在他的新工作中，尼尔森解决了另一个与黎曼的问题相距甚远的问题。
函数族（ Families of Functions）
黎曼 zeta 函数是一大类数学对象 L 函数中最著名的成员，它对许多不同的算术关系进行编码。通过修改黎曼 zeta 函数的定义，数学家可以构建其他 L 函数，以提供关于素数的更精细信息。例如，一些 L 函数的性质度量了有多少小于某个值的素数具有给定数字作为它们的最后一位。
由于这种多功能性，L 函数是深入研究的对象，它们是被称为朗兰兹计划的庞大研究愿景的核心参与者。目前，数学家仍然缺乏一个完整的理论来解释它们是什么。
“这些东西有一些很大的动物园，对于它们中的大多数，我们根本无法证明任何事情，”尼尔森说。
该理论的一部分涉及林德洛夫假设的推广，该假设预测只要复数输入的实部等于 1/2，输出相对于所有 L 函数（不仅仅是黎曼 zeta 函数）的输入保持较小。
虽然数学家已经削弱了林德洛夫假设，但他们只在所谓的次凸问题上取得了零星的进展。解决这个问题就等于打破了平凡的界限——也就是说，证明对于任何 L 函数，输出的位数都少于输入的 25%（乘以一个称为 L 函数度数的量） ）。以前，数学家只对少数几个特定的 L 函数族（包括黎曼 zeta 函数）做到了这一点，并且远未达到普遍的结果。
但在 1990 年代，当数学家认识到仅仅打破一般 L 函数的微不足道的界限可能会导致在不同问题上取得进展时，这种情况开始发生变化，包括称为算术量子混沌的研究领域中的问题以及关于哪些整数可以写的问题 作为三个平方的和。
瑞士苏黎世联邦理工学院的 Emmanuel Kowalski 说：“人们在过去 20 到 30 年意识到，只要能够证明这种关于次凸性的技术性陈述”，所有这些问题都可以解决。
纳尔逊是最终做到这一点的数学家，经过二十年的工作帮助他学会了如何想象它。
视角转变（A Shift in Perspective）
在 2000 年代初期，两支数学家团队——一支是 Joseph Bernstein 和 Andre Reznikov，另一支是 Philippe Michel 和 Akshay Venkatesh——改变了数学家估计 L 函数的方式。他们没有仅仅用算术术语来看待它们，而是创建了一种几何方式来考虑其输出的大小。这项工作帮助文卡特什在 2018 年赢得了数学界的最高荣誉菲尔兹奖。
在这张修改后的图片中，L 函数的大小与称为周期的积分的大小相关联，周期可以通过沿几何空间对称为自守形式的函数积分来计算。这为数学家提供了更多工具，他们可以用来尝试打破琐碎的界限。
“你可以使用更多的技术，”瑞士洛桑联邦理工学院的米歇尔说。
Nelson 和 Venkatesh 在 2018 年合作发表了一篇论文，该论文确定了哪些自守形式最适合做出回答亚凸问题所需的各种大小估计。在接下来的几年里，尼尔森又发表了两篇关于这个主题的个人论文——第一篇在 2020 年，第二篇在去年 9 月——共同解决了这个问题。
Nelson 证明了每个 L 函数都满足一个子凸界，这意味着它的输出小于其输入大小的 25%。他只差一点就打破了界限——大多数 L 函数的准确率都低于 25%——但有时这就是从一个世界穿越到另一个世界所需的全部内容。
“他打破了琐碎的束缚，我们对此非常满意。这真的是破坏事物，”米歇尔说。
现在，数学家们将推进他们的次凸边界以面对其他问题，甚至有一天可能包括黎曼假设。现在这似乎有些牵强，但数学在希望中茁壮成长，至少，尼尔森的新证明提供了这一点。
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