2021-2022学年北京市九年级（上）期末数学试卷
（含解析）
（时间90分钟，满分100分）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 已知二次函数其中是自变量，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为，则的值为
A. 或 B.或 C. D.
3.
A.
B.
C.
D.
4. 一元二次方程的解是
A. 或 B.
C. 或 D.或
5. 下列正多边形中，绕其中心旋转后，能和自身重合的是
A. 正方形 B.正五边形 C.正六边形 D.正八边形
6. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，年全国生活垃圾无害化处理能力约为亿吨，随着设施的增加和技术的发展，年提升到约亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为
A. B.
C. D.
7. 下列说法中，正确的是
A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近
C. 某种彩票中奖的概率是，因此买张该种彩票就一定会中奖
D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
8. 已知二次函数的图象过点，，若点，，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 已知点与点关于原点对称，则的值为
。
10. 关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______．
11. 如图，在中，，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交边于点，则弧的长等于______结果保留
12. 有一个抛物线形桥拱，有最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图所示，则此抛物线的解析式为________________
13.
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化平移、轴对称、旋转得到的，写出一种由抛物线得到抛物线的过程：______．
15.
16. 如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、若，，则______．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）
17. 解方程：．
18. 问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出中边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，延长交于点，延长交于点；分别连接，并延长相交于点；连接并延长交于点．
所以线段即为中边上的高．根据小芸的作法，补全图形；完成下面的证明．
证明：是的直径，点，在上，____________填推理的依据，．，______是的两条高线．，所在直线交于点，直线也是的高所在直线．是中边上的高．
19. 已知抛物线是常数
无论取何值，该抛物线都经过定点直接写出点的坐标．
当取不同的值时，该抛物线的顶点均在某个函数的图像上，求出这个函数的表达式．
若在的范围内，至少存在一个的值，使，求的取值范围．
20.
21. 已知关于的一元二次方程有实数根．求的取值范围．
22. 元宵节，妈妈正在煮汤圆，爸爸给小明出了一道数学题：妈妈先后两次往同一锅里放入芝麻馅和豆沙馅的汤圆．第一次，放入汤圆若干只，此时，从锅中随机取出一只，是芝麻馅的汤圆的概率为；第二次，放入只芝麻馅和只豆沙馅的汤圆，这时随机取出一只，是芝麻馅的汤圆的概率为，问锅中共有汤圆多少只？请帮小明解答以上问题；煮熟后，妈妈从锅中盛出只芝麻馅和只豆沙馅的汤圆之后，要小明自己盛剩下的汤圆，若小明从锅中随机盛出只汤圆，用列表法或画树形图的方法求“小明盛出芝麻馅和豆沙馅的恰好各只”记作事件的概率．
23. 如图，在平行四边形中，过点做于，点在边上，，连接、．求证：四边形是矩形；若，，平分，求平行四边形的面积．
24. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度单位：与行进的水平距离单位：之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为，篮筐距地面的高度为；当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大为．图中点表示篮筐，其坐标为______，篮球行进的最高点的坐标为______；求篮球出手时距地面的高度．
25. 如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点．求证：是的切线；若，，求的长．
26. 定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点．对于二次函数，我们称函数，为它的“关联”函数．例如的“关联”函数为设二次函数的“关联”函数的图象为．直接写出图象对应的函数关系式．当二次函数的“关联”函数的函数值随值增大而增大时，求的取值范围．是图象与轴正半轴的交点，是图象在轴上方的点，其横坐标为，连接，当的面积等于时，求的值．设图象与轴的交点为，是轴上一点，过点作直线平行于轴，交图象于点当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
27. 如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点在线段上，连接交于点．比较与的大小，并证明；若，求证：；将图中的绕点逆时针旋转，如图若是的中点，判断是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
28. 如图，在正方形网格中，各顶点都在格点上，点，的坐标分别为、，若与关于轴对称，与关于坐标原点成中心对称；结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：与半径为的圆的位置关系是______；若、、三点在同一个圆上，则的长是______结果保留；过、、三点的圆的圆心坐标是______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题意可以判断的正负，得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决．
【解答】
解：二次函数，该函数的对称轴是直线，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为，，当时，，
解得，
故选D．
3.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，，，，，，．，，，，，，
故选项A，不符合题意，
当点在上时，，，
当点在弧上时，选项B不符合题意，，，
故选：．
如图，取的中点，连接，，，，，，圆周角定理，弧，弦，圆心角之间的关系一一判断即可．
本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】
【解析】
【分析】
直接开平方解方程得出答案．
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
【解答】
解：，．
故选D．
5.【答案】
【解析】解：、正方形的最小旋转角度为，故本选项错误；
B、正五边形的最小旋转角度为，故本选项正确；
C、正六边形的最小旋转角度为，故本选项错误；
D、正八边形的最小旋转角度为，故本选项错误；
故选：．
求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断．
本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是求出各图形的最小旋转角度．
6.【答案】
【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用年全国生活垃圾无害化处理能力年全国生活垃圾无害化处理能力年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；
B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近，故B符合题意；
C.某种彩票中奖的概率是，因此买张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；
D.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；
故选：．
根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．
本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
8.【答案】
【解析】把，，代入得，函数解析式为．
二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为，当时，随的增大而增大；
当时，随360docimg_501_的增大而减小；
根据对称性，360docimg_502_的对称点是360docimg_503_；
所以360docimg_504_．
故选B．
9.【答案】360docimg_505_
【解析】解：如果两个点关于原点对称，则该两个点的纵横坐标互为相反数，有题意可知，在本题中，360docimg_506_，360docimg_507_
故360docimg_508_
故答案为：360docimg_509_．
10.【答案】360docimg_510_
【解析】解：把360docimg_511_代入方程360docimg_512_得360docimg_513_，
解得360docimg_514_．
故答案为：360docimg_515_．
把360docimg_516_代入方程360docimg_517_得360docimg_518_，然后解关于360docimg_519_的方程．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11.【答案】360docimg_520_
【解析】解：360docimg_521_，360docimg_522_，360docimg_523_，
360docimg_524_，
360docimg_525_，
又360docimg_526_，
360docimg_527_弧360docimg_528_的长为360docimg_529_，
故答案为：360docimg_530_．
先根据360docimg_531_，360docimg_532_，360docimg_533_，得到360docimg_534_，进而得出360docimg_535_，再根据360docimg_536_，即可得到弧360docimg_537_的长．
本题主要考查了弧长公式的运用，解题时注意弧长公式为：360docimg_538_弧长为360docimg_539_，圆心角度数为360docimg_540_，圆的半径为360docimg_541_．
12.【答案】360docimg_542_
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式360docimg_543_根据题意可知抛物线的顶点坐标为360docimg_544_，设抛物线的解析式为360docimg_545_把360docimg_546_代入，得到关于360docimg_547_的方程，解方程求出360docimg_548_的值，即可求出抛物线的解析式．
解：设解析式是：360docimg_549_，
根据题意得：360docimg_550_，
解得360docimg_551_．
360docimg_552_函数关系式360docimg_553_，
即360docimg_554_．
故答案为：360docimg_555_．
13.【答案】360docimg_556_
【解析】解：从图形可知：360docimg_557_点的坐标是360docimg_558_，360docimg_559_点的坐标是360docimg_560_，360docimg_561_点的坐标是360docimg_562_，
连接360docimg_563_，作线段360docimg_564_和线段360docimg_565_的垂直平分线360docimg_566_、360docimg_567_，两线交于360docimg_568_，则360docimg_569_是圆弧的圆心，如图，
360docimg_570_
360docimg_571_点的坐标是360docimg_572_，
故答案为：360docimg_573_．
根据图形得出360docimg_574_、360docimg_575_、360docimg_576_的坐标，再连接360docimg_577_，作线段360docimg_578_和线段360docimg_579_的垂直平分线360docimg_580_、360docimg_581_，两线交于360docimg_582_，则360docimg_583_是圆弧的圆心，最后求出点360docimg_584_的坐标即可．
本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心360docimg_585_的位置是解此题的关键．
14.【答案】将抛物线360docimg_586_绕顶点360docimg_587_顺时针方向旋转360docimg_588_度，再向右平移360docimg_589_个单位长度得到抛物线360docimg_590_答案不唯一360docimg_591_
【解析】解：抛物线360docimg_592_的顶点为360docimg_593_，抛物线360docimg_594_的顶点为360docimg_595_，
360docimg_596_将抛物线360docimg_597_绕顶点360docimg_598_顺时针方向旋转360docimg_599_度，再向右平移360docimg_600_个单位长度得到抛物线360docimg_601_．
故答案为：将抛物线360docimg_602_绕顶点360docimg_603_顺时针方向旋转360docimg_604_度，再向右平移360docimg_605_个单位长度得到抛物线360docimg_606_答案不唯一360docimg_607_．
根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答．
本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题是关键．
15.【答案】360docimg_608_
【解析】解：如图，
360docimg_609_
360docimg_610_由旋转知，360docimg_611_，
360docimg_612_是等边三角形，
360docimg_613_，
360docimg_614_，
360docimg_615_，
360docimg_616_，
360docimg_617_，
360docimg_618_，
在360docimg_619_和360docimg_620_中，
360docimg_621_，
360docimg_622_≌360docimg_623_，
360docimg_624_，
360docimg_625_，360docimg_626_，
360docimg_627_，
360docimg_628_，
360docimg_629_，
360docimg_630_点360docimg_631_运动的时间360docimg_632_，
故答案为：360docimg_633_．
由“360docimg_634_”可证360docimg_635_≌360docimg_636_，即可求出360docimg_637_，即可得出结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明360docimg_638_≌360docimg_639_是本题的关键．
16.【答案】360docimg_640_
【解析】解：360docimg_641_，360docimg_642_，
360docimg_643_四边形360docimg_644_是平行四边形，
360docimg_645_，
360docimg_646_，
又360docimg_647_点360docimg_648_是360docimg_649_中点，
360docimg_650_，
360docimg_651_四边形360docimg_652_是菱形，
设360docimg_653_，则360docimg_654_，360docimg_655_，
360docimg_656_在360docimg_657_中，360docimg_658_，
360docimg_659_，即360docimg_660_，
解得：360docimg_661_，
即360docimg_662_．
故答案是：360docimg_663_．
首先可判断四边形360docimg_664_是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得360docimg_665_，则可判断四边形360docimg_666_是菱形，设360docimg_667_，则360docimg_668_，360docimg_669_，在360docimg_670_中利用勾股定理可求出360docimg_671_的值．
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形360docimg_672_是菱形．
17.【答案】解：移项，得
360docimg_673_，
配方，得
360docimg_674_，即360docimg_675_，
开方，得
360docimg_676_．
解得360docimg_677_，360docimg_678_．
【解析】在本题中，把常数项360docimg_679_移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数360docimg_680_的一半的平方．
本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：
360docimg_681_形如360docimg_682_型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
360docimg_683_形如360docimg_684_型，方程两边同时除以二次项系数，即化成360docimg_685_，然后配方．
18.【答案】360docimg_686_ 直径所对的圆周角是直角 360docimg_687_
【解析】解：360docimg_688_如图，线段360docimg_689_即为所求．
360docimg_690_
360docimg_691_是360docimg_692_的直径，点360docimg_693_，360docimg_694_在360docimg_695_上，
360docimg_696_直径所对的圆周角是直角360docimg_697_，
360docimg_698_，360docimg_699_．
360docimg_700_，360docimg_701_是360docimg_702_的两条高线．
360docimg_703_，360docimg_704_所在直线交于点360docimg_705_，
360docimg_706_直线360docimg_707_也是360docimg_708_的高所在直线．
360docimg_709_是360docimg_710_中360docimg_711_边上的高．
故答案为：360docimg_712_，直径所对的圆周角是直角，360docimg_713_．
360docimg_714_根据要求作出图形即可．
360docimg_715_利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．
本题考查作图360docimg_716_复杂作图，圆周角定理，三角形的高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：360docimg_717_定点360docimg_718_；
360docimg_719_，
360docimg_720_，
360docimg_721_顶点为360docimg_722_，
360docimg_723_顶点在函数360docimg_724_上；
360docimg_725_由360docimg_726_、360docimg_727_可得，该抛物线与360docimg_728_轴的一个交点为360docimg_729_，对称轴为直线360docimg_730_．
360docimg_731_
360docimg_732_
当360docimg_733_时，抛物线开口方向向上，且360docimg_734_，
由图象可知，要满足条件，只要360docimg_735_时，360docimg_736_，
360docimg_737_；
360docimg_738_
360docimg_739_
当360docimg_740_时，抛物线开口方向向下，且360docimg_741_，
由图象可知，不符合题意；
综上所述，360docimg_742_的取值范围是：360docimg_743_．
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数综合题，需要掌握抛物线与360docimg_744_轴的交点，抛物线的顶点坐标的求法等知识．解题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想．
360docimg_745_直接得出点360docimg_746_的坐标；
360docimg_747_将顶点横坐标用360docimg_748_表示，纵坐标用360docimg_749_表示，可得关于360docimg_750_，360docimg_751_的函数表达式；
360docimg_752_根据题意作出函数的大致图象，利用图象可以直接得到答案．
【解答】
解：360docimg_753_抛物线360docimg_754_
360docimg_755_当360docimg_756_时，无论360docimg_757_为何值，抛物线经过定点 360docimg_758_，
360docimg_759_，360docimg_760_，
360docimg_761_定点360docimg_762_；
故答案为360docimg_763_；
360docimg_764_见答案；
360docimg_765_见答案．
20.【答案】360docimg_766_解：360docimg_767_，360docimg_768_，
360docimg_769_，
顺时针旋转360docimg_770_时，如图360docimg_771_所示：
由旋转的性质得：360docimg_772_，360docimg_773_，
360docimg_774_；
逆时针旋转360docimg_775_时，如图360docimg_776_所示：
360docimg_777_；360docimg_778_
综上所述，360docimg_779_的度数为360docimg_780_或360docimg_781_．
【解析】由三角形内角和定理求出360docimg_782_，分两种情况，由旋转的性质即可得出答案．
本题可得了旋转的性质、三角形内角和定理以及分类讨论；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21.【答案】解：360docimg_783_关于360docimg_784_的一元二次方程360docimg_785_有实数根，
360docimg_786_，即360docimg_787_，
解得：360docimg_788_．
【解析】关于360docimg_789_的一元二次方程有实根，只需360docimg_790_即可求得360docimg_791_的取值范围．
本题考查一元二次方程根与判别式的关系，注意，题干说的是有实根，故判别式360docimg_792_可以等于360docimg_793_．
22.【答案】解：360docimg_794_设原锅中共有汤圆360docimg_795_只，
根据题意得：360docimg_796_，
解得：360docimg_797_，
经检验，360docimg_798_是原分式方程的解，
360docimg_799_，
360docimg_800_现在锅中共有汤圆360docimg_801_只；
360docimg_802_锅中共有汤圆360docimg_803_只，芝麻馅的汤圆有：360docimg_804_只360docimg_805_，豆沙馅的汤圆有360docimg_806_只，
360docimg_807_，360docimg_808_，
360docimg_809_剩下的汤圆有芝麻馅的360docimg_810_只，豆沙馅的360docimg_811_只，
分别用360docimg_812_和360docimg_813_表示芝麻馅和豆沙馅的汤圆，
画树状图得：
360docimg_814_
360docimg_815_共有360docimg_816_种等可能的结果，小明盛出芝麻馅和豆沙馅的恰好各360docimg_817_只的有360docimg_818_种情况．
360docimg_819_．
【解析】360docimg_820_首先设原锅中共有汤圆360docimg_821_只，根据题意得：360docimg_822_，解此分式方程即可求得答案；
360docimg_823_首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明盛出芝麻馅和豆沙馅的恰好各360docimg_824_只的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率360docimg_825_所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】证明：360docimg_826_四边形360docimg_827_是平行四边形，
360docimg_828_，
360docimg_829_，
360docimg_830_四边形360docimg_831_是平行四边形，
360docimg_832_，
360docimg_833_，
360docimg_834_四边形360docimg_835_是矩形；
360docimg_836_平分360docimg_837_，
360docimg_838_，
360docimg_839_平行四边形360docimg_840_，
360docimg_841_，
360docimg_842_，
360docimg_843_，
360docimg_844_，
在360docimg_845_中，360docimg_846_，
360docimg_847_平行四边形360docimg_848_的面积360docimg_849_．
【解析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
360docimg_850_先求出四边形360docimg_851_是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
360docimg_852_根据勾股定理求出360docimg_853_长，即可得出答案．
24.【答案】360docimg_854_ 360docimg_855_
【解析】解：360docimg_856_篮球出手位置360docimg_857_与篮筐的水平距离为360docimg_858_，篮筐距地面的高度为360docimg_859_；当篮球行进的水平距离为360docimg_860_时，篮球距地面的高度达到最大为360docimg_861_，
360docimg_862_点360docimg_863_表示篮筐，其坐标为360docimg_864_，篮球行进的最高点360docimg_865_的坐标为360docimg_866_；
故答案为：360docimg_867_，360docimg_868_；
360docimg_869_设抛物线的解析式为360docimg_870_，
把360docimg_871_代入得，360docimg_872_，
解得360docimg_873_，
360docimg_874_抛物线的解析式为360docimg_875_，
当360docimg_876_时，360docimg_877_，
答：篮球出手时距地面的高度为360docimg_878_米．
360docimg_879_根据已知篮球出手位置360docimg_880_与篮筐的水平距离为360docimg_881_，篮筐距地面的高度为360docimg_882_；当篮球行进的水平距离为360docimg_883_时，篮球距地面的高度达到最大为360docimg_884_即可得到答案；
360docimg_885_设抛物线的解析式为360docimg_886_，把360docimg_887_代入求得抛物线的解析式为360docimg_888_，当360docimg_889_时，解方程即可得到结论．
本题主要考查二次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度是解题的关键．
25.【答案】360docimg_890_证明：连接360docimg_891_，
360docimg_892_
360docimg_893_，
360docimg_894_，
360docimg_895_是360docimg_896_的中点，
360docimg_897_，
360docimg_898_，
360docimg_899_，
360docimg_900_，
360docimg_901_，
360docimg_902_，
360docimg_903_，
360docimg_904_，
360docimg_905_是360docimg_906_的半径，
360docimg_907_是360docimg_908_的切线；
360docimg_909_解：过点360docimg_910_作360docimg_911_，垂足为360docimg_912_，
360docimg_913_
由360docimg_914_得：360docimg_915_，
360docimg_916_平分360docimg_917_，
360docimg_918_，360docimg_919_，
360docimg_920_，
360docimg_921_四边形360docimg_922_内接于360docimg_923_，
360docimg_924_，
360docimg_925_，
360docimg_926_，
360docimg_927_，
360docimg_928_≌360docimg_929_，
360docimg_930_，
360docimg_931_，360docimg_932_，
360docimg_933_≌360docimg_934_，
360docimg_935_，
设360docimg_936_，则360docimg_937_，
360docimg_938_，
360docimg_939_，
360docimg_940_，
360docimg_941_，
360docimg_942_，
360docimg_943_是360docimg_944_的直径，
360docimg_945_，
360docimg_946_，
360docimg_947_∽360docimg_948_，
360docimg_949_，
360docimg_950_，
360docimg_951_．
【解析】360docimg_952_要证明360docimg_953_是360docimg_954_的切线，所以连接360docimg_955_，求出360docimg_956_即可，根据已知360docimg_957_，可得360docimg_958_，所以只要证明360docimg_959_即可解答；
360docimg_960_由360docimg_961_可得360docimg_962_平分360docimg_963_，所以想到过点360docimg_964_作360docimg_965_，垂足为360docimg_966_，进而证明360docimg_967_≌360docimg_968_，可得360docimg_969_，易证360docimg_970_≌360docimg_971_，可得360docimg_972_，然后进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，添加辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：360docimg_973_根据“关联”函数的定义得，
图象360docimg_974_的函数关系式为360docimg_975_，
360docimg_976_如图360docimg_977_，
由360docimg_978_知，图象360docimg_979_的函数关系式为360docimg_980_，
函数图象如图360docimg_981_所示，
360docimg_982_当二次函数360docimg_983_的“关联”函数的函数值360docimg_984_随360docimg_985_值增大而增大时，360docimg_986_的范围为360docimg_987_或360docimg_988_；
360docimg_989_如图360docimg_990_，
360docimg_991_点360docimg_992_是图象360docimg_993_与360docimg_994_轴正半轴的交点，360docimg_995_，
360docimg_996_舍360docimg_997_或360docimg_998_，
360docimg_999_，
360docimg_1000_，
设图象360docimg_1001_在360docimg_1002_上方的点360docimg_1003_的纵坐标为360docimg_1004_，
360docimg_1005_．
360docimg_1006_，
把360docimg_1007_代入图象360docimg_1008_的函数关系式为360docimg_1009_中，
解得，360docimg_1010_和360docimg_1011_，
360docimg_1012_或360docimg_1013_；
360docimg_1014_如图360docimg_1015_，
易知，360docimg_1016_，
360docimg_1017_，
360docimg_1018_以点360docimg_1019_、360docimg_1020_、360docimg_1021_、360docimg_1022_为顶点的四边形是平行四边形，且360docimg_1023_，
360docimg_1024_，
360docimg_1025_点的纵坐标为360docimg_1026_或360docimg_1027_，
把360docimg_1028_代入图象360docimg_1029_的函数关系式为360docimg_1030_中，
解得，360docimg_1031_或360docimg_1032_，
360docimg_1033_把360docimg_1034_代入图象360docimg_1035_的函数关系式为360docimg_1036_中，
解得，360docimg_1037_或360docimg_1038_，
360docimg_1039_或360docimg_1040_，
把360docimg_1041_代入图象360docimg_1042_的函数关系式为360docimg_1043_中，
解得，360docimg_1044_或360docimg_1045_
360docimg_1046_或360docimg_1047_
即：满足条件的360docimg_1048_的坐标为360docimg_1049_或360docimg_1050_或360docimg_1051_或360docimg_1052_．
360docimg_1053_360docimg_1054_360docimg_1055_
【解析】360docimg_1056_直接利用新定义得出结论；
360docimg_1057_画出函数图象，确定出抛物线对称轴即可得出结论；
360docimg_1058_先确定出点360docimg_1059_的纵坐标，即可得出结论；
360docimg_1060_先求出360docimg_1061_，进而求出360docimg_1062_，即可求出360docimg_1063_的纵坐标，即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，函数图象的画法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，画出函数图象360docimg_1064_是解本题的关键．
27.【答案】解：360docimg_1065_理由：
在360docimg_1066_和360docimg_1067_中，
360docimg_1068_，
360docimg_1069_≌360docimg_1070_．
360docimg_1071_．
360docimg_1072_证明：360docimg_1073_，
360docimg_1074_．
360docimg_1075_，
360docimg_1076_．
360docimg_1077_．
由360docimg_1078_知：360docimg_1079_，
360docimg_1080_．
360docimg_1081_．
360docimg_1082_，
360docimg_1083_，360docimg_1084_．
360docimg_1085_，
360docimg_1086_．
360docimg_1087_．
由360docimg_1088_知：360docimg_1089_≌360docimg_1090_，
360docimg_1091_．
360docimg_1092_．
解：360docimg_1093_若360docimg_1094_是360docimg_1095_的中点，360docimg_1096_仍然成立．理由：
延长360docimg_1097_至点360docimg_1098_，使360docimg_1099_，连接360docimg_1100_，如图，
360docimg_1101_
360docimg_1102_是360docimg_1103_的中点，
360docimg_1104_．
在360docimg_1105_和360docimg_1106_中，
360docimg_1107_，
360docimg_1108_≌360docimg_1109_．
360docimg_1110_，360docimg_1111_．
360docimg_1112_．
360docimg_1113_．
360docimg_1114_将图360docimg_1115_中的360docimg_1116_绕点360docimg_1117_逆时针旋转360docimg_1118_，
360docimg_1119_．
360docimg_1120_，360docimg_1121_．
360docimg_1122_．
360docimg_1123_．
360docimg_1124_，
360docimg_1125_．
在360docimg_1126_和360docimg_1127_中，
360docimg_1128_，
360docimg_1129_≌360docimg_1130_．
360docimg_1131_．
360docimg_1132_，
360docimg_1133_．
360docimg_1134_．
360docimg_1135_若360docimg_1136_是360docimg_1137_的中点，360docimg_1138_仍然成立．
【解析】360docimg_1139_通过证明360docimg_1140_≌360docimg_1141_，利用全等三角形对应角相等解答即可；
360docimg_1142_利用同角或等角的余角相等判定360docimg_1143_和360docimg_1144_是等腰三角形即可得出结论；
360docimg_1145_延长360docimg_1146_至点360docimg_1147_，使360docimg_1148_，连接360docimg_1149_，则得：360docimg_1150_≌360docimg_1151_，再利用题意证明360docimg_1152_≌360docimg_1153_，结论可得．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质，延长360docimg_1154_至点360docimg_1155_，使360docimg_1156_，连接360docimg_1157_，构造全等三角形是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线．
28.【答案】解：360docimg_1158_相切；
360docimg_1159_；
360docimg_1160_
【解析】
【试题解析】
【分析】
360docimg_1161_连接360docimg_1162_，过点360docimg_1163_作360docimg_1164_轴，垂足为360docimg_1165_，过点360docimg_1166_作360docimg_1167_，垂足为360docimg_1168_先证明360docimg_1169_≌360docimg_1170_，然后再证明360docimg_1171_，依据勾股定理可得到360docimg_1172_，然后依据360docimg_1173_与360docimg_1174_的关系可作出判断；
360docimg_1175_垂径定理可知圆心在360docimg_1176_点360docimg_1177_和点360docimg_1178_关于360docimg_1179_轴对称，点360docimg_1180_关于点360docimg_1181_对称，圆心在线段360docimg_1182_的垂直平分线与线段360docimg_1183_的垂直平分线的交点处，然后再依据弧长公式求解即可；
360docimg_1184_由题意可知圆心为线段360docimg_1185_的垂直平分线与360docimg_1186_轴的交点．
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、直线与圆的位置关系、勾股定理，三点共圆、轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【解答】
解：360docimg_1187_如图所示：连接360docimg_1188_，过点360docimg_1189_作360docimg_1190_轴，垂足为360docimg_1191_，过点360docimg_1192_作360docimg_1193_，垂足为360docimg_1194_．
360docimg_1195_
在360docimg_1196_和360docimg_1197_中，360docimg_1198_，
360docimg_1199_≌360docimg_1200_．
360docimg_1201_．
360docimg_1202_，
360docimg_1203_．
360docimg_1204_．
在360docimg_1205_中，由勾股定理可知360docimg_1206_．
360docimg_1207_．
360docimg_1208_与360docimg_1209_相切．
故答案为相切．
360docimg_1210_点360docimg_1211_和点360docimg_1212_关于360docimg_1213_轴对称，点360docimg_1214_关于点360docimg_1215_对称，
360docimg_1216_圆心在线段360docimg_1217_的垂直平分线与线段360docimg_1218_的垂直平分线的交点处，
360docimg_1219_、360docimg_1220_、360docimg_1221_三点在以360docimg_1222_为圆心，以360docimg_1223_长为半径的圆上．
360docimg_1224_
故答案为：360docimg_1225_
360docimg_1226_设圆心的坐标为360docimg_1227_，则360docimg_1228_，
解得：360docimg_1229_．
故答案为360docimg_1230_
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