有没有剩余由什么决定？

问题：用一块长16分米、宽9分米的长方形布，剪成直角边长为2分米的等腰直角三角形小红旗(不能拼接)，最多可以剪多少面？

同学们通常会用以下两种方法解答：

方法一：16×9=144(平方分米)        

2×2÷2=2(平方分米)              

144÷2=72(面)     

 方法二：16÷2=8(个)

         9÷2=4(个)……1(分米)

         8×4×2=64(面)

这两种解答方法怎么会相差8面呢？

要剪成直角边是2分米的等腰直角三角形，就是先把长方形沿长和宽等分成边长是2分米的正方形，沿长可以分成8等份:16÷2=8，沿宽可以分成4等份:9÷2=4……1。因为题目中明确不能拼接，所以这剩下的部分是不能再利用了，一共可以分成8×4=32(个)正方形。而这些正方形每个可以分成2个等腰直角三角形，所以最多可以做32×2=64(面)小红旗，这就是方法二。

那么，方法一中用长方形面积除以三角形面积计算出的72面，多了8面，又是怎么回事呢？

观察裁剪余下的部分，是8个长2分米、宽1分米的小长方形，每2个小长方形可以拼成一个边长2分米的正方形，这4个正方形能做8面小旗，原来这8面小旗需通过拼接才能得到。

那么在什么情况下没有剩余呢？

如果把长方形的宽由9分米变为8分米，情况会怎么样呢？

方法一：16×8=128(平方分米)     

2×2÷2=2(平方分米)           

128÷2=64(面)

方法二：16÷2=8(个)

        8÷2=4(个)

        8×4×2=64(面)

显然，当长方形的长和宽正好是三角形直角边长的倍数时，长方形纸没有剩余,两种方法的计算结果相同；当长方形的长或宽不是三角形直角边长的倍数时，长方形纸就会有剩余,这些剩余能否再利用还要根据题目要求具体分析，结果往往会不同。

看来解决数学问题首先要弄清题目要求，看计算过程是否符合实际情况，再通过画图直观地找到正确的计算方法。正如爱因斯坦所说：数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。