将军饮马问题
第一 六大模型
1、如图,直线l与I的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。
2、如图,直线l与I的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。
3、如图,点P是∠MON内的一点,分别在OM,ON上作点A,B。使△PAB的周长最小。
4、如图,点P、Q是∠MON内的两点,分别在OM,ON上作点A,B。使四边形PAQB的周长最小。
5、如图,点A是∠MON外的一点,在射线ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
6、如图,点A是∠MON内的一点,在射线ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
第二 常见题目
Part1 三角形
1、如图,在等边△ABC中,AB = 6,AD⊥BC,E是AC上的一点,M是AD上的一点,且AE=2,求EM+EC的最小值。
2、如图,在锐角△ABC中,AB=4√2 ,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是_____。
解:作点B关于AD的对称点B',
过点B'作B'ELAB于点E,交AD于点F,
则线段B'E的长就是BM+MN的最小值
在等腰Rt△AEB'中,
根据勾股定理得到,B'E=4
3、如图,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN 的值最小,则这个最小值_____。
Part2 正方形
1、如图,正方形 ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,DN +MN的最小值为_____。即在直线AC上求一点N,使 DN+MN最小。
解:故作点D关于AC的对称点B,连接BM,
交AC于点N。则DN+MN =BN+MN = BM
线段BM的长就是DN +MN的最小值
在直角△BCM中,CM= 6,BC= 8 ,
则BM= 10
故DN+MN的最小值是10。
2、如图所示,正方形 ABCD 的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形 ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为_____。
3、在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为_____cm(结果不取近似值)
4、如图,四边形 ABCD是正方形,AB = 10cm,E为边BC的中点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值。
Part3 矩形
1、如图,若四边形ABCD是矩形,AB = 10cm,BC = 20cm,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PD的最小值。
Part4 菱形
1、如图,若四边形ABCD是菱形,AB=10cm,∠ABC=45°,E为边BC 上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值。
Part5 直角梯形
1、已知直角梯形ABCD中,ADIlBC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为_____。
Part6 圆形
1、已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°,点B是AD的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值。
2、如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为_____。
A.2√2
B.√2
C.1
D.2
解:MN上求一点P,使PA+PB的值最小
作点A关于MN的对称点A',连接A'B,
交MN于点P,则点Р就是所要作的点
A'B的长就是PA+PB的最小值
连接OA'、OB,则△OA'B是等腰直角三角形
∴AB = 2
Part7 一次函数
1、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0) B(0,4)
(1)求该函数的解析式;
(2)О为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标。
解:(1)由题意得:0=2x+b,4=b
解得k=-2,b= 4,
∴y=-2x+4
Part7 一次函数
1、如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点О顺时针旋转120°,得到线段OB。
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC周长最小?若存在求出点C坐标;若不存在,请说明理由。
2、如图,在直角坐标系中,A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线l,D为直线l上的一个动点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求当AD+CD最小时,点D的坐标;
(3)以点A为圆心,以AD为半径作圆A;
解:(1)①证明:当AD+CD最小时,直线BD与圆A相切;
②写出直线BD与圆A相切时,点D的另一个坐标
(2)连接BC,交直线I于点D,则DA+DC= DB+DC=BC,BC的长就是 AD+DC的最小值
BC:y=-x+3
则直线BC与直线x=1的交点D(1,2)。
3、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2)
(1)求这条抛物线的函数表达式;
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小,请求出点P的坐标;
(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合),过点D作DEIIPC交x轴于点E,连接PD、PE,设CD的长为m,△PDE 的面积为S,求S与m之间的函数关系式。
试说明S是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由。
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