26 岁的 Jared Duker Lichtman 证明了一个长期猜想，将素数与一大类“本原”数字集合关联起来。对他的导师来说，这令人“彻底震惊”。
本原集（primitive sets）是一种数列，其中的数字都不整除任何其他数字。在这些集合的宇宙中，素数是独一无二的。
作者：Jordana Cepelewicz 2022-6-6 译者：zzllrr小乐 2022-6-7
作为算术的原子，素数在数轴上一直占据着特殊的位置。现在，牛津大学 26 岁的研究生Jared Duker Lichtman解决了一个众所周知的猜想，确立了素数特殊的另一个方面——在某种意义上，甚至是最优的。“它为你提供了一个更大的背景，以了解质数在哪些方面是独一无二的，以及它们以何种方式与更大的数字集相关联，”他说。
该猜想涉及本原集合——数列中没有数字可以整除任何其他数字。由于每个素数只能被 1 和它自己整除，所以所有素数的集合就是本原集合的一个例子。恰好有两个或三个或一百个素因子的所有数字的集合也是如此。
本原集是由数学家 Paul Erdős 在 1930 年代引入的。当时，它们只是一种工具，使他更容易证明某种起源于古希腊的数字（称为完美数perfect numbers）。但它们很快就成为人们感兴趣的对象——Erdős 在他的整个职业生涯中都会一次又一次地回到这些对象。
那是因为，尽管它们的定义很简单，但本原集合确实是奇怪的野兽。只需询问本原集合可以达到多大，就可以捕捉到这种奇怪之处。考虑最大为 1,000 的所有整数的集合。从 501 到 1,000 的所有数字——集合的一半——形成一个本原集合，因为没有一个数字可以被任何其他数字整除。通过这种方式，本原集可能包含大块的数轴。但是其他本原集合，例如所有素数的序列，非常稀疏。“它告诉你，本原集确实是一个非常广泛的类别，很难直接掌握，”Lichtman 说。
为了捕捉集合的有趣属性，数学家研究了各种大小的概念。例如，与其计算一个集合中有多少个数字，他们可能会执行以下操作：对于集合中的每个数字n，将其代入表达式 1/( n log n )，然后将所有结果相加。例如，集合 {2, 3, 55} 的大小变为 1/(2 log 2) + 1/(3 log 3) + 1/(55 log 55)。
Erdős 发现对于任何本原集（包括无限集）这个和——“Erdős 和”——总是有限的。无论本原集是什么样子，它的 Erdős 和总是小于或等于某个数字。因此，尽管这个总和“至少从表面上看是完全陌生和模糊的”，Lichtman 说，但它在某些方面“控制了一些本原集合的混乱”，使其成为使用合适的量尺。
拿着这根量尺，下一个自然要问的问题是最大的Erdős和可能是多少。Erdős 推测对于素数集而言，结果约为 1.64。通过这个镜头，素数构成了一种极端。
Jared Duker Lichtman 称这个问题是他“过去四年的忠实伙伴”。
几十年来，数学家在证明方面取得了部分进展。例如，他们证明了这个猜想对于特定类型的本原集是正确的。
尽管如此，“在 Jared 开始研究它之前，我们似乎并没有真正接近它，”不列颠哥伦比亚大学从事相关问题研究的数学家Greg Martin说。András Sárközy是匈牙利 Eötvös Loránd 大学的数学家，也是 Erdős 的经常合作者，他对此表示赞同。“这当然看起来遥不可及，”他说。
Lichtman 于 2018 年开始研究本原集猜想，那是他在达特茅斯学院读本科的最后一年。“我立刻对这个问题着迷了。像这样的事情怎么会是真的，这非常神秘，”他说。“过去四年来，它一直是我的伴侣。”
2019 年，他和达特茅斯学院的导师Carl Pomerance发现本原集的 Erdős和不能大于 1.78。“这并不太遥远，”Martin说。“仅比素数猜想大 10% 左右。”
Lichtman 和 Pomerance 通过将一个新的倍数序列与给定本原集合中的每个数字相关联来获得这个常数。再次考虑本原集 {2, 3, 55}。与数字 2 相关联的是所有偶数的序列。与数字 3 相关联的是所有那些不是 2 的倍数的 3 的倍数（满足最小素因数是3）。与数字 55 (5 × 11) 相关联的是最小素因数为 11 的所有 55 的倍数（因此不包括 2 、3、5、7的所有倍数)。Lichtman 将其比作单词在字典中的索引方式——仅使用素数而不是字母来组织每个序列。
然后，他和 Pomerance 思考了这些倍数序列有多“密集”——也就是说，它们占据了多大部分的数轴。（例如，所有偶数的序列的密度为 1/2，因为偶数占所有数字的一半。）他们观察到，如果原始集合是本原集合，则其相关的倍数序列不会重叠，因此它们的组合密度最多为 1——所有整数的密度。
这一观察是相关的，因为 19 世纪数学家Franz Mertens的定理基本上允许 Lichtman 和 Pomerance 根据这些密度重新解释本原集的 Erdős 和。根据 Mertens 定理，一个特殊的常数（大约等于 1.78），当乘以一个相当于这些倍数的组合密度的项时，给出了一个本原集的 Erdős 和的最大值。并且由于组合密度最多为 1，Lichtman 和 Pomerance 证明了本原集的 Erdős 和最多为 1.78 左右。
“这是 Erdős 最初想法的一种变体，但它是一种非常巧妙、简洁的方法……获得了一个不严格但也不算太差的上限，”牛津大学的数学家James Maynard说。
几年来，这似乎是最好的数学家可以做到的。目前尚不清楚如何将该最大值降至 1.64。与此同时，Lichtman 毕业并搬到牛津与 Maynard 一起攻读博士学位，在那里他主要研究与素数有关的其他问题。
“我知道他一直在考虑这个问题，”Maynard说，“但他突然想出一个完整的证明，令人大为震惊。”
Lichtman 首先意识到，对于素因数相对较小的数字，他先前与 Pomerance 的结论仍然有效：在这种情况下相对简单地可证明，常数 1.78 可以降低到1.64以下。
但是具有相对较大素因数的数字——在某种意义上“接近”素数——是另一回事。为了解决这些问题，Lichtman 找到了一种方法，不仅可以将一个倍数序列与每个数字相关联，还可以将多个序列关联起来。和以前一样，所有这些序列的组合密度最多为 1。但这一次，“这些其他倍数会像杂草一样生长并占据一些空间，”Lichtman 说。
取数字 618 (2 × 3 × 103)。通常，你可能会将其最小素因数为 103 的所有 618 的倍数与它相关联。但可以使用一些被省略的较小素因数来构建序列。例如，一个序列可能由所有原始倍数组成，同时也允许被 5 整除的 618 的倍数。（一些限制规定可以使用哪些较小的素因数。）
这些额外倍数的存在意味着本原倍数的组合密度——Mertens 定理中使用的数量——实际上小于 1。Lichtman 找到了一种方法来更精确地确定该密度可能是多少。
然后，他仔细确定了本原集合的最坏情况可能是什么样的：它将在具有大素因数的数字 和 具有小素因数的数字之间取得什么平衡。通过将他的证明的两个部分拼凑在一起，他能够证明这种情况下的 Erdős 和小于 1.64。
“这是关键时刻，”Maynard说。“我不知道是运气还是什么，从数字上来说已经足够了。”
Lichtman于 2 月在网上发布了他的证明
（https://arxiv.org/abs/2202.02384）
在线论文pdf https://arxiv.org/pdf/2202.02384.pdf
数学家指出，这项工作特别引人注目，因为它完全依赖于初等证明。“他并不是在等待所有这些疯狂的机器开发出来，”Thompson说。“他只是有一些非常聪明的想法。”
这些想法现在巩固了素数在本原集合中的特殊性：它们的 Erdős 和至高无上。“我们都认为素数很特别，”Pomerance 说。“这只会增加它们的光彩。”
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