人物简介
顾跃平，上海市中学数学特级教师，上海市黄浦区教育学院教研员，曾获上海市中青年教师教学评比一等奖第一名。他长期从事初中数学竞赛辅导工作，所辅导学生参加全国、全市各类数学竞赛，获奖数百人次，现为中国数学奥林匹克高级教练员，上海市数学会理事。
他的课堂教学风格：上课思路清晰，善于引导学生思考和揭示解题规律、数学本质。
由表及里 揭示本质
——初中数学“相似三角形判定定理1”教学设计
前端分析
相似三角形是全等三角形的推广，相似三角形的判定是其中的主要内容，在结构上是与全等三角形的判定、平行四边形的判定等内容相类同的。平面几何中直线型的问题最终都是转化为三角形问题来解决的，因此相似三角形是整个平面几何的重要内容之一。
学生对全等三角形的判定定理已经了解掌握，就相似三角形判定定理的推导及其简单运用，对班级中大部分学生而言并非难事，而且作为新课，重点也不放在判定定理的运用难度上。但对学生来讲，他们很少会思考判定定理为何就这样几条？其条件需要具有怎样的特征才可以成为判定定理？这些更为深刻的、数学本源化的东西，并非靠多做几个难题就能让学生去体会和感知的。
数学教学需要教给学生知识和方法，需要教会学生解决问题，还需要让学生学会数学的思维方式，更需要让学生认识数学的本质特征。这些深层次的东西蕴涵于具体的数学内容中，需要我们在日常教学中去留意它，使之成为我们日常教学的有机组成部分。
教学目标：1.掌握相似三角形判定定理1的论证，并会利用定理进行简单证明；2.提高图形观察、结果猜测与条件分析的能力；3.体会几何论证的严密性，认识判定定理的特征。
教学重点：掌握相似三角形判定定理与对判定定理特征的认识。
教学难点：判定定理在具体证明中的运用。
教学方法：采用“启发引导、类比分析、探索发现”的教学方法。
环节一：挑战“数独”，设置伏笔
1.在上一课时留给学生一个“数独”（如下图）。
4 | 5 | 9 | ||||||
2 | 8 | 3 | 1 | |||||
1 | 6 | 2 | ||||||
9 | 1 | 2 | 6 | |||||
7 | 4 | 3 | 1 | 2 | ||||
1 | 4 | 5 | 7 | |||||
3 | 9 | 4 | ||||||
4 | 3 | 8 | 5 | |||||
5 | 1 | 6 |
2.先由两位学生共同解决此“数独”。第一位学生，填写前4个空格，并叙述理由；第二位学生，直接填完所有空格。
3.介绍“数独”的有关情况。
4.揭示“数独”的特征：（1）由所给出的条件，依据规则可得到唯一的填写方式，可谓“独”，也就是说所给的条件必须“充分”；（2）一般而言，“数独”中所给出的条件越多，则填写难度越小。反之，则难度越大。因此，“数独”的编制者总是希望给出的条件是最少的，但从目前来看，要做到这一点是不容易的，而要论证某个“数独”的条件不能更少，就更困难了。正是由于这一点，才给了“数独”的编制者与填写者更多的挑战，他们所追求的目标是条件的必要性。
设计意图：
1.借助“数独”在学生中流行的契机，我将学生对“数独”游戏的兴趣与挑战心理适度地转移到对数学的学习中来。
2.揭示“数独”条件特征：充分性——条件不缺，必要性——条件不多（理想状态）。这为相似三角形判定定理的探讨提供方向，同时也为学生认识相似三角形判定定理的结构特征作必要的铺垫。
环节二：复习导入，探索新知
1.复习提问
（1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
（2）相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
2.学生用文字和符号两种形式叙述上述内容，同时教师板书（用符号与图形表示）。
3.比较分析：由“数独”可知，根据所给出的条件，可以唯一地将“数独”中9×9=81个数字确定下来。同样，由相似三角形的定义可知，两个三角形相似需要满足六个条件，即三对角对应相等，三对边对应成比例，那么在这些条件中是否有多余的？也就是说，减少其中的若干个条件，是否能像“数独”那样，将所缺条件推导出来呢？
4.引导探索：将其中“一对角相等”这一条件去除，由三角形内角和定理，容易推导出来。由此可见，上述问题的回答是肯定的。沿着这样的思路，不断从六个条件中去除其中的一些条件，直到不能更少为止。
5.学生探索活动：沿着教师的引导方向，自由探索，最后将探索的结果与大家分享。
设计意图：
1.定义的复习提问与板书，是为后面判定定理的探索作铺垫，预备定理是为判定定理的论证做准备，同时也用来检查上一课时的教学效果。
2.比较分析是为学生提供一种思考问题的方式，即类比的思想，从而使“由定义向判定的转化”更加顺理成章。
3.引导探索是给学生的自由探索活动一个明确的方向，同时也给学生最终对判定定理结构特征的认识做前期的准备。
环节三：定理论证，简单运用
1.从汇总的结果中，选择其一（两角对应相等），加以说明。
2.沿处理“数独”的方式，由两对角对应相等这两个条件，需推导出另外四个条件成立。给学生一定的思考时间，教师同时板书（已知、求证、图示）。
3.请学生叙述论证思路，教师板书论证过程，其间提问论证中“作平行线的存在性问题”。
4.论证完毕后，进一步追问：“这两个条件是否还能再减少？”
5.获得判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（教师板书）。
6.例题：如图，C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正△ACD与正△BCE。
设计意图：
1.结合“数独”，运用类比思想，让学生有明确的论证目的。
2.论证中采用了将较小三角形移入较大三角形，再利用预备定理来论证，这一方法对其余判定定理的论证也适用。提出“作平行线的存在性问题”，则是为了使论证更趋严密，同时也为后面小结作铺垫。
3.最后的追问是为了让学生认识到作为判定定理的条件特征：不缺（充分性），不多（必要性）。
4.对例题中第（3）小题作机动处理，一方面可将它作为课堂教学时间的调节，另一方面也给学生一定的提示。在学生只掌握相似三角形判定定理1的条件下论证第（3）小题，难度较大，而当学习了相似三角形判定定理2和3后，论证就会容易得多。在例题中，这一常见图形中还存在许多对相似三角形，需要学生课后去探索。
环节四：回顾全课，提高认识
1.请学生依据板书顺序回顾全课内容。
2.请学生谈对判定定理1条件特征的认识。
3.请学生回顾全等三角形的判定定理，结合课堂中探索汇总的结果，进行比较。
环节五：作业布置
1.练习册：28.4（2）。
2.思考：学生探索得到的其余结果如何论证与例题图示中相似三角形的寻找。
附：板书设计
①数独（课前画好）
②数独的条件特征
③课题：相似三角形判定
④复习内容：相似三角形定义；相似三角形判定的预备定理（用图形与符号表示）
⑤学生探索结果（用符号表示）
⑥判定定理的论证（用图形与符号表示）
⑦判定定理 （用文字表示）
⑧例题：（1）（3）只分析；（2）完整表达
教学反思
由于本课没有采用多媒体，因此，我对板书作了一定的设计。从课后的情况来看，板书的整体感比较强，前后连贯，便于学生总体把握课的内容与归纳小结，但例题的规范表达无法呈现。
在设计中用“数独”与判定定理结构上的类同作为课的铺垫引入，收到了预期的效果，不仅引起了学生的数学兴趣，而且为学生后面对判定定理的探索与结构的认识作了铺垫。
整个教学过程安排得较自然流畅，各教学环节间的衔接较合乎数学的逻辑。但学生在小结时，仍不能很清晰地归纳和表述判定定理结构特征。对初中学生来讲，充分性与必要性的认识还是比较困难的。
专家点评
初中数学几何定理教学的地位就如同语文教学中的作文地位，它的重要性无可争议，那么初中几何定理课究竟应如何上？如何通过几何定理的教学促进学生的数学思维？顾老师的这节课给了我们启发。
1.与主题相关的导入至关重要
本节课以“数独”导入，初看这与本课主题无关，但综观“数独”游戏活动的导入不仅与主题相关，而且贯穿始终。首先，“数独”活动能使学生形成有理有据的表述和推理的意识。其次，“数独”问题蕴涵了“充分性”和“必要性”，能为学生后续学习埋下伏笔。
2.经历定理形成过程是重要步骤
顾老师根据本节课数学内容的特点采用了发现式学习，从相似三角形定义、相似三角形预备定理出发，根据“数独”问题的特征，提出问题：用相似三角形定义判断两个三角形相似用到的条件是否太多？这引起了学生的思考。
学生根据自己数学学习的实际和经验提出了各自减少相似三角形定义条件的方案，从而引出了课堂的讨论，通过师生的交流，确定了几组判定相似三角形的条件，最后选择了相似三角形判定定理1的条件，作为证明内容。从整个教学过程中，我们感到了顾老师的设计思想：在学习定理时不仅关注演绎推理，而且让学生经历观察、猜想、论证，最后形成定理的整个过程，从而在这过程中加深学生对数学本质的理解和提高学生分析问题的能力。
3.数学思想方法渗透是雨露滋润
数学思想方法的渗透应该是潜移默化、雨露滋润的过程。顾老师这节课似乎没有显化的数学思想方法，但却蕴涵着数学中类比、转化的思想，特别对合情推理和演绎推理的方法处理有一定深度的思考。合情推理的重点是在发现和猜想，让学生经历发现和猜想定理的过程，形成学生学习数学的经验，促进学生积累经验和方法。同时，由经验方法得到的结论，未必是正确的，需要寻找证据，演绎推理。合情推理与演绎推理相结合进行定理教学是本节课的特点之一。
（点评人：上海市中学数学教研员、上海市中学数学特级教师 黄 华）
（本文刊载于《现代教学》2016年6A刊）
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