高中数学易错、易混、易忘题分类汇编

 

例31、已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+ )(b+ )≥ .

【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然a+ 和 b+ 不能同时取得等号，本题可有如下证明方法。

证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)²+4(a²+b²)－25ab+4≥0，即证4(ab)²－33(ab)+8≥0，即证ab≤ 或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2 ，∴ab≤ ，从而得证.

证法二：(均值代换法)设a= +t₁，b= +t₂.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t₁+t₂=0，|t₁|＜ ，|t₂|＜

显然当且仅当t=0，即a=b= 时，等号成立.

证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤

证法四：(综合法)∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ .

证法五：(三角代换法)∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin²α，b=cos²α，α∈(0， )

【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.

(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.

2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.

【练31】（2002北京文）数列 由下列条件确定：

（1）        证明：对于 总有 ,（2）证明：对于 ，总有 .

【易错点32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路。

例32、已知二次函数 满足 ，且 对一切实数 恒成立.  求 ；  求 的解析式； 求证：

【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。

解：（1）由已知令 得：

（2）令 由 得： 即 则 对任意实数 恒成立就是  对任意实数恒成立，即：

则

（3）由（2）知  故

          故原不等式成立．

【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。

【练32】（2005潍坊三月份统考）已知二次函数 ，满足 ；且对任意实数x都有 ；当 时有 （1）求 的值；（2）证明 （3）当 时，函数 是单调的，求证： 或

（1） （2）运用重要不等式（3）略

【易错点33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。

例33、记 ，若不等式 的解集为 ，试解关于t的不等式 。

【易错点分析】此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程 的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在 上是增函数。

解析：由题意知 ，且 故二次函数在区间 上是增函数。又因为 ，故由二次函数的单调性知不等式 等价于 即 故 即不等式的解为： 。

【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。

【练33】（1）（2005辽宁4月份统考题）解关于 的不等式  

答案：当 时，解集为 当 时，解集为   当 时解集为 。

（2）        （2005全国卷Ⅱ）设函数 ,求使 ≥的 的x取值范围。

答案：x取值范围是

【易错点34】数学归纳法的应用。学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识，忽视其步骤的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在。

例34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用 表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＊，且 ＞0。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 成正比，死亡量与 成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。（Ⅰ）求 与 的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当 ，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意 ∈（0,2），都有 ＞0， ，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。

【易错点分析】本题为数列模型应用题,主要考查数列、不等式和数学归纳法。2005年高考主要涉及两种类型应用题，一种类型为概率，另一种为数列。给我们信息：数学越来越贴近生活，数学越来越强调实用性, 我们在备考中要注意对几种常见模型建模的训练；可见，高考数学越来越注意与函数、不等式、导数、向量等工具结合，这是将来高考的方向，

【解析】（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为 ，被捕捞量为 ，死亡量为

因此 即 。

 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则 恒等于 ， ，从而由上式得 恒等于零, 故 即  因为 >0，所以 .猜测：当且仅当 ，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.

  （Ⅲ）若b的值使得 >0， ，由  知 ,  特别地，有 . 即 ，而 ∈(0, 2)，所以 ，由此猜测b的最大允许值是1. 下证 当 ∈(0, 2) ，b=1时，都有 ∈(0, 2), 。 ①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k时结论成立，即 ∈(0, 2),则当n=k+1时， .又因为 .所以 ∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.由①、②可知，对于任意的 ，都有 ∈(0,2).综上所述，为保证对任意 ∈(0, 2), 都有 >0， ，则捕捞强度b的最大允许值是1.

【知识点归类点拔】归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

【练34】（2005年全国卷Ⅰ统一考试理科数学）

（Ⅰ）设函数 ，求 的最小值；

（Ⅱ）设正数 满足 ，证明        

答案：（Ⅰ） （Ⅱ）用数学归纳法证明。

（2）（2005高考辽宁）已知函数 设数列 }满足 ，数列 }满足

 （Ⅰ）用数学归纳法证明 ；   （Ⅱ）证明

【易错点35】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。

例35、下列命题：

①      ② ③    | · |=| |·| |④若 ∥ ∥ 则 ∥     ⑤ ∥ ，则存在唯一实数λ，使   ⑥若 ，且 ≠ ，则 ⑦设 是平面内两向量，则对于平面内任何一向量 ，都存在唯一一组实数x、y，使 成立。⑧若| + |=| － |则 · =0。⑨ · =0，则 = 或 = 真命题个数为（     ）

    A．1                         B．2               C．3                      D．3个以上

【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。

解析：①正确。根据向量模的计算 判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义 表示和向量 共线的向量，同理 表示和向量 共线的向量，显然向量 和向量 不一定是共线向量，故 不一定成立。③错误。应为 ④错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。  ⑤错误。应加条件“非零向量 ”⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量 和向量 在向量 方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量 是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故 · =0。⑨错误。只需两向量垂直即可。

答案：B

【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ  (交换律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ）  (数乘结合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с  (分配律)说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0 ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ^２＝｜ａ｜^２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ，(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａ·ｂ＋ｂ^２

【练35】（1）（2002上海春，13）若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（    ）

A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）·c=a·c+b·c  C.m（a+b）=ma+mb  D.（a·b）c=a（b·c）

（2）(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a·b）c－（c·a）b=0  ②|a|－|b|<|a－b|  ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|²－4|b|²中，是真命题的有（    ）

A.①②                   B.②③                   C.③④                   D.②④

答案：（1）D（2）D

【易错点36】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。

例36、四边形ABCD中， ＝ａ， ＝ｂ， ＝с， ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?

【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。

解：四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)^２＝（с＋ｄ）²即｜ａ｜^２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜^２＝｜с｜^２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜^２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜^２＋｜ｂ｜^２＝｜с｜^２＋｜ｄ｜^２①同理有｜ａ｜^２＋｜ｄ｜^２＝｜с｜^２＋｜ｂ｜^２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等 ∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。综上所述，四边形ABCD是矩形

【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2（｜ ｜ +｜ ｜ ）=｜ － ｜ +｜ + ｜ （2）向量形式的三角形不等式：｜｜ ｜-｜ ｜｜≤｜ ± ｜≤｜ ｜+｜ ｜(试问：取等号的条件是什么?)；（3）在△ABC中，若点P满足； = 则直线AP必经过△ABC的内心等等有用的结论。

【练36】（1）（2003高考江苏）O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的   （    ）

A．外心                            B．内心                   C．重心                      D．垂心

（2）（2005全国卷文科）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 ，则点O是 的（ ）

（A）三个内角的角平分线的交点                                 （B）三条边的垂直平分线的交点            （C）三条中线的交点                                             （D）三条高的交点

（3）（2005全国卷Ⅰ） 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ，则实数m =       

答案：（1）B  （2）D   （3）m=1

【易错点37】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。

例37、已知 中, ,求

【易错点分析】此题易错误码的认为两向量 和 夹角为三角形ABC的内角C导致错误答案.

解析:由条件 根据余弦定理知三角形的内角 ，故两向量 和 夹角为 的补角即 ,故据数量积的定义知 .

【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是 ，两直线的夹角的范围是 ，两向量的夹角的范围是 ，异面直线所成的角的范围是 ，直线和平面所成的角的范围是 二面角的取值范围是 。

【练37】（2004上海春招）在ΔABC中，有如下命题，其中正确的是（）

（1） （2） （3）若 ，则ΔABC为等腰三角形（4）若 ，则ΔABC为锐角三角形。

A、（1）（2）         B、（1）（4）       C、（2）（3）       D、（2）（3）（4）

答案：C

【易错点38】向量数积积性质的应用。

例38、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。

【思维分析】本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。

解析：由 (a + 3b)(7a - 5b) = 0 T 7a² + 16a×b -15b² = 0 ① (a - 4b)(7a - 2b) = 0 T 7a² - 30a×b + 8b² = 0 ②两式相减：2a×b = b²代入①或②得：a² = b²设a、b的夹角为q，则cosq =  ∴q = 60°。

【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂ ａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜ａ｜^２或｜ａ｜＝ ④ｃｏｓθ＝ ⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜

【练38】（1）（2005高考江西卷）已知向量 若 则 与 的夹角为（    ）A．30°            B．60°         C．120°        D．150°答案：C

（2）（2005浙江卷）已知向量 ≠ ，| |＝1，对任意t∈R，恒有| －t |≥| － |，则

(A) ⊥       (B) ⊥( － )  (C) ⊥( － )  (D) ( ＋ )⊥( － )答案：C

【易错点39】向量与三角函数求值、运算的交汇

例39、 ， 与 的夹角为θ₁， 与 的夹角为θ₂，且 的值.

【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。

解析： 故有 因 ，从而

【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。

【练39】（1）（2005高考江西）已知向量 ,令 是否存在实数 ,使 （其中 是 的导函数）？若存在,则求出 的值；若不存在,则证明之    答案：存在实数 使等式成立。

（2）（2005山东卷）已知向量 和 ，且 求 的值.答案： 。

【易错点40】向量与解三角形的交汇。

例40、ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5=。①求数量积，·，·，·；②求ΔABC的面积。

【思维分析】第1由题意可知3、4、5三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。

解析：①∵||=||=||=1由3＋4＋5=得：3＋4=－5两边平方得：9²＋24·＋16²=25²∴·=0同理：由4＋5=－3求得·=－由3＋5=－4求得·=－

②由·=0,故 =||||=由·=－得cos∠BOC=－  ∴sin∠BOC=－∴ =||||sin∠BOC=，由·=－得cos∠COA=－∴sin∠COA=∴ =||||sin∠COA=即 = ＋ ＋ =＋＋=

【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。

【练40】（1）（2005全国卷Ⅲ）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，已知a,b,c成等比数列，且cosB＝ 。（1）求cotA+cotC的值；（2）设 ，求 的值。

答案：（1） （3） 。

（2）已知向量 =（2，2），向量 与向量 的夹角为 ，且 · =－2，①求向量 ；

②若 ，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求| + |的取值范围.答案：① 或 ②

【易错点41】与向量相结合的三角不等式，学生的综合运用知识解决问题的能力不够。

例41、已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量=(sinx,2)，=(2sinx,)，=(cos2x,1)，=(1,2)，当x∈[0,π]时，求不等式f(·)＞f(·)的解集.

【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。

解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1－x,y₁)、B(1＋x,y₂)，因为=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y₁=y₂由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m＞0，则x≥1时，f(x)是增函数；若m＜0，则x≥1时，f(x)是减函数。∵·=（sinx，2）·（2sinx,）=2sin²x＋1≥1，·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1∴当m＞0时，f(·)＞f(·) f(2sin²x＋1)＞f(cos2x＋2) 2sin²x＋1＞cos2x＋2 1－cos2x＋1＞cos2x＋2 cos2x＜0 2kπ＋ ＜2x＜2kπ＋ ,k∈z kπ＋ ＜x＜kπ＋ ,k∈z∵0≤x≤π ∴ ＜x＜ 当m＜0时，同理可得0≤x＜ 或 ＜x≤π综上所述，不等式f(·)＞f(·)的解集是：当m＞0时，为{x| ＜x＜ ；当m＞0时，为{x|0≤x＜ 或 ＜x＜π。

【知识点分类点拔】在运用函数的单调性构造不等式时，一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性如何（不可忽视定义域的限制），通过本题要很好的体会向量、不等式、函数三者的综合，提高自已应用知识解决综合问题的能力。

【练41】若 在定义域（－1，1）内可导,且 ，点A(1, ( ));B( (－ ),1)，对任意 ∈(－1，1)恒有 成立，试在 内求满足不等式 (sin cos )+ (cos² )>0的 的取值范围.答案： ，( )

【易错点42】向量与解析几何的交汇

例42、（03年新课程高考）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。

解析：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵i=（1，0），c=（0，a），  ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）因此，直线OP和AP的方程分别为   和 .消去参数λ，得点 的坐标满足方程 .整理得  ……① 因为 所以得：（i）当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当 时，方程①表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点；（iii）当 时，方程①也表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点.

【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。

【练42】（1）（2005全国卷1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与 共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定值。

答案：（1） （2） =1

（2） （02年新课程高考天津卷）已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使 · ， · , · 成公差小于零的等差数列（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（ ），记 为 与 的夹角，求 ；答案：①点P的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆②tan =|y | 

（3）（2001高考江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y²=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则 等于（    ）A.   B.－   C.3   D.－3答案：B

【易错点43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。

例43、已知椭圆C： 上动点 到定点 ,其中 的距离 的最小值为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线 ,使 与椭圆C的两个交点A、B满足条件 （O为原点）,若存在,求出 的方程,若不存在请说是理由。

【思维分析】此题解题关键是由条件 知 从而将条件转化点的坐标运算再结合韦达定理解答。

解析：设 ，由 得 故 由于 且 故当 时， 的最小值为 此时 ，当 时， 取得最小值为 解得 不合题意舍去。综上所知当 是满足题意此时M的坐标为（1，0）。

（2）由题意知条件 等价于 ，当 的斜率不存在时， 与C的交点为 ，此时 ，设 的方程为 ，代入椭圆方程整理得 ，由于点M在椭圆内部故 恒成立，由 知 即 ，据韦达定理得 ， 代入上式得 得 不合题意。综上知这样的直线不存在。

【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。

【练43】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，以右焦点 为圆心，过另一焦点 的圆被右准线截的两段弧长之比2:1, 为此平面上一定点，且 .（1）求椭圆的方程（2）若直线 与椭圆交于如图两点A、B，令 。求函数 的值域答案：（1） （2）

[易错点44]牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系.

例44、函数  的导数为                。

[易错点分析]复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即 。

解析：

【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。

[练习44]（2003年江苏，21）已知 ，n为正整数。设 ，证明 ；

（1）        设 ，对任意 ，证明

解析：证明：（1）

（2）对函数 求导数： ， 当 时，   是关于x的增函数因此，当 时， 。 即对任意 ， .

【易错点45】求曲线的切线方程。

例45、（2005高考福建卷）已知函数 的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为 . （Ⅰ）求函数 的解析式；

【思维分析】利用导数的几何意义解答。

解析：（Ⅰ）由 的图象经过P（0，2），知d=2，所以

由在 处的切线方程是 ，知

故所求的解析式是

【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数y=f(x)在点 处的导数，就是曲线y=(x)在点 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数y=f(x)在点 处的导数，即曲线y=f(x)在点 处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为   特别地，如果曲线y=f(x)在点 处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为 。利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.

 

【练45】（1）（2005福建卷）已知函数 的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.

（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；答案：

（2）（2005高考湖南卷）设 ，点P（ ，0）是函数 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用 表示a，b，c；答案： 故 ， ，

【易错点46】利用导数求解函数的单调区间及值域。

例46、( 2005全国卷III)已知函数 ， （Ⅰ）求 的单调区间和值域；

（Ⅱ）设 ，函数 ，若对于任意 ，总存在 使得 成立，求 的取值范围。

【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解不等式的运算能力第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数 在区间 上的值域是函数 的值域的子集，从而转化为求解函数 在区间 上的值域。

解析(Ⅰ) ，令 解得 或 ,在 ， 所以 为单调递减函数；在 ， 所以 为单调递增函数；又 ，即 的值域为[-4，-3]，所以 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 ， 的值域为[-4，-3].( 单调区间为闭区间也可以).

（Ⅱ）∵ ,又 ，当 时， ，

因此，当 时， 为减函数，从而当 时，有 .

又 ，即当 时，有 ，

任给 ，有 ，存在 使得 ，

则 又 ，所以 的取值范围是 。

【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为2006年高考命题重点应引起高度注意．单调区间的求解过程，已知   （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数 在 单调递增，在 单调递增，又知函数在 处连续，因此 在 单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。

【练46】（1）（2005高考北京卷）已知函数f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，＋∞）（2）－7

（2）(2005 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

答案：当x=10时,V有最大值V(10)=1960

【易错点47】二项式 展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错。

例47、 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x的一次项为        。

【易错点分析】本题中若 与 的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。

解析：椐题意有：

由

【知识点归类点拨】二项式 的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分。

【练47】（潍坊高三质量检测） 展开式中第5项与第12项系数的绝对值相等，则展开式的常数项为   。

解析：据题意有 ，即

令 得： 故展开式中常数项为：

【易错点48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。

例48、在 的展开式中， 的系数为          ，二项式系数为         。

【易错点分析】在通项公式 中， 是二项式系数， 是项的系数。

解析：令 ，得 ，则项 的二项式系数为 ，项的系数为 。

【知识点归类点拨】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中r的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。

【练48】（2005高考山东卷）如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是（   ）（A）7          （B）          （C）21           （D）

答案：当 时 即 ,根据二项式通项公式得

时对应 ,即 故 项系数为 .

【易错点49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在次往往因为概念不清导致出错。

例49、已知 的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为10：1

求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。

【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当n为偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。

解析：由题意知，第五项系数为 ，第三项的系数为 ，则有 ， 设展开式中的第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为 ，若第r+1项的系数绝对值最大，则 ，解得： 系数最大值为 由 知第五项的二项式系数最大，此时

【知识点归类点拨】在 的展开式中，系数最大的项是中间项，但当a，b的系数不为1时，最大系数值的位置不一定在中间，可通过解不等式组 来确定之。

【练49】（2000年上海）在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数为                 。（结果用数值表示）

解析：展开式中第r+1项为 ，要使项的系数最小，则r为奇数，且使 为最大，由此得 ，所以项的系数为 。

【易错点50】对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。

例50、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？

（1）        分成1本、2本、3本三组；

（2）        分给甲、乙、丙三人，其中1人1本，1 人两本，1人3本；

（3）        平均分成三组，每组2本；

（4）        分给甲、乙、丙三人，每人2本。

【易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题，分给三人与顺序有关，是排列问题。

解析：(1)分三步：先选一本有 种选法，再从余下的5本中选两本，有 种选法，最后余下的三本全选有 种选法，有分步计数原理知，分配方式有：

（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）题的基础上，还考虑再分配问题，分配方式共有 种。

（3）先分三步：则应是 种方法，但在这里容易出现重复。不妨记六本书为 若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF）则 中还有（AB，EF，CD），（CD，EF，AB）（CD，AB，EF），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共 种情况，而且这些情况仅是AB，CD，EF顺序不同，依次只能作为一种分法，故分配方式有 种

（5）        在问题（3）的基础上，再分配即可，共有分配方式 种。

【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型，对于词类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重复或遗漏。

【练50】（2004年全国9）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到三个班担任班主任（每班一位班主任），要求这三位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方法共有（   ）

A、  210种  B、420种  C、630种  D、840种

解析：首先选择3位教师的方案有：①一男两女；计 ；②两男一女：计 =40。

其次派出3位教师的方案是 =6。故不同的选派方案共有 种。