傅里叶变换，一度被推上了玄学的位置。
这位说，了解了它，能改变你，认识世界的方式。那个说，我喜欢信号系统，但是看了2周的傅里叶变换，放弃了。
也有很多人，写了科普教程，有零基础教程、保证看懂教程、掐死教程。但是，当他们亮出数学公式的那一刻，很多人陷入沉思：我……是从哪里开始，就已经看不懂了……
这些现象，激发了我强烈的表演欲望，我要登上舞台，为大家表演。我的表演，如果你看不懂，请掐死我。
我正写博客，此时正是深夜，我屋内的电脑，发出“嗡嗡”的散热声。同时，窗外的马路，飞驰而过一辆渣土车，发出“嘀~”一声刺耳的鸣笛。
我，是如何，听到，声音的。
物体振动发出的声音，在空气中传播，进入我的耳朵，推动我的耳膜，声音大就推得强，声音小就推的弱，经过一系列处理，我就听到了电脑和汽车。
仔细想一下，有点奇怪，我居然根据耳膜被推动的情况，分析出了声音里，包含电脑散热风扇和汽车喇叭两种物体。其实除此之外，我还听到了楼上放电视、窗外的虫子叫、电动车报警器响了……
这个声音发出和接收的场景，就如同你用手指在桌子上有规律、有轻重地敲击。我相信，你能听出这番敲击是打快板，那番敲击是非洲鼓。但是，你很难通过敲桌子的节奏，听出来：你的同事在敲键盘，同时路上响起了救护车的声音。
先给你3分钟的时间思考一下，我去上个厕所先。
人类几万年的历史，不知道是否有人想过这个问题，拿根棍子捅你的耳膜，你就能分辨出十几样不同的发声物体，这到底该怎么来解释呢？
其实，这——就是傅里叶变换（我能让你猜着，这突然地转场？）。
如下图所示：推动你耳膜的力度就是左侧的波形，你的大脑经过傅里叶变换，分析出了十几种不同的发声物体。
好了，现在拿出傅里叶变换的定义：
傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
定义看不懂没关系，只要能看懂前面说的，分辨声音的那个例就行。
关于什么是傅里叶，此处打个标记叫[A]。如果你看不懂，就说从[A]开始就糊涂了，来掐我时，好让我死得明白。
但是，有一点谈资我们要知道，这个理论是法国人傅里叶在1807年提出来的。那时，牛顿也才刚出生，嘉庆皇帝刚抄了和珅的家没过几年。
你糊弄我？你拿人这种有灵性的生物，来举数学的例子，数学公式能解决道德问题吗？
再说，声音混在一起，就如同染料混在一个缸里，你还能分出来？我就不信了！
我感觉有人跟我对话，充满了质疑和不屑。
那好，我换一个例子，收音机大家都知道吧。
全国几百家广播台，各家都往外发送无线电波。
我们并非生活在多个平行宇宙。因此，这些电波没有VIP通道，肯定都是混在一起在空中传播的。就像下面这样：
那……收音机，可以收听指定电台的节目。
这个是机器，它的收音设备，没有你的耳朵那么复杂，也没有神经元，这一点儿灵性也没有，但它是可以分解指定波段的。
好了，继续看我表演，说一下声音的两个属性：频率、振幅。
声音是由振动产生的，振动一般都是……就……就像这样：
一个点围绕着某个相对固定的中心，周期性地移动。
比如，一个弹簧吊着一个小球，上下振动。
如果，一边记录时间，一边记录位置，其实它的形状就是弦曲线（我保证这个词，已是本文最专业的术语），也可以叫波。
有些物体振动得快，1秒钟反复来回1000次。有些物体振动的慢，1秒钟才往返1个周期。
这个单位时间内振动一个周期的次数，我们就叫频率。
因为材质不同，不同的物体振动的频率是不一样，波形也不一样。
下面是物理课上，敲击音叉振动的声波。
下面是用嘴吹试管的声波。
只要我们听到的声音不一样，基本上它们声波的频率也是不一样的。
就算都是口琴，低音区是这样的：
高音区是这样的：
我们发现，高音区比较密集，相同单位内振动的次数更多，也就是频率大。反之，低音区频率小，比较稀疏。
你听到的每种不同类型声音，都有自己固定的频率，就像每个地方菜的口味一样，是有差别的。此处打个标记叫[B]，如果你看不懂，就说从[B]开始，就乱了，来告诉我。
声音的振幅就是声音的大小。大小和频率没有任何关系。
频率是某个时间内，推了耳膜多少次。振幅是这次推动，花了多少力气。
还是拿音叉举例子，声音的振幅只影响音量，波形、频率都不变。你敲出原子弹爆炸的音量，它也是那个形状。
声音大时，音叉的波形：
声音小时，音叉的波形：
这很好理解，不管我小声说话，还是大声说话，你都能听出是我。但是，我大声说话，你会震得耳朵疼（耳膜遭受一记重拳）。
再来点儿谈资吧。我们人类能听到的频率范围是20Hz(1秒钟振动20个周期)到20000Hz。超过20000Hz为超声波，低于20Hz为次声波。我们常说，蝙蝠发出的超声波，不是因为它声音太小或太大，导致我们听不见。其实是因为它振动得太快，蝙蝠已经说了5000字了，但是我们只收到一个“的”。这是没有意义的。同样，我们人类能发出的声音频率也是有范围的，范围在250Hz-4000Hz之间，这是由我们人类声带的肉质（额……不知道为啥突然出来这个词）决定的。
振幅和频率的区别，此处打个标记叫[C]。
如果你了解了，频率和振幅这两个波的属性，后面就好说了。
傅里叶发现，这个世界上的人，对事物的理解不透彻，描述的也不科学。
世人都以时间为轴线，来描述事物。比如，描述一段1分钟的录音：第1秒说了什么，第2秒说了什么……。
世人摇摇头，叹了口气：傅里叶，你想咋着？
傅里叶说，以时间作为参考的描述，叫时域分析。
比如下面这图，这是个时域图。我们看到这1秒内，它很忙，来来回回，从0到1秒跑着，从-1跑到1，反复了5次。所以，这段波的频率是5，最大振幅是1。整图描述的是，每一个时刻的信号值：
如果这段波，不是1秒，而是1个小时，那么它就是3600个这样的图拼在一起。
时域的概念，打个标记叫[D]。不懂的话，就看看表，再看看路上的汽车，刚才在你左边，1分钟后到了你的右边。2分钟后，它还在原地等红绿灯，每个时间都有对应的位置。这也是我们普通人认识世界的方式。
还是那段波，而如果用频域来描述，那就是这样的：
横坐标表示频率，纵坐标表示振幅。上面这个图表示：这里面有一段波，频率为5，振幅为1。
傅里叶告诉世人，我这个频域，可以抵得过时域的千年万年。两者说的是同一件事，只是分析的角度和描述手段不一样。
呵呵哈……哈呵呵，傅里叶冷笑着离开了，他连笑，都带着波形。
频域，打个标记叫[E]。
世界上的波，不会是上面说的那么单纯，实际上是很复杂的。
波，根据固定的频率振动，原本很单纯。只是，大家都在同一个空间内振动，相互之间发生了抵消和促进，相互融合，进行叠加，导致它很复杂。
波的叠加，打个标记叫[F]。不明白的话，赶紧评论区输入[F]，让我知道，我会加强细节描述。
既然能叠加，那么能拆解吗？
其实，是可以的。不只是听觉，人类的味觉也做到了，你吃一口菜，可以尝出来里面有糖，有醋，有辣椒。它的理论基础就是，味觉具有一定的标准，辣就是辣，混到哪里都是辣。
波也一样，大家都是振动，震动就是弦曲线，只是频率不一样。
我们可以通过转啊转，各种组合，你护拢我，我护拢你，总能拼起来。
规律的波，并非一定得是“U”形，下面这几种情况，也都是规律的波形。
甚至，下面这个形状，也是规律的波形。可以拆解为若干组波的叠加。
二维空间里没有规律，就去从三维空间里面找。即便实在无法分解，我们也可以认为它的周期无限长，我有规律，只是本次循环还没到头呢？着啥急！
波的分解，不用明白具体是怎么分的。知道能分就行，打个标记叫[G]。
一段复杂的波，可以分解成，多段，规律的单纯波的集合。
然后，对这些规律的波从频域进行描述，就有了整段波的谱线图。
下图是一个综述。f指的是频率维度。这张图，很清晰地说明了波形、时域和频域的关系。很多教程，开局就拿出这张图，可解万难。但是，我说了这么久，才敢亮出来。
此图打个标记叫[H]，还不明白来掐我。
根据频域，也能复原成时域（此处用理想波，便于理解概念，还有相位等问题，不敢具体展开了）。
上面图里绿色的频率和振幅，可以描述一个波。如果把谱线上描述的波，依次画出来，然后做叠加。这样就复原了时域的波形。这个过程就像是泡发木耳。
波的复原，打个标记叫[I]，有疑问请评论（别的平台复制本文可能不回复，但是掘金TF男孩一定给你回复，且回复的比你问的还要多）。
傅里叶变换，在生物领域，你已经享受到它的益处了，你能分辨出一段声音里不同的声源，一口食物里不同的味道。
除此之外，我们可以拿时域转频域，对频域的特征进行二次加工，然后再恢复成时域，以此来做文章。
比如那些演唱会上调节声卡的人，如果你高音不足，可以给你升上去，低音太高，可以给你降下来。
举个例子，比如变声软件。把一段音频，分离出男声和女声，将男声改为女声的频率，然后还原回去，实现男声变女声。
再比如，声音压缩。将一些低频波形，合成一条。如下图蓝色线条，可以替代其下方的其他多条波形，而又不会影响人们的听觉判断，以此实现了数据的压缩。
除了在音频和信号的应用之外，在视觉上也有广泛应用，比如轮廓提取、美颜磨皮等等。
甚至，我还有一个想法，研发一款不会颠簸的汽车：
应用部分，如需讨论，打个标记叫[J]。
如果，你已掌握了上面说的傅里叶变换。那么，下面，我们就要实践一下了。
实践的目的在于应用，表示我们已经可以利用代码，进行傅里叶变换了。这可以加深理解，并储备知识。
以下代码，采用python语言演示。
傅里叶变换，是对波形做变换。因此，要变换我们首先得有一段波形。比如这一段音频，这是单词“stop”的声音波形(3个小高峰，s-tɒ-p)：
信息的读取和绘制都很简单：
from scipy.io import wavfileimport matplotlib.pyplot as plt# 读取音频数据fs, audio_wave = wavfile.read('stop.wav') # 采样率 fs, 音频数据 audio_waveplt.plot(audio_wave) # 绘制音频数据plt.show()这样看的不直观，我们选取开头的160个点，plt.plot(audio_wave[0:160])来绘制这一小段，这样看就是线条的波形了：
从总图看，开头那部分是一马平川。但是，当我们放大这部分细节时，我们看到的却是满眼的崎岖和坎坷。
我们看到上面的wavfile.read函数返回两个值，一个叫采样率，一个叫音频数据。
声音的读取和波形绘制，此处打个标记叫[K]。
采样率就是采样的频率，描述多长时间记录一次数据。
还记得打点计时器吗？
那个在纸上打点的频率，就叫采样率。
比如，1秒钟打60个点，采样率就是60。
60的采样率，能记录上信息吗？
这得看对方信号有多快。
如果对方太慢，会导致一个地方频繁打点，其实打一个点和打100个点没有区别，这很浪费。
如果对方太快，可能会记录不全，甚至它跑了好多周期了，我们一个点都采不上。蝙蝠的超声波就是频率太快了，我们的耳膜采样不上。
下图是采样率为1000和100时，记录的图：
可见，信号不复杂时，采样率高和超高，没有什么变化，都能记录全了。区别只是，用1万个点来描述，还是用100个点来描述。
下图是采样率为20时，绘制的同一段信号的图：
采样率一旦比信号低(小于信号最高频的2倍)了，有些信息的细节就记录不上了。
对于录音机，我们说，它是否能把声音的细节记录上，主要看它的采样率高不高。
关于采样率，此处打个标记叫[L]，你是否get全了呢？
为什么要了解这些概念？因为我们要制造声波数据，需要先了解它。
为什么要造数据（这自问自答，我也是不要脸了）？因为我们造的数据，是我们已知的参数，便于我们和求出的结果做对照。
要造数据，还需要了解弦函数sin(θ)。
就是横轴上一个点，对应纵轴上一个值，把它们画出来，就是一个波：
现在，我们来搞一系列的横纵坐标点。
import numpy as np#采样率，单位时间内采集多少次样本（1秒内记录1000次，采样率1kHz）Fs = 1000 #采样周期，频率的倒数，相邻两点的时间间隔，1秒打10个点，采样周期就是0.1秒T = 1/Fs #信号长度，信号有多少个点L = 1200 # 时间轴X轴的集合，这批信号每次采集的时间点t = np.arange(L)*T # 幅度值Y轴的集合，1200个点对应的Y轴的值S = np.sin(2*np.pi*t)上面代码，t是横轴坐标，S是纵轴坐标。我们先来看1秒内发生的故事，因为我们设置的是1秒一个周期，其他时间段都是循环的。
我们的采样率是1000，也就是1秒记录1000个点。
1秒内，t的值是[0.000,0.001,0.001,……,1.0],把一个2π（完整周期）分成了1000份。对这1000个点求函数的值，也就是S = [0,…0.5,…1,…0,…-0.5,…-1,…,0]。
如果用代码画出来的话。
import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(t[:1000], S[:1000])plt.show()数据就是下图所示：
上面的例子中，1秒进行了一个周期，频率是1。
如果，我们要一个频率为5的波形，那又该怎么整呢？
很简单，让S = np.sin(2*np.pi*t*5),里面乘以5，再画出来，就是下图这样：
如果想要一个频率为8的波形呢？乘以8就可以了！
关于波形数据的生成和绘制，此处打个标记叫[M]。如果大脑过载的话，要及时上报啊。
下面，我们准备了一组复合波数据，作为测试样本。
这批样本，其实就是一段频率为5的波，叠加一段频率为20的波。
其中有点插曲（故意设计的），这个频率为20的波，他的振幅为0.5（频率5的振幅是1），波形是这样的。
两段波相加，混合起来是这样的：
S_5 = np.sin(2*np.pi*5*t)S_20 = 0.5*np.sin(2*np.pi*20*t)S_25 = S_5 + S_20好了，这个就是我们自己造的测试数据。
下面，我们来做傅里叶变换，看看能不能分析出来它的组成。
关于波的叠加，此处打个标记叫[N]。
今天，我们是用傅里叶变换，不是写傅里叶变换。所以过程会很简单，简单到就3个字母fft。
python库scipy.fftpack中有fft，它就是专门处理傅里叶变换的。
from scipy.fftpack import fft# 完成傅里叶变换Y = fft(S_25)# 把结果画出来p2 = np.abs(Y)p1 = np.abs(Y)[:int(L/2)]# Fs、L是之前生成波形时的采样率和信号长度f = np.arange(int(L/2))*Fs/L plt.plot(f,2*p1/L) plt.show()采用傅里叶变换，对测试波形进行分析，得出了这个谱线。
从图上我们看出，整段波里，存在2个频率的波形，一个频率为5，振幅为1；另一个频率为20，振幅是0.5（刚才就是按照这个规则造的假数据）。
这说明，分析的很对。
此时，我们可以玩耍的就多了。比如增大高频的频率，或者把低频的删除，然后再还原为波形，就做到了对声音的增强、提取和调整。
关于谱线，能看懂就行，此处打个标记叫[O]，看不懂来掐我。
等会……这里面存在一个问题，那就是：这个分析结果，把时间维度给忽略了。
然而，时间是一个很重要的参考。
上面演示的是S20和S5叠加的情况。如果要是S20追加S5呢？意思就是有先后顺序，就像这样：
S_20_5 = np.append(S_20, S_5)这段波形，先是一段小声（振幅小）的高频（频率大），然后是一段大声（振幅大）的低频（频率小）。
我分析啊，应该先是女生小声嘀咕，然后男生大声呵斥。这个时间顺序里面，是包含着故事的。
波形分析里没有时间维度，就相当于食品说明里，只有组成成分，没有含量占比。这，没法判断它的口味和营养。
于是，短时傅里叶变换就出现了。
本文的毕业考核，就是最终能看懂下面这张图。
不着急，我慢慢说。
为了加上时间（序列）维度，才有了短时傅里叶。
其实，它的本质还是傅里叶，只是它从时域信号中，依次选取一段样本，进行傅里叶分析。分析完了，再合并起来，这样就有了时间维度了。
短时傅里叶变换的调用依然很简单，比傅里叶变换多一个字母，它是stft。传入的参数是要分析的波形数据，以及采样频率，返回值是：时间t、频率f、振幅Z。
from scipy.signal import stft# 短时傅里叶变换f, t, Z = stft(S_20_5, fs=1000)# 把结果画出来z = np.abs(Z)plt.figure(figsize=(10,10))plt.xlabel('author:handroid@126.com Time(s)')plt.ylabel('frequency')plt.ylim(ymin=0, ymax= 30)plt.title('from https://juejin.cn/user/615370768790158')c = plt.pcolormesh(t, f, z, cmap ='Greens', vmin = 0, vmax = 1)plt.colorbar(c) 由短时傅里叶变换得出数据生成的这个图，叫三维频谱图。
相比于谱线图，它加入了时间维度。
其中，横坐标是时间维度，这个时间可以不和波形图的时间对应。它和上面的fs采样点参数有关。纵坐标，则表示波形的频率。它虽然是一幅2维图，但可以表示3维的数据。
他的第三维度就是色块的色值，表示振幅。色值越亮，振幅越大。
如何来分析这个图：
关于三维频谱图的解读，此处打个标记叫[P]，看不懂就告诉我。
好了，试试毕业考试吧，看下面这幅频谱图。这是一段音乐，上面两个波形是左右声道，下面火红的颜色是频谱，右侧坐标是音调（频率），比如C调，G5调等。
这段音乐，哪段音域最活跃呢？这个歌手是女高音，还是男低音？
朋友们，我讲的很初级，真的，一点都不谦虚。没讲相位，没讲函数的每一个参数，能省就省。这只是为了科普，让大家知道有这么一个东西，不但要知道，最好能吸收进去一些知识。学到的知识才是自己的。
本文的目标读者，就是那些连sin和cos都还给初中数学老师的朋友们。他们真的找不到通俗的资料去学习，但是他们又有强烈的求知欲，尽管很多医生……不是，很多研究生，大呼他们已经尽力了。
我不会再往深里讲了，因为本身我也不太懂。但是，我相信本文也是能帮到一些人的，尤其本文上传了将近50张图，很多动态图。
如果有错误，欢迎大家指正，我会做修改，同时这也是我学习的机会。
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